2022-2023学年新疆生产建设兵团第二师八一中学高二下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年新疆生产建设兵团第二师八一中学高二下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出集合，由交集的定义求解即可.

【详解】，，

．

故选：B．

2．如果等差数列中，，那么（    ）

A．14 B．12 C．28 D．36

【答案】C

【分析】根据等差数列的性质计算.

【详解】∵，∴，则，又，

故.

故选:C.

3．在等比数列中，若，，则（    ）

A．5 B．-5 C．±5 D．25

【答案】A

【分析】根据等比数列的定义，及两项间的关系求解即可.

【详解】设等比数列的公比为q，则或（舍），

则

故选：A

4．已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为（    ）

A．1≤a≤3 B．－1≤a≤3

C．1<a<3 D．0≤a≤2

【答案】B

【分析】由命题p是假命题，可知其否定为真命题，由此结合判别式列不等式，解得答案.

【详解】由题意:命题是假命题,

其否定: 为真命题,

即，解得，

故选：B

5．为调查某企业环境污染整治情况，得到了7组成对数据如下表所示：

由上表中数据求得Y关于x的回归直线方程为，据此计算样本点处的残差（残差=实际值-预测值）为（    ）

A．-0.25 B．0.25 C．0.15 D．-0.15

【答案】D

【分析】利用样本中心求解，即可求解时的预测值，由残差定义即可求解.

【详解】由表中数据可得，

故将样本中心代入得，

故，因此当时，,

所以样本点处的残差为，

故选：D

6．若两个等差数列，的前n项和满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等差数列得性质和前项和公式计算即可.

【详解】由，

得.

故选：B.

7．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意可得，化简后利用基本不等式可求出的最小值，然后将问题转化为大于的最小值，从而可求出实数的取值范围

【详解】因为两个正实数满足，

所以，

当且仅当，即时取等号，

因为不等式有解，

所以大于的最小值，即，

解得或，

即实数的取值范围是，

故选：C

8．2023年2月10日，神舟十五号三位航天员完成出舱活动全部既定任务，中国空间站全面建成后的首次出舱活动取得圆满成功.该航天科研所的甲､乙､丙､丁､戊5位科学家应邀去三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家.已知甲､乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（    ）

A．12种 B．24种 C．36种 D．30种

【答案】B

【分析】根据排列组合的知识以及分组分配的方法求解.

【详解】因为甲､乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素，

因此要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素，

若A学校只安排一个元素，则有种分配方法；

若A学校只安排二个元素，则有种分配方法；

所以不同的安排方式有24种，

故选:B.

二、多选题

9．对任意实数，给出下列命题，其中假命题是（    ）

A．“”是“”的充要条件

B．“”是“”的必要条件

C．“”是“”的充分条件

D．“是无理数”是“是无理数”的充要条件

【答案】AC

【分析】根据充分必有条件的定义逐项分析.

【详解】对于A，如果 ，则必定有 ，是充分条件，如果 ，则 ，得或  ，

不是必要条件，所以“”是“ ” 的充分不必要条件，错误；

对于B，如果 ，必定有 ，是必要条件，正确；

对于C，如果 ，比如 ， ，不能推出 ，不是充分条件，错误；

对于D，因为有理数+无理数=无理数，有理数+有理数=有理数，5是有理数，

所以“a+5是无理数”必定有a是无理数，是充分条件，如果“a是无理数”则“a+5也是无理数”，是必要条件，

所以“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，正确；

故选：AC.

10．设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．当时，取得最大值

C．

D．使得成立的最大自然数是15

【答案】ABC

【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB；利用通项公式将转化为可判断C；利用下标和性质表示出可判断D.

【详解】解：因为等差数列中，，，

所以，，，A正确；

当时，取得最大值，B正确；

，C正确；

，，

故成立的最大自然数，D错误．

故选：ABC．

11．已知随机变量，二项式，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．二项式的展开式中所有项的系数和为256

C．二项式的展开式中含项的系数为252

D．的展开式中含项的系数为5418

【答案】BCD

【分析】由，可判定A错误；令，求得所有的的系数和，可判定B正确；求得展开式的通项， 令，代入求解，可判定C正确；

令，代入求得的展开式中含项的系数，进而可判定正确.

【详解】对于A中，因为随机变量且，所以，所以A错误；

对于B中，在中，令，可得展开式中所有的的系数和为，所以B正确；

对于C中，当时，展开式的通项为，

令，解得，

所以二项式的展开式中含项的系数为，所以C正确；

对于D中，由选项C中二项式的展开式中含项的系数为，

再令，解得，

可得二项式的展开式中含项的系数为，

所以的展开式中含项的系数为，所以正确.故选：BCD.

12．某商场开业期间举办抽奖活动，已知抽奖箱中有30张奖券，其中有5张写有“中奖”字样．假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，记表示甲中奖，表示乙中奖，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据题意直接计算出，，，即可.

【详解】由题意可知，则A正确；

，则B错误；

，则C正确；

，则D错误；

故选：AC.

三、填空题

13．“对任意x∈R，若，则”的否定是        ．

【答案】存在，若，则

【分析】根据含全称量词命题的否定直接求解.

【详解】由含全称量词命题的否定可知，

“对任意，若，则”的否定是：存在，若，则.

故答案为：存在，若，则

14．的二项展开式中项的系数为        ．

【答案】90

【分析】根据二项式展开式的通项特征即可令得，代入即可.

