2022-2023学年安徽省合肥市肥西县高二下学期阶段性测试（期末）数学试题含答案

2022-2023学年安徽省合肥市肥西县高二下学期阶段性测试（期末）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先化简集合，再利用集合交集的定义求解即可.

【详解】由得，即，

所以，

故选：C

2．若复数是纯虚数，则实数（    ）

A． B． C． D．6

【答案】D

【分析】根据纯虚数的定义，即可复数的乘法计算，由复数相等的充要条件即可求解.

【详解】设（且），则，∴且，解得．

故选：D

3．曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用导数的计算及几何意义，求解切线的斜率，然后求出切线方程即可．

【详解】求导得，则，

所以曲线在点处的切线方程．

故选：B.

4．根据变量和的一组试验数据计算可得，，回归直线方程为，则可以预测当时，变量的估计值为（    ）

A．29 B．30 C．31 D．32

【答案】A

【分析】把已知样本的中心点坐标代入线性回归方程，求得，再代入，求解即可.

【详解】因为回归直线经过点，所以，解得，

所以回归直线方程为，

代入，得．

故选：A

5．定义高阶等差数列：对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶差数列，再令，则数列是数列的二阶差数列．已知数列为2，5，11，21，36，，且它的二阶差数列是等差数列，则（    ）

A．45 B．85 C．121 D．166

【答案】C

【分析】利用二阶差数列是等差数列，由此将原数列一一列举即可.

【详解】该数列的一阶差数列为3，6，10，15，，则二阶差数列为3，4，5，，

因为二阶差数列是等差数列，故二阶差数列后面的项为6，7，8，，

所以一阶差数列后面的项为21，28，36，，

从而原数列后面的项为57，85，121，，故．

故选：C

6．已知等边的边长为2，，，连接并延长交于，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【分析】设，根据向量的线性运算表示出，根据三点共线，求得，即可根据数量积的定义求得答案.

【详解】设，由可知为的中点，而，

则．

∵，，三点共线，∴，解得．

故，，∴,

故选：D

7．的展开式中的系数为（    ）

A． B．240 C． D．360

【答案】A

【分析】根据二项式展开式的特征即可求解.

【详解】，

其展开式中的系数为．

故选：A

8．某校高三男生的身高（单位：）服从正态分布，且．从该校随机抽取名高三男生，其中至少有1人身高超过的概率大于，则的最小值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】根据正态分布的性质得到该校男生身高超过的概率为，设事件“至少有1人身高超过”，根据对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得.

【详解】因为，所以，即该校男生身高超过的概率为．

从该校随机抽取名高三男生，设事件“至少有1人身高超过”，则“身高都没有超过”，

由题意，则，

因为，，所以的最小值为5．

故选：B

二、多选题

9．某制药公司为了研究某种治疗高血压的药物在饭前和饭后服用的药效差异，随机抽取了200名高血压患者开展试验，其中100名患者饭前服药，另外100名患者饭后服药，随后观察药效，将试验数据绘制成如图所示的等高条形图，已知，且，则下列说法正确的是（    ）

A．饭前服药的患者中，药效强的频率为

B．药效弱的患者中，饭后服药的频率为

C．在犯错误的概率不超过0.01的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异

D．在犯错误的概率不超过0.01的条件下，不能认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异

【答案】AC

【分析】根据等高条形图即可得饭前饭后药效强和弱的人数，即可判断AB，计算卡方与临界值比较即可判断CD.

【详解】对于A，饭前服药的100名患者中，药效强的有80人，所以频率为，故A正确；

对于B，饭前服药的有20人药效弱，饭后服药的有70人药效弱，所以药效弱的有90名患者，饭后服药的频率为，故B错误；

对于C，D，因为，

故在犯错误的概率不超过0.01的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异，故C正确，D错误．

故选：AC

10．已知函数，则（    ）

A．的最小正周期为

B．的最大值为

C．在上单调递增

D．将的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数的图象

【答案】AD

【分析】利用三角恒等变换、三角函数的图象与性质一一判定即可.

