2022-2023学年湖南省长沙市长沙县高二下学期期末联考数学试题含答案

2022-2023学年湖南省长沙市长沙县高二下学期期末联考数学试题

一、单选题

1．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可的解.

【详解】解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题，

所以“，”的否定是，.

故选：D.

2．已知扇形的半径为1，面积为2，则这个扇形的圆心角的弧度数为（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】D

【分析】利用扇形面积的面积公式即可解得.

【详解】设扇形圆心角的弧度数为，

因为扇形所在圆的半径为1，且该扇形的面积为，

则扇形的面积为，

解得：.

故选：D.

3．已知，则n的值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用排列数公式计算作答.

【详解】因为，而，即有，于是，

所以n的值为5.

故选：C

4．已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用二项分布的期望和方差公式可得出关于、的方程组，即可解得的值.

【详解】因为离散型随机变量服从二项分布，且，，

则，解得.

故选：B.

5．下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（    ）

A．0.63 B．0.7 C．0.9 D．0.567

【答案】B

【分析】直接利用条件概率公式计算得到答案.

【详解】记事件A表示“清明节当天下雨”，B表示“第二天下雨”，

由题意可知，，所以．

故选：B.

【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生的计算能力和应用能力

6．某学校食堂对30名高三学生偏爱蔬菜与偏爱肉类进行了一次调查，将统计数据制成如下表格：

则认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关的把握至少有（    ）

附：．

A．95% B．99% C．99.5% D．99.9%

【答案】C

【分析】列出列联表，根据公式计算出的观测值，对照临界值表可得出结论.

【详解】由已知，列联表为

则的观测值，

故至少有99.5%的把握认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关，

故选：C．

【点睛】本题考查了独立性检验，解题关键是计算出观测值，属于基础题.

7．某小区有排成一排的个车位，现有辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】把剩余的个车位看成一个元素，且只有一种排法，再加上有辆不同型号的车，共有四个不同的元素，利用排列数公式，即可求解.

【详解】由题意知，剩余的个车位连在一起，把剩余的个车位看成一个元素，且只有一种排法，

再加上有辆不同型号的车，所有共有四个不同的元素，

其中四个元素的排列共有种，故选C.

【点睛】本题主要考查了排列的应用，其中解答中把剩余的个车位看成一个元素，共有四个不同的元素，利用排列数公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

8．若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】首先计算出,由存在单调递减区间知在 上有解即可得出结果.

【详解】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ．

故选:B．

二、多选题

9．下列有关复数的说法正确的是（    ）

A．若复数，则 B．若，则是纯虚数

C．若是复数，则一定有 D．若，则

【答案】AD

【分析】A由共轭复数概念及复数相等判断；B、C应用特殊值法，令及判断；D设，，利用共轭复数概念及复数乘法分别求出判断.

【详解】A：令，则，若，即有，故，正确；

B：当时，，而不是纯虚数，错误；

C：当，则，而，显然不成立，错误；

D：令，，则，故，

又，，则，

所以，正确.

故选：AD

10．对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，已知，，则（    ）

A．数据的平均数为0

B．若变量的经验回归方程为，则实数

C．变量的样本相关系数越大，表示模型与成对数据的线性相关性越强

D．变量的决定系数越大，表示模型与成对数据拟合的效果越好

【答案】BD

【分析】对A：由平均数的性质即可求解；对B：根据回归直线必过样本中心即可求解；对C：根据相关系数越大，线性相关性越强即可判断；对D：变量的决定系数越大，数据拟合的效果越好即可判断.

【详解】解：因为，所以.

对于选项A，的平均数为，故选项A错误；

对于选项B，若变量的经验回归方程是，则，故选项B正确；

对于选项C，当变量为负相关时，相关性越强，相关系数越小（越接近于），故选项C错误；

对于选项D，变量的决定系数越大，残差平方和越小，则变量拟合的效果越好，故选项D正确.

故选：BD.

11．在 的展开式中，下列结论正确的是（   ）

A．展开式的二项式系数和是128 B．只有第4项的二项式系数最大

C．的系数是 D．展开式中的有理项共有3项

【答案】AC

【分析】根据二项式展开式的通项特征即可判断CD，由组合数的性质即可判断B,由二项式系数和可判断A.

【详解】对于A,二项式系数和为，故A正确，

对于B，由于 ,所以第四项与第五项的二项式系数均为最大，故B错误，

对于C,的通项为，令，

所以的系数是，故C正确，

当时，为整数，所以有理项有4项，故D错误，

故选：AC

12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，对于有如下命题，其中正确的是（    ）

A．若，则是锐角三角形

B．若，，则的外接圆的面积等于

C．若是锐角三角形，则

D．若，则是等腰直角三角形

【答案】BC

【分析】根据余弦定理即可判断A；根据正弦定理，即可判断B；由题意可得，即可判断C；根据正弦定理和二倍角的正弦公式计算化简，即可判断D.

【详解】A：由余弦定理，得，得B为锐角，

不能判断为锐角，故A错误；

B：设的外接圆的半径为R，由正弦定理得，

得，所以其外接圆的面积为，故B正确；

C：若为锐角三角形，则，且，

所以，故C正确；

D：，由正弦定理，得，

即，而，所以或，

即或，则为等腰三角形或直角三角形，故D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．设函数，则            .

【答案】

【分析】根据题意，由函数解析式求出的值，进而计算可得答案.