【详解】的展开式的通项公式为，令得，故，故的二项展开式中项的系数为90．

故答案为：90

15．某厂有甲、乙两条生产线，甲生产线产出“高品质产品”的概率为0.6，乙生产线产出“高品质产品”的概率为0.5，已知两条生产线产量相同，现从该厂产品中任取一件，则它是“高品质产品”的概率为          .

【答案】/

【分析】根据全概率公式求解即可

【详解】由题意，因为两条生产线产量相同，故从该厂产品中任取一件，抽取到甲、乙两条生产线的概率均为0.5，故从该厂产品中任取一件，则它是“高品质产品”的概率为

故答案为：

16．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有10层，则该锥垛球的总个数为           ．

（参考公式：）

【答案】220

【分析】先根据三角锥垛每层球个数找出规律，然后写出第n层球个数的通项公式，进而求出前n项和，代入得出结果．

【详解】，，，，，，，

，

当时，该锥垛球的总个数为．

故答案为：220.

四、解答题

17．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，

(1)若，求数列的通项公式；

(2)若，求

【答案】(1)，

(2)或

【分析】（1）利用已知条件，结合等差数列和等比数列的通项即可得出公差和公比，即可求得结果.

（2）利用已知求出，再利用等差数列的前项和公式求解即可.

【详解】（1）设的公差为，的公比为，

由，得，

又，得，

与联立，解得（舍去）或，

因此数列的通项公式为.

（2）由，得，解得或，

当时，由得，则，

当时，由得，则，

综上，或.

18．某乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，并在种植药材的土地附近种草放牧发展畜牧业.牛粪、羊粪等有机肥可以促进药材的生长，发展生态循环农业.如图所示为某农户近7年种植药材的平均收入y（单位：千元）与年份代码x的折线图.并计算得到，，，，，，，其中.

(1)从相关系数的角度分析，与哪一个适宜作为平均收入y关于年份代码x的回归方程类型？并说明理由；

(2)根据（1）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程，并预测2023年该农户种植药材的平均收入.

附：相关系数，回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，，.

【答案】(1)适宜，理由见解析

(2)，87.39千元

【详解】（1）因为，

.

对于模型，相关系数，

对于模型，相关系数

因为，所以适宜作为平均收入y关于年份代码x的回归方程.

（2）由（1）可知回归方程类型为，

由已知数据及公式可得，.

所以y关于x的回归方程为，

又年份代码1-7分别对应年份2016-2022，所以2023年对应年份代码为8，

代入可得千元，所以预测2023年该农户种植药材的平均收入为87.39千元.

19．设数列的前项和为，且

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前项和为.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）计算，根据公式计算得到答案.

（2）确定，利用裂项相消法计算得到答案.

【详解】（1）当时，；

当时，；

经检验：满足；

综上所述：

（2），

.

20．某校全面落实双减政策，大力推进语文课程改革.从一年级选取甲、乙两个班级，甲班采用方案进行课改，乙班采用方案进行课改.期末考试后，对甲、乙两班学生的语文成绩（满分100分，单位：分）进行比较如下表：

甲班

乙班

规定：成绩小于80分为非优秀，大于或等于80分为优秀.

(1)根据数据完成下面的列联表，判断能否有95%的把握认为成绩是否优秀与课改方案有关？

(2)从甲、乙两班里成绩在75分以下的学生中任意选取3人，记为3人中乙班的人数，求的分布列及数学期望.

附：，其中.

【答案】(1)列联表见解析，有95%的把握认为成绩是否优秀与课改方案有关

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据列联表的数据以及公式计算求解即可.

（2）随机变量服从超几何分布，根据公式计算求解即可.

【详解】（1）

，

所以有95%的把握认为成绩是否优秀与课改方案有关.

（2）的可能取值为：.

则，，

，，

因此的分布列为

则.

21．设数列是等比数列，其前项和为.

(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求的通项公式；

①是等比数列；②.

(2)在（1）的条件下，若，求数列的前项和.

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】设等比数列的公比为

（1）若选①，根据是等比数列可知，再化简求解即可；

若选②，根据两式相减可得公比，再代入求得即可

（2）代入（1）中可得，再根据等比数列的前项和公式求解即可

【详解】（1）设等比数列的公比为，

若选①，根据是等比数列可知，又，故，，故，，，故，即，解得，故，此时，故即为等比数列符合题意，故

若选②，由可得，即，故，故，解得，故

（2），故

22．为了了解学生的运动情况，某中学对高中三个年级的学生运动情况进行了分层抽样调查.调查的样本中高一年级有的学生每周运动总时间超过5小时，高二年级有的学生每周运动总时间超过5小时，高三年级有的学生每周运动总时间超过5小时，且三个年级的学生人数之比为，用样本的频率估计总体的概率.

(1)从该校三个年级中随机抽取1名学生，估计该学生每周运动总时间超过5小时的概率；

(2)假设该校每名学生每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且.现从这三个年级中随机抽取5名学生，设这5名学生中每周运动总时间为5至6小时的人数为，求随机变量的期望.

【答案】(1)0.65；

(2)1.5.

【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率及全概率公式求解作答.

（2）由（1）的结论，结合正态分布的对称性求出该校学生每周运动总时间为5至6小时的概率，再利用二项分布求出期望作答.

【详解】（1）记随机抽取1名学生分别来自高一、高二、高三的事件为，抽取的1 名学生每周运动总时间超过5小时的事件为，

于是，,

因此

，

所以该学生每周运动总时间超过5小时的概率为0.65.

（2）该校每名学生每周运动总时间为随机变量（单位：小时），，

则有，由（1）知，，于是，

因此，即该校学生每周运动总时间为5至6小时的概率为0.3，

依题意，，则,

所以随机变量的期望为1.5.