【详解】根据正弦的和角公式及二倍角公式化简可得：

．

所以的最小正周期为，的最大值为1，故A正确，B错误；

当时，，所以在此区间上不单调，故C错误；

将的图象向左平移个单位长度所得图象对应函数为

，为偶函数，故D正确．

故选：AD.

11．在同一直角坐标系中，函数和的大致图象可能为（    ）

A．   B．    

C．   D．  

【答案】BCD

【分析】根据二次函数的性质研究的图象，利用导数研究函数的性质及图象，从而得出答案．

【详解】由已知得，，

函数的图象为开口向上的抛物线，与轴在和处相交，

的图象是“型曲线”，当时有和两个极值点，

当时单调递增，且的图象与轴交于点．

对于A，由二次函数图象可知，但三次函数图象与轴的交点在轴上方，故A不正确；

B项图中两条曲线符合时的情况；

C项图中两条曲线符合时的情形；

D项图中两条曲线符合时的情况．

故选：BCD.

12．已知数列满足，，则（    ）

A．数列为等比数列 B．

C．， D．

【答案】ABD

【分析】根据递推关系得是以为首项，为公比的等比数列，即可求解其通项，结合选项即可逐一求解.

【详解】对于A，依题意，由可得，

整理得，∵，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确；

对于B，，∴，，故B正确；

对于C，易知关于单调递减，

∴数列是递减数列，又，∴数列为递增数列，故C错误；

对于D，

，故D正确．

故选：ABD

三、填空题

13．某电影院有4部科幻电影和2部喜剧电影即将上映，小明准备观看其中的3部，且至少观看1部喜剧电影，则不同的观看方案有        种．（用数字填写答案）

【答案】16

【分析】根据分类加法计数原理、分步乘法计数原理以及组合数公式可求出结果.

【详解】若小明观看1部喜剧电影和2部科幻电影，则观看方案有种；

若小明观看2部喜剧电影和1部科幻电影，则观看方案有种，

故不同的观看方案有种．

故答案为：16

14．记等差数列的前项和为，已知，，则当取最大值时，的值为        ．

【答案】6

【分析】利用等差数列前项和公式和等差数列数列的对称性，可得到0，，从而得出结果.

【详解】因为，，

所以0，，∴是递减数列，

当时，，当时，．

∴当取最大值时，的值为6．

故答案为：6.

15．某工厂的，，车间生产同一产品，产量分别占总产量的，，，且，，车间生产的产品的次品率之比为，若该工厂整体的次品率为，则车间的次品率为        ．

【答案】

【分析】根据全概率公式即可求解.

【详解】设车间的次品率为，则车间的次品率为，车间的次品率为，

则，解得，所以车间的次品率为．

故答案为：

16．若关于的方程有三个不等实数根，则实数的取值范围是        ．

【答案】

【分析】构造函数，，利用导数研究函数的单调性，极值，画出对应的图像，数形结合即可求解.

【详解】由已知可知关于的方程有三个不等实数根，

即函数的图象与直线有三个公共点，

构造函数，求导，

令，解得

当时，，故在区间上单调递增，

当时，，故在区间和上单调递减，

且，，当或时，，

且当时，，当时，，

画出的大致图象如图，要使的图象与直线有三个交点，需，即，即的取值范围是．

故答案为：

【点睛】方法点睛：本题考查判断利用函数的零点个数求参数问题，常用的方法：

（1）方程法：令，如果能求出解，有几个解就有几个零点．

（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图像与性质确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．

（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．

四、解答题

17．在中，角，，所对的边分别为，，，已知．

(1)求角；

(2)若，且，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理边角化即可求解，

（2）由正余弦定理以及面积公式即可求解.

【详解】（1）由及正弦定理得，

即，

∵，∴．

（2）由余弦定理可知．

由正弦定理可得，，∴，

∴的面积为.

