2022-2023学年江西省景德镇市高二下学期期末质量检测数学试题含答案

2022-2023学年江西省景德镇市高二下学期期末质量检测数学试题

一、单选题

1．已知一列数如此排列：1，，4，，16，，则它的一个通项公式可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】令，代入选项，即可选出答案.

【详解】令，，，

，，选项D正确.

故选：D

2．已知函数，则其在处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用导数的几何意义求切线方程即可.

【详解】，则，而，

所以在处的切线方程为，即.

故选：B

3．数列的前项和，则取最大值时的值为（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质计算可得.

【详解】对于函数对称轴为，开口向下，

所以当时函数取得最大值，

所以当时取得最大值.

故选：B

4．在可导函数，中，已知，，，，则在时的导数值是（    ）

A． B．4 C． D．2

【答案】A

【分析】令，根据导数的运算法则求出，再代入计算可得.

【详解】令，则，

则.

故选：A

5．放假期间，小明一家准备去淄博旅游，已知他家汽车行驶速度与每公里油费（元）的关系式为，当每公里油费最低时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分离常数，再利用基本不等式即可得解.

【详解】

，

因为，所以，

则，

当且仅当，即时取等号，

所以当每公里油费最低时，.

故选：B.

6．若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意恒成立，参变分离可得恒成立，结合正弦函数的性质计算可得.

【详解】函数定义域为，且，

依题意恒成立，恒成立，即恒成立，

又，所以，即实数的取值范围是.

故选：A

7．在和两个实数之间插入个实数，，，，使数列为等差数列，那么这个数列的公差为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等差数列通项公式计算可得.

【详解】依题意等差数列中共有项，

设公差为，则，

所以.

故选：B

8．已知为等比数列，函数，若与恰好为的两个极值点，那么的值为（    ）

A．或 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】设等比数列的公比为，结合导数分析函数的单调性，进而确定极值点，可得，且，进而结合等比数列的性质求解即可.

【详解】设等比数列的公比为，

由，

得，

令，则或；令，则，

所以函数在和上单调递增，在上单调递减，

所以当时，取得极大值；当时，取得极小值.

因为与恰好为的两个极值点，

所以，且，

又，且，

所以.

故选：C.

二、多选题

9．下列结论中正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得.

【详解】对于A：，故A错误；

对于B：，故B错误；

对于C：，故C正确；

对于D：，故D正确；

故选：CD

10．对于定义在上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（    ）

A．若是的解，则其一定是函数的极值点

B．在上单调递减是在上恒成立的充要条件

C．若函数既有极小值又有极大值，则其极大值一定不会比它的极小值小

D．若在上存在极值，则它在一定不单调

【答案】ABC

【分析】取，可判断A选项；利用特例法结合函数单调性与导数的关系，结合充分条件与必要条件的定义可判断B选项；举特例可判断C选项；利用极值点与函数单调性的关系可判断D选项.

【详解】对于A选项，不妨取，则，当且仅当时，等号成立，

但函数在上单调递增，无极值点，A错；

对于B选项，取，则，当且仅当时，等号成立，

但函数在上单调递减，

所以，“在上单调递减”“在上恒成立”，

另一方面，若在上恒成立，则函数在上单调递减，

所以，“在上单调递减”“在上恒成立”，

所以，在上单调递减是在上恒成立的必要不充分条件，B错；

对于C选项，若函数既有极小值又有极大值，则其极大值不一定不会比它的极小值小，

如下图所示，函数的极大值小于它的极小值，C错；

对于D选项，若在上存在极值，则它在一定不单调，D对.

故选：ABC.

11．数列满是，则（    ）

A．数列的最大项为 B．数列的最大项为

C．数列的最小项为 D．数列的最小项为

【答案】BD

【分析】根据条件，判断出数列的单调性即可求出结果.

【详解】因为，所以，

由，得到，且易知，时，，当时，，

所以

所以数列的最大项为，最小项为，

故选：BD.

12．“内卷”是一个网络流行词，一般用于形容某个领域中发生了过度的竞争，导致人们进入了互相倾轧､内耗的状态，从而导致个体“收益努力比”下降的现象.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）；它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分E，F，G，H作第二个正方形，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q作第3个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD边长为，后续各正方形边长依次为，，，；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为，后续各直角三角形面积依次为，，，，下列说法正确的是（    ）

A．数列与数列均是公比为的等比数列

B．从正方形ABCD开始，连续4个正方形的面积之和为

C．和满是等式

D．设数列的前n项和为，则

【答案】AC

【分析】根据题意，，都是等比数列，从而可求，的通项公式，再对选项逐个判断即可得到答案．

【详解】对于A选项，由题意知，且，

所以，又因为，所以数列是以4为首项，为公比的等比数列，

可得，，

所以，由得数列与数列均是公比为的等比数列，故A正确；

对于B选项，由上，，，，，

所以，故B错误；

对于C选项，，，

所以，所以，故C正确；

对于D选项，因为，且，

所以，

因为时，是单调递增函数，所以，

而，故D错误.

故选：AC．

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是求出，的通项公式，考查了学生思维能力、计算能力.

