2022-2023学年福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学高二下学期期末联考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学高二下学期期末联考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学高二下学期期末联考数学试题 一、单选题1．集合且的真子集的个数是（    ）A．16 B．15 C．8 D．7【答案】B【分析】用列举法表示集合A，根据下面的结论求解：含有个元素的集合的真子集的个数是个．【详解】，集合A含有4个元素，真子集的个数是，故选：B．2．已知，则是成立的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解一元二次不等式，再由充分必要条件的定义判断即可.【详解】由可得：，因为推不出，而能推出，所以是成立的必要不充分条件故选：B.3．实数a，b满足，则下列不等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】举反例即可判定ABD，由，得出，利用指数函数的性质即可判定C.【详解】取,满足,但,所以A错误；取,满足,但，所以B错误；若，则,,所以C正确；取,则,所以D错误.故选:C.4．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（    ）  A． B．C． D．【答案】D【分析】根据空间向量线性运算法则得到答案.【详解】因为为与的交点，所以，故.故选：D5．已知圆关于直线对称，则的最大值为（    ）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】由圆的方程求出圆心坐标，将圆心坐标代入直线方程，由基本不等式即可求出的最大值.【详解】解：由题意在圆中，∴圆心为，半径为1在直线中，圆关于该直线对称∴直线过圆心，∴，即：∵解得：当且仅当时等号成立∴的最大值为.故选：D.6．设F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，点Q在准线l上，满足轴．若，则（    ）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】先根据题意和抛物线的性质可得到为等边三角形，进而即可求得的值．【详解】依题意有，则为等边三角形，又轴，所以．故选：A．7．已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且．现发现两个数据点和误差较大，去除这两点后重新求得的回归直线方程的斜率为，则正确的是（    ）A．变量与具有负相关关系B．去除后的估计值增加速度变快C．去除后回归方程为 D．去除后相应于样本点（2，3.75）的残差为【答案】D【分析】运用回归直线方程的性质、残差的基本概念等进行解题.【详解】解：选项A：因为去除前回归直线的斜率为，重新求得的回归直线的斜率为，两者均大于0，所以变量与具有正相关关系，所以选项A错误；选项B：去除前回归直线的斜率为，去除后回归直线的斜率为，去除前的斜率大于去除后的斜率，所以去除后的估计值增加速度变慢，所以选项B错误；选项C：去除前，则可得，设，，，，则去除后样本中心设为，所以，，又因为回归直线方程的斜率为，所以去除后的回归直线方程为，所以选项C错误；选项D：由C选项可知，去除后的回归直线方程为，当时，，则残差为，所以选项D正确；故选：D.8．已知函数在区间内有且仅有一个极小值，且方程在区间内有3个不同的实数根，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数极小值的定义，结合余弦函数的性质进行求解即可.【详解】因为，所以，若在区间内有且仅有一个极小值，则.若方程在区间内有3个不同的实数根，则，所以，由，解得.所以的取值范围是.故选：C【点睛】关键点睛：根据极小值的定义，得到是解题的关键. 二、多选题9．函数的导函数的图象如图所示，则（    ）A．是函数的极值点 B．是函数的极值点C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零【答案】ACD【分析】根据函数的图象的图像得出函数的单调区间，从而可判断选项A，B，C，由函数的图象的图像得出，根据导数的几何意义可判断选项D.【详解】根据函数的图象的图像可得：当时，，当时，（仅在处有），故函数在上单调递减，在上单调递增.所以是函数的极小值点，故选项A正确.不是函数的极值点，故选项B正确.在区间上单调递增, 故选项C正确.由函数的图象的图像可得可得 所以在处切线的斜率大于零，故选项D正确.故选：ACD10．已知等比数列的前项和为，下列选项中正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】CD【分析】根据等比数列通项公式、前项和公式，对选项逐一分析，由此判断出正确选项.【详解】对于A：若，，则，故A错误；对于B：若，又，所以与同号，当，时，当时，，若，时，，所以，故B错误；对于C：因为，，所以，故C正确；对于D：若，即，则，，当时，当时，由于，，所以，故D正确；故选：CD11．