【详解】根据题意，函数，

则，则，

故答案为：.

14．某学校共1000人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩不及格（在90分以下）的学生人数为      .

【答案】150

【分析】根据正态分布曲线的性质即可求解.

【详解】由已知可得，，所以.

又，根据正态分布的对称性可得，

所以.

所以，可估计成绩不及格（在90分以下）的学生人数为.

故答案为：150.

15．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中，则每一个盒子至少有1个小球的放法有     种．

【答案】20

【分析】利用隔板法即可得到答案.

【详解】7 个小球之间有6个空位， 插入3个隔板，便把 7 个小球分成 4 份，有种方法，

故使每个盒子至少有1个小球的不同分法共有种．

故答案为：20.

16．已知定义在上的奇函数满足，若，则曲线在处的切线方程为          .

【答案】

【分析】由结合为奇函数，可得，进而可得，对两边同时求导可得，求出，结合导数的几何意义求解即可.

【详解】由，

令，则，即，

又为奇函数，则，

故是以4为周期的周期函数，则，

对，求导得，

故是以4为周期的周期函数，则，

即切点坐标为，切线斜率，

故切线方程为，即.

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数；

（1）求的最小正周期及对称中心；

（2）若，求的最大值和最小值.

【答案】（1）最小正周期为；对称中心为；（2）最小值为；最大值为2.

【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简为，代入正弦型函数的周期公式及对称中心方程即可求解；

（2）由x的范围，求出的范围，根据正弦函数的图像与性质可得，当时，取得最大值，当时，取得最小值，即可得答案.

【详解】解：（1）

∴的最小正周期为

令，则

∴的对称中心为

（2），

∴当，即时，的最小值为；

当，即时，的最大值为2.

【点睛】本题考查正弦型函数的周期，对称中心及最值问题，考查辅助角公式的应用，考查计算化简的能力，属基础题.

18．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会.

（1）如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？

（2）如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？

【答案】（1）63；（2）31

【分析】（1）对于去几人进行分类讨论，最后根据加法计数原理求解即可；（2）对甲和乙两位同学要么都去，要么都不去进行分类讨论，分别计算去法种数，最后相加即可.

【详解】（1）一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会，

去1人时，有种去法；去2人时，有种去法；

去3人时，有种去法；去4人时，有种去法；

去5人时，有种去法；去6人时，有种去法；

根据分类计数原理得：共有种去法；

（2）当甲和乙两位同学都去，则至少要去2人，

则有种去法；

当甲和乙两位同学都不去，则有种去法；

根据分类计数原理得：共有种去法；

19．已知函数（a，b为常数）是定义在的奇函数，且.

(1)求函数的解析式；

(2)若在定义域是增函数，解关于x的不等式.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用奇函数的性质，结合列方程组，解方程组求得的值，也即求得函数的解析式；

（2）利用奇函数的性质化简不等式，在根据函数的定义域和单调性列不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】（1）由题意可知，即，解得，

所以函数的解析式为，；

（2）不等式可化为，

因为是定义在的奇函数，所以，

又因为在定义域是增函数，等价于，

解之得，故不等式的解集为.

20．在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于90分为优秀．

(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于70分，问这名学生数学成绩为优秀的概率；

(2)在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析；

【分析】（1）先由频率直方图中频率之和为求得，从而求得不低于70分与不低于90分的人数，由此求得这名学生成绩是优秀的概率；

（2）结合（1）中结论，求得成绩在，与内的人数，从而利用分层抽样比例相同求得各区间所抽人数，由此利用组合数求得各取值的概率，进而得到X的分布列与数学期望．

【详解】（1）依题意，得，解得，

则不低于70分的人数为，

成绩在内的，即优秀的人数为；

故这名学生成绩是优秀的概率为；

（2）成绩在内的有（人）；

成绩在内的有（人）；成绩在内的有人；

故采用分层抽样抽取的13名学生中，成绩在内的有6人，在内的有5人，在内的有2人，

所以由题可知，X的可能取值为0，1，2，

则，，，

所以X的分布列为：

故．

21．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程．

(2)求在区间上的最大值和最小值．

【答案】(1)；

(2)最大值为，最小值为

【分析】(1)求导，利用导数的几何意义可求得切线方程；

(2) 利用导数确定函数在区间上的单调性，进而可得最值.

【详解】（1）由已知，则，

所以曲线在点处的切线方程为，即.

故在点处的切线方程为：

（2）令，即得或，

令，则得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

又，，，

显然，在区间上的最大值为，最小值为.

故在区间上的最大值为，最小值为.

22．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FA=FC，且∠DAB=∠DBF=60°.

（1）求证：AC⊥平面BDEF；

（2）若菱形BDEF边长为2，求三棱锥E-BCD的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）1.

【分析】(1)令AC与BD相交于点O，连接FO，证明，即可得解；

(2)证明平面，并求出FO的长及的面积即可得解.

【详解】（1）设AC与BD相交于点O，连接FO，如图，

因四边形ABCD为菱形，则，且O为AC中点，

而，于是有，又，平面，

所以平面BDEF；

（2）因菱形BDEF边长为2，即，显然O为BD中点，因∠DBF=60°，是正三角形，于是得

而，又，平面，因此，平面，

又，平面，平面，即有平面，于是得点到平面的距离为，

在菱形ABCD中，∠DAB=60°，则有都是正三角形，，

所以三棱锥E-BCD的体积.