三、填空题

13．已知是等差数列的前n项和，且，，则           .

【答案】2

【分析】由题设可得，应用等差数列通项公式求得，进而可求.

【详解】由题设，，两式相减可得，

若等差数列的公差为，则，即，

所以，则.

故答案为：2

14．记等比数列的前n项和为，且，则           .

【答案】

【分析】根据数列前项和与通项的关系，结合等比数列的定义，建立方程，可得答案.

【详解】当时，；当时，，

由数列是等比数列，则，则，解得.

故答案为：.

15．已知可导函数，定义域均为，对任意均满足，且，则           .

【答案】3

【分析】根据题意，求得函数值，利用求导公式以及求导法则，建立方程，可得答案.

【详解】由题意，则，解得，

由，则，

，可得.

故答案为：.

16．现有以下两个条件：⑴与有交点；⑵函数的导数为，且的值均在内.我们把在定义域内同时满足以上两个条件的函数构成的集合记作U，以下判断中正确的有           .

①若，则有且仅有一个解；

②函数，那么，但；

③设，在的定义域内任取，，且满足，，则有.

【答案】①③

【分析】构造函数，函数通过零点的研究判断①、②；利用放缩法和导数的几何意义判断③.

【详解】对于①，若，由条件⑴可知方程有解，

设函数，则，

由于，则，即函数为定义域上的减函数，

所以函数有且仅有一个零点，即有且仅有一个解，故①正确；

对于②，设函数

则，显然，

即函数在上为增函数，又，

所以函数无零点，即函数与无交点，

那么，所以②错误；

对于③，依题意，

，故③正确.

故答案为：①③

四、解答题

17．已知等差数列的公差不为0，且，，，，成等比数列，

(1)求数列的通项公式：

(2)若数列满足，记为数列的前n项和，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等比中项的性质以及等差数列的通项公式，建立方程，求得公差，可得答案；

（2）根据（1）所得到的通项，整理数列的通项公式，利用裂项相消，可得答案.

【详解】（1）由为等差数列，则，由等差数列，可设其公差为，

则，即，又因为，且，所以；

所以是以为首项，为公差的等差数列，可得.

（2）由（1）可知，又，可得；

所以，再通过裂项相消得到：

，所以

18．已知函数.

(1)求的值；

(2)求在点处的切线方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，再代入计算可得；

（2）由（1）可得，求出，，再由点斜式求出切线方程.

【详解】（1）因为，

所以，

代入得：，所以.

（2）由（1）可得，则

所以，，

所以切线方程为，即.

19．设正项等比数列的前n项和为，且，

(1)求数列的公比；

(2)若，数列满足，求的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由条件得到关于公比的方程，求解即可得到结果；

（2）由（1）可得，结合错位相减法求和即可.

【详解】（1）设正项等比数列的公比为，

由，得，

即，

化简得，又，

故，解得或（舍去），

所以.

（2）由（1）可知是以为首项，为公比的等比数列，

所以，那么.

所以，

则，

两式相减得，

即.

20．某品牌汽车准备在一次车展过程中给顾客免费发放冰淇淋，现欲从家源头工厂批发进购冰淇淋.已知该工厂在这笔订单中的固定成本为2万元，生产的最大上限是8万个，另外，每生产1万个冰淇淋成本会增加0.5万元，每x万个冰淇淋的销售额满足关系式（单位：万元，其中a是常数）；若该工厂卖出2万个冰淇淋的利润是12万元.

(1)设卖出x万个冰淇淋的利润为（单位：万元），求的解析式；

(2)这笔订单的销售量为多少时这家工厂的利润最大？并求出利润的最大值.

【答案】(1)，

(2)销售量为6万个时，利润最大为万元

【分析】（1）根据题意，写出函数解析式，由利润值，建立方程，可得答案；

（2）由函数解析式，求其导数，根据导数与单调性的关系，可得答案.

【详解】（1）卖出万个冰淇淋的利润（单位：万元）：，，

即，，当时，，解得，

故，；

（2），

当时，，当时，，

∴函数在上单调递增，在上单调递减，

∴时，利润最大为万元.

21．已知函数，.

(1)求的单调区间；

(2)设函数，且，求的最小值.

【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为

(2)

【分析】（1）利用导数、三角函数的性质研究的单调性即可；

（2）利用导数求的最小值，注意构造中间函数研究导数的区间符号.

【详解】（1）因为，

当时，有，此时单调递增；

当时，有，此时单调递减.

所以，的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由题意得，则.

设，则.

所以在上单调递减.

所以在上，则，即在上单调递减，

此时，最小值为.

22．已知数列满足，，且，.

(1)证明：数列为等差数列；

(2)记数列的前n项和为，求数列的通项公式，并求出使得不等式成立的n的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)，的最小值为.

【分析】（1）结合对数运算和等差中项证明等差数列即可；

（2）根据通项公式求和后解不等式求出最小值.

【详解】（1）因为，所以，

即；又因为，

所以；所以，

整理可得：，所以是等差数列；

又因为，，所以，可得公差为1；

所以是以为首项，为公差的等差数列.

（2）由第（1）问可知，又因为；

所以，.

那么；

；

所以的最小值为.