已知两点的距离为定值，平面内一动点，记的内角的对边分别为，面积为，下面说法正确的是（    ）A．若，则最大值为2B．若，则最大值为C．若，则最大值为D．若，则最大值为1【答案】BC【分析】设点坐标，根据条件分别求出动点的轨迹方程，再由三角形ABC的面积，转化为由轨迹方程求的最大值即可得解.【详解】设，动点，对A，，即，化简可得C的轨迹方程，所以三角形ABC的面积，即C点为时，三角形ABC面积最大，故A错误；对B，由题意可得，化简可得C的轨迹方程，所以，即C点为时，三角形ABC面积最大，故B正确；对C，由知，动点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆（除去长轴上的两个顶点），椭圆方程为，三角形ABC的面积，即当C运动到短轴端点时，三角形面积最大，故C正确；对于D，由题意，化简可得C的轨迹方程， 三角形ABC的面积，由双曲线中的范围知，三角形ABC的面积的最大值为，故D错误.故选：BC12．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（    ）A．球与圆柱的体积之比为B．四面体CDEF的体积的取值范围为C．平面DEF截得球的截面面积最小值为D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为【答案】AD【分析】根据给定的条件，利用球、圆柱的体积公式计算判断A；利用建立函数关系判断B；求出球心O到平面DEF距离的最大值判断C；令点P在圆柱下底面圆所在平面上的投影点为Q，设，利用勾股定理建立函数关系，求出值域作答.【详解】对于A，球的体积为，圆柱的体积，则球与圆柱的体积之比为，A正确；对于B，设为点到平面的距离，，而平面经过线段的中点，四面体CDEF的体积，B错误；对于C，过作于，如图，而，则，又，于是，设截面圆的半径为，球心到平面的距离为，则，又，则平面DEF截球的截面圆面积，C错误；对于D，令经过点P的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q，连接，当与都不重合时，设，则，当与之一重合时，上式也成立，因此，，则，令，则，而，即，因此，解得，所以的取值范围为，D正确. 故选：AD【点睛】思路点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图. 三、填空题13．若，则          ．【答案】【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.【详解】.故答案为：.14．展开式中的常数项为          .（用数字作答）【答案】160【分析】运用二项展开式的通项公式，然后令的指数等于0即可解.【详解】，则，，则常数项为.故答案为：160.15．若甲盒中有个红球、个白球、个黑球，乙盒中有个红球、个白球、个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球， “从乙盒中取出的球是红球”，若，则的最大值为        ．【答案】7【分析】设从甲盒中取出的球是红球，再利用全概率公式可得关于的不等式，解不等式即得解.【详解】设从甲盒中取出的球是红球，则，则，所以因为是正整数，所以.所以的最大值为7.故答案为：716．已知函数且，若函数恰有一个零点，则实数的取值范围为         ．【答案】【分析】首先注意到，则已经有一个零点了，再讨论一下单调性即可.【详解】首先注意到，当时，函数在上单调递增，显然满足题设； 当时，，显然函数在上单调递增，由于， 故存在唯一零点，若只有一个零点，此时也必为极值点，又此时，则只需，，，因为解得；综上所述，则实数的取值范用为．故答案为： 四、解答题17．在中，角的对边分别为，且，．（1）求的值；（2）若求的面积．【答案】（1）3（2）78【详解】试题分析：（1）由两角和差公式得到，由三角形中的数值关系得到，进而求得数值；（2）由三角形的三个角的关系得到，再由正弦定理得到b=15,故面积公式为.解析：（1）在中，由，得为锐角，所以，所以， 所以.     （2）在三角形中,由，所以，    由， 由正弦定理,得，所以的面积. 18．如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,底面ABCD,,E为线段PB的中点,F为线段BC的中点．(1)证明:平面PBC;(2)求点P到平面AEF的距离．【答案】(1)证明见解析(2)． 【分析】(1)先根据底面ABCD,得到,再根据,利用线面垂直的判定定理证明平面PAB,即,再根据一次线面垂直的判定定理证明平面PBC;(2)先根据长度及垂直关系得到进而得到的面积,再计算出,根据等体积法即可求得点P到平面AEF的距离.【详解】（1）证明:因为底面ABCD,平面ABCD,所以．因为ABCD为正方形,所以,因为,平面PAB,平面PAB,所以平面PAB,因为平面PAB,所以,因为,E为线段PB的中点,所以,又因为,平面PBC,平面PBC,所以平面PBC.（2）由F是BC的中点．所以,因为底面ABCD,平面ABCD,所以,因为E为线段PB的中点,所以,由(1)知平面PBC,平面PBC,所以,所以,所以,因为,所以,由(1)知平面PAB,所以平面PAB,设点P到平面AEF的距离为h,则有,解得,所以点P到平面AEF的距离为．