2022-2023学年山西省大同市阳高县第四中学校高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年山西省大同市阳高县第四中学校高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．i为虚数单位，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的乘方和除法运算即可求解.

【详解】解：，

故选：B.

2．已知函数在点处的切线的倾斜角是，则的值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】由导数的几何意义利用切线的斜率列出方程即可求解.

【详解】由题意知.

故选：A

【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.

3．已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的方程为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据双曲线的离心率与右焦点坐标，可求出，进而得出，从而可求出双曲线方程.

【详解】因为双曲线的离心率，且其右焦点为，

所以，则，所以，

因此，双曲线的方程为.

故选：C.

4．由曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为(　　)

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.

【详解】联立方程：可得：，，

结合定积分的几何意义可知曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为：

.

本题选择B选项.

【点睛】本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题.

5．已知椭圆的左､右焦点分别为，，过C的左焦点作一条直线与椭圆相交于A，B两点，若且，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先判断出直线为线段的垂直平分线，得到.利用椭圆的定义把，， ，用a、c表示，利用勾股定理得到a、c的齐次式，求出离心率.

【详解】因为且，所以直线为线段的垂直平分线，所以.

由椭圆定义知，所以，所以，.

在中，，在中，，所以，即，化简得，即，即，

解得椭圆C的离心率（舍去）.

故选：A.

6．已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据图象得到函数为偶函数，结合选项可排除B、D项，再由函数的极值点，排除C项，即可求解.

【详解】由图可知，函数的图象关于轴对称，所以函数为偶函数，

对于B中，函数且定义域为，所以为奇函数，不符合题意；

对于D中，函数且定义域为，所以为奇函数，不符合题意；

对于C中，函数，当且仅当时，即时，等号成立，所以函数的极值点为和，这与图象不符，不符合题意；

故选：A.

7．若满足约束条件则的最大值是（    ）

A．5 B．10 C． D．20

【答案】D

【分析】画出约束条件所表示的平面区域，目标函数表示到原点距离的平方，结合图象，确定目标函数的最优解，即可求解.

【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，

目标函数表示到原点距离的平方，

由图象可得，当取得点时，联立方程组，解得，

此时的最大值为.

故选：D.

8．已知等边三角形ABC的边长为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据平面向量运算律以及数量积的计算公式即可得出结果.

【详解】易知.

故选：B．

9．成都大运会某志愿者服务小队由四川大学25名学生和电子科技大学15名学生组成，现用分层抽样的方法从上述所有学生中抽取16名学生进行应急知识检测，则从四川大学学生中抽取的人数为（    ）

A．10 B．6 C．5 D．3

【答案】A

【分析】先求出四川大学和电子科技大学学生人数之比，然后按照比列抽取即可.

【详解】四川大学和电子科技大学学生人数之比为，

则从四川大学学生中抽取的人数为.

故选：A．

10．甲，乙，丙，丁四支足球队进行单循环比赛（每两个球队都要比赛一场），每场比赛的计分方法是﹔胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，全部比赛结束后，四队的得分为：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，则（    ）

A．甲胜乙 B．乙胜丙 C．乙平丁 D．丙平丁

【答案】C

【分析】甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次6场，总得分为16分，由比赛计分规则可得出在6场比赛中有2场比赛是平局，丁在3场比赛中有1场是平局，丙在3场比赛中有1场是平局，

乙在3场比赛中有2局是平局，由此可得答案.

【详解】解：甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次6场，总得分为6+5+4+1=16分，

由比赛计分规则：胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，所以在6场比赛中有2场比赛是平局，即，

丁得1分，即1+0+0=1，所以丁在3场比赛中有1场是平局，

丙得4分，即3+1+0=4，所以丙在3场比赛中有1场是平局，

而乙得分5分，即3+1+1=5，所以乙在3场比赛中有2局是平局，所以乙可能平丙，乙可能平丁，

故选：C.

11．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则c=（    ）

A．3 B． C．0.5 D．

【答案】B

【分析】根据指对数互化求解即可.

【详解】解：因为，，所以，所以，故.

故选：B.

【点睛】本题考查非线性回归问题的转化，是基础题.

12．是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与的浓度是否有关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与的浓度的数据如下表．由最小二乘法求得回归直线方程．表中一个数据模糊不清，请你推断出该数据为

A．78 B．79 C．80 D．81

【答案】C

【分析】设表中模糊不清的数据为，然后求出，代入回归方程中求得结果

【详解】解： 设表中模糊不清的数据为，由表中数据得：，，因为由最小二乘法求得回归方程为，将，代入回归直线方程，得．

故选：C

二、填空题

13．已知函数，其中e是自然对数的底数.若，则实数a的取值范围是       .

【答案】

【分析】确定函数为奇函数，增函数，将不等式转化为，根据函数单调性计算得到答案.

【详解】，则，故函数为奇函数.

，函数单调递增，

，故，故，

解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查了利用导数确定单调性，利用单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.

14．如图，在长方体中，，动点分别在线段和上．给出下列四个结论：

①存在点，使得是等边三角形；

②三棱锥的体积为定值；

③设直线与所成角为，则；

④至少存在两组，使得三棱锥的四个面均为直角三角形．

其中所有正确结论的序号是          ．

【答案】②④

【分析】利用等体积转化，求三棱锥的体积，判断②；建立空间直角坐标系，利用坐标表示，即可判断①；利用坐标表示异面直线所成角的余弦值，即可判断③；找到点的位置，即可判断④.