18．已知数列的前项和．

(1)求；

(2)设，数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小整数值．

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）利用与的关系求解；

（2）利用裂项相消求和法求出，进而可得答案．

【详解】（1）当时，，

当时，，，

作差得，

故

（2）当时，，

当时，，

所以当时，

，

又，要使对任意恒成立，则，

故的最小整数值为3．

19．如图，在三棱锥中，是等边三角形，是等腰直角三角形，，点在平面内的射影恰好落在棱上．

(1)证明：平面；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，连接，，则由等边三角形的性质可得，由平面，可得，则平面，所以，再结合得，从而可得是的中点，则，然后由线面垂直的判定定理可证得结论；

（2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.

【详解】（1）证明：取的中点，连接，，

由题意知平面，平面，所以，，

因为是等边三角形，是的中点，所以，

又，平面，所以平面，

因为平面，所以．

在等腰直角中，，所以，

因为平面，所以，

因为是的中点，所以是的中点，

因为，所以．

因为，，平面，所以平面．

（2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

因为是等边三角形，是等腰直角三角形，，为的中点，

所以，，所以．

所以，，，，

所以，

设平面的法向量为，则

，取，则，

因为平面，平面，所以，

因为，，平面，

所以平面，

所以平面的一个法向量为．

所以，

由图可知二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．

20．某社区居民中青少年、中年人、老年人的人数相同，现按三个年龄段人数比例用分层随机抽样的方法从中抽取60人，调查他们的日均微信步数，统计结果如下：

(1)求，，的值；

(2)从这60人中随机抽取2名日均微信步数在内的中年人，记这2人中日均微信步数在内的人数为，求的分布列与数学期望；

(3)以样本数据中日均微信步数位于各区间的频率作为该社区居民日均微信步数位于该区间的概率，假设该社区的老年人中有年龄大于70岁，且年龄大于70岁的老年人中有的人日均微信步数在内，现从该社区任选一名老年人，若已知此老年人的日均微信步数在内，求他的年龄大于70岁的概率．

【答案】(1)

(2)分布列见解析；期望为

(3)

【分析】（1）根据青少年、中年人、老年人的人数相同即可列方程求解，

（2）根据超几何分布的概率计算公式即可求解，

（3）由条件概率的计算公式即可求解.

【详解】（1）由题意，得解得

（2）由（1）可知，日均微信步数在内的中年人有11人，内的中年人有4人．

则的所有可能取值为0，1，2，

，，，

所以的概率分布列为

所以．

（3）设表示事件“该社区老年人的日均微信步数在内，表示事件“该社区老年人的年龄大于70岁”．

由题知，，

，

则．

21．已知双曲线：的右焦点为，过且斜率为1的直线与的渐近线分别交于，两点（在第一象限），为坐标原点，．

(1)求的方程；

(2)过点且倾斜角不为0的直线与交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由已知得：，与渐近线方程联立解得，，结合已知条件得，进而求得，得到的方程；

（2）要证明，只需证明的中点与的中点重合．设直线：，与双曲线方程联立，结合韦达定理求出的中点为的坐标，由直线与渐近线方程联立，求出的坐标，进而得的中点为的坐标，即可得出结论．

【详解】（1）由已知得：，

联立解得，同理可得．

∵，∴，整理得．

又，∴，，

∴的方程为．

（2）要证明，只需证明的中点与的中点重合．

设的中点为，直线：，

联立得，

设，，则，

，，即，

双曲线：的渐近线方程为，

由得可得，

由得可得，

∴的中点为，

∴点与点重合，∴．

22．已知函数．

(1)当时，讨论在区间上的单调性；

(2)若当时，，求的取值范围．

【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减

(2)

【分析】（1）求导，由导数正负即可求解

（2）利用导数求证和，即可结合零点存在性定理求解.

【详解】（1）当时，，，

当时，；当时，．

所以在上单调递增，在上单调递减.

（2）设，由题意知当时，．

求导得．

设，则，

令，则，当当故函数在单调递增，在单调递减，所以；

令，可得，故在单调递增时，．

所以当时，．

故在上单调递增，

当时，，且当时，．

若，则，函数在上单调递增，

因此，，符合条件．

若，则存在，使得，即，

当时，，则在上单调递减，此时，不符合条件．

综上，实数的取值范围是．

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．