19．已知数列的前n项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若等差数列满足，且，，成等比数列，求c．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用，可知数列为2为首项，2为公差的等差数列，根据等差数列通项公式计算即可；（2）求数列的前n项和为，根据等差数列及等比数列的性质可求出c．【详解】（1）因为，当时，两式相减得化简得，，，当时，，解得或（舍去）故数列是以2为首项，2为公差的等差数列．．（2）由（1）知，，，，，，，，成等比数列，，即，整理得：，或．①当时，，所以（定值），满足为等差数列，②当时，，，，，不满足，故此时数列不为等差数列（舍去）．综上可得．20．如图所示的高尔顿板，小球从通道口落下，第1次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内.  (1)若进行一次以上试验，求小球落入6号槽的概率；(2)小明同学利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中（i）求的分布列；（ii）很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？【答案】(1)(2)（i）的分布列见解析，（ii）小明同学能盈利 【分析】（1）由题意，要使小球落入6号槽，此时小球需要在6次碰撞中向左1次，向右5次，代入概率公式中即可求解，（2）（i）先求出的所有取值，得到相应的概率，进而可列出分布列；（ii）先求出的所有取值，求出相应的概率，代入期望公式中可求出的期望，将其与8比较即可得答案.【详解】（1）根据题意可知要使小球落入6号槽，此时小球需要在6次碰撞中向左1次，向右5次，所以小球落入6号槽的概率为，（2）（i）由题意得的所有取值为1，2，3，4，5，6，7，则，，，，所以的分布列为1234567（ii）因为小球掉入号球槽得到的奖金为金为元，其中，所以有所有取值为0，5，10，15，则，，，，所以，因为，所以小明同学能盈利.21．已知函数．(1)求的单调区间；(2)若对任意的，，不等式恒成立，求整数 k的最大值．【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是；(2). 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数与函数单调性的关系即得；（2）由题可得在上恒成立，设，利用函数的导数求函数的最值即得．【详解】（1）对函数求导得，令，得，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是；（2）不等式，对任意的，恒成立，∴，即，设，则，令，则，函数在上单调递增，又，所以存在唯一的，使得，即，当时，，，所以函数单调递减；当时，，，所以函数单调递增，所以当时，函数有极小值，同时也为最小值，因为，又，∴，所以整数 k 的最大值是.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.22．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是的左顶点，的离心率为2．设过的直线交的右支于、两点，其中在第一象限．    (1)求的标准方程；(2)若直线、分别交直线于、两点，证明：为定值；(3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；否则，说明理由．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)存在，理由见解析. 【分析】（1）根据离心率，以及，结合，即可求得曲线方程；（2）设出直线的方程，联立双曲线方程，得到关于点坐标的韦达定理；再分别求得的方程，以及点的坐标，利用数量积的坐标运算，即可证明；（3）求得直线不存在斜率时满足的，当斜率存在时，将所求问题，转化为直线斜率之间的关系，结合点的坐标满足曲线方程，求解即可.【详解】（1）由题可得，故可得，则，故的标准方程为.（2）由（1）中所求可得点，的坐标分别为，又双曲线渐近线为，显然直线的斜率不为零，故设其方程为，，联立双曲线方程可得：，设点的坐标分别为，则，，；又直线方程为：，令，则，故点的坐标为；直线方程为：，令，则，故点的坐标为；则故为定值.（3）当直线斜率不存在时，对曲线，令，解得，故点的坐标为，此时，在三角形中，，故可得，则存在常数，使得成立；当直线斜率存在时，不妨设点的坐标为，，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，，假设存在常数，使得成立，即，则一定有：，也即；又；；又点的坐标满足，则，故；故假设成立，存在实数常数，使得成立；综上所述，存在常数，使得恒成立.【点睛】关键点点睛：本题考察双曲线中定值以及存在常数满足条件的问题；其中第二问证明的关键是能够快速，准确的进行计算；第三问处理的关键是要投石问路，找到特殊情况下的参数值，再验证非特殊情况下依旧成立，同时还要注意本小题中把角度关系，转化为斜率关系；属综合困难题.