【详解】由题意，在长方体中，到平面的距离为1，F到边的距离为2，所以，故②正确；

建立空间直角坐标系，如图，

则，设，

，，，

则，，，

若是等边三角形无解，

故①错误；

又

若

若

∵

综上，所以③错误

当为中点，与重合时，如图，

此时，，

又，故，所以，

因为，所以，

所以，即三棱锥的四个面均为直角三角形，

当与重合，与重合时，如图，

显然，

故三棱锥的四个面均为直角三角形，

综上可知，至少存在两组，使得三棱锥的四个面均为直角三角形，故④正确．

故答案为：②④

15．若复数满足，则      ．

【答案】

【分析】根据复数的运算求出，然后代入即可求解.

【详解】，则，

故答案为：．

16．已知，若关于的方程有五个相异的实数根，则的取值范围是      ．

【答案】

【分析】根据题意可知方程有两个根，则有3个根，然后作出分段函数的大致图象，利用数形结合即可求解.

【详解】因为，

根据题意和函数图象可知，

有两个根，则有3个根，

的图象如图所示，

结合图象可知，要使方程有3个根，则有，所以.

故答案为：．

三、解答题

17．如图，四棱锥的底面是直角梯形，，．底面，且

(1)证明：平面；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）首先取的三等分点，且，连结，，得到，从而得到四边形是平行四边形，即可得到，再利用线面平行的判定即可证明平面.

（2）以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解二面角即可.

【详解】（1）取的三等分点，且，连结，，

如图所示：

又因为，所以．

因为，所以，

所以四边形是平行四边形．所以，

又直线平面，平面，所以平面．

（2）以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴和轴，

建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，．

，，设平面的法向量为，

则，即.

，，

设平面的法向量为，

则，即．

所以，

由图可知，二面角的余弦值为．

18．高二年级的一个研究性学习小组在网上查知，某珍贵植物种子在一定条件下发芽成功的概率为，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验.

（1）第1组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；

（2）第二小组做了若干次发芽试验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽实验的次数的概率分布列和期望.

【答案】（1）；（2）.

【详解】（1）由题设条件知，种下5粒种子至少有3次成功的概率相当于5次独立重复试验中恰好发三次、四次、五次的概率．至少有3次成功的概率等于3次、4次、5次发芽成功的概率之和．（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，5分别求其概率，列出分布列，再求期望即可．

（1）至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功，所以所求概率

（2）的概率分布列为

所以.

19．已知函数，，．

(1)当时，证明：时，恒成立；

(2)若在处的切线与垂直，求函数在区间上的值域；

(3)若方程有两个不同的根，求实数的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）当，求得，结合，即可得证；

（2）由，求得，得到，求得函数的单调性，结合的值，即可求解.

（3）根据题意转化为有两个不同的零点，设，求得，得出函数的单调性，进而求得实数的取值范围.

【详解】（1）解：当，函数，可得，

所以函数在单调递增，

所以，所以当时，恒成立.

（2）解：由，可得，所以，解得，

因为，令，可得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以在区间单调递减，在区间单调递增，

又因为，可得，

所以函数在区间上的值域为.

（3）解：由题意有两个不同的零点，

即有两个不同的零点，即有两个不同的零点，，

设，可得，令，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，                    

当，当，，    

要使有两个不同的交点，可得，

所以实数的取值范围是.

20．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：

(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；

(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：

①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？

②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，记这1000位农民中的年收入高于千元的人数为，求.

附参考数据：，

若随机变量X服从正态分布，则

，

，

.

【答案】(1)17.40

(2)①14.77；②977.3

【分析】（1）根据频率分布直方图求平均值方法可得，

（2）①根据原则可得，②根据原则先得每位农民年收入高于千元的概率，根据二项分布的期望公式可得.

【详解】（1）

（千元），

故估计50位农民的年平均收入为17.40千元.

（2）由题意知，

①，

所以时，满足题意，

即最低年收入大约为千元.

②由，

每个农民的年收入高于千元的事件的概率为，

则，其中，

所以.

21．已知复数．

(1)若复数z在复平面内对应的点位于实轴上方（不包括实轴），求a，b满足的条件；

(2)若，求a，b的值．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）由复数的几何意义求解；

（2）根据复数相等的定义求解．

【详解】（1）由题意．

（2）由题意，解得．

22．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：

由散点图知根部横截面积与材积量线性相关，并计算得．

(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的回归直线方程；

(3)现测量了该林区2500棵这种树木的根部横截面积，并得到这些树木的根部横截面积总和为．利用（2）中所求的回归直线方程，估计这些树木的总材积量．

附：回归直线方程的斜率，截距．

【答案】(1)该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06，平均一棵的材积量为0.39；

(2)；

(3)995.1

【分析】（1）利用平均数公式计算出，即可；

（2）利用题干数据，代入公式，计算出，，得到线性回归方程；

（3）将代入到线性回归方程中，计算出，从而求出这些树木的总材积量.

【详解】（1）由题意得：，，

估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06，平均一棵的材积量为0.39

（2），

，

故该林区这种树木的根部横截面积与材积量的回归直线方程为

（3）因为，所以，

将代入中，得到，

则估计这些树木的总材积量为