2022-2023学年上海市曹杨中学高二下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年上海市曹杨中学高二下学期期末数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．双曲线的焦距为 .
【答案】
【分析】根据双曲线的方程，可直接得出焦距.
【详解】双曲线的焦距为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求双曲线的焦距，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型.
2．已知为等比数列，且，则的公比为 ．
【答案】
【分析】设出等比数列公比，利用等比数列通项公式列式计算作答.
【详解】设等比数列公比为，依题意，，
而，解得，
所以的公比为.
故答案为：.
3．已知，则 ．
【答案】
【分析】求出，代值计算可得出的值.
【详解】因为，则，则.
故答案为：.
4．用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中能被整除的数共有 个．（用数字作答）
【答案】
【分析】分析可知，个位数只能排或，其他数位没有限制，结合分步乘法计数原理可得结果.
【详解】由题意可知，个位数只能排或，其他数位没有限制，
因此，能被整除的五位数的个数为个.
故答案为：.
5．已知随机变量X服从正态分布，且，则 ．
【答案】
【分析】利用正态曲线的对称性即可求解．
【详解】由正态曲线的对称性可知，，，
所以，．
故答案为：．
6．一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个红球，从中摸出两个球，若表示摸出白球的个数，则 ．
【答案】
【分析】求出的可能取值即每个对应的概率，再由均值公式即可求出.
【详解】的可能取值为，
，，
，则.
故.
故答案为：.
7．已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则 ．
【答案】
【分析】根据，，成等比数列以及列出关于的方程，解出，再根据计算答案即可
【详解】因为，，成等比数列
，即
解得 或（舍）
故答案为：
8．法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析几何函数论》中给出一个定理，如果函数满足条件：
①在闭区间上是连续不断的；
②在区间上都有导数；
则在区间上至少存在一个实数t，使得，其中t称为“拉格朗日”中值，函数在区间上的“拉格朗日中值” ．
【答案】/
【分析】对求导，根据题设“拉格朗日”中值的定义列方程求参数t，注意判断是否在给定区间上.
【详解】由，则，即，故.
故答案为：
9．袋中装有9个形状大小均相同的小球，其中4个红球，3个黑球，2个白球，从中一次取出2个球，记事件A＝“两球是同一颜色”，事件B＝“两球均为红球”，则 ．
【答案】/0.6
【分析】根据条件概率公式即可求得答案.
【详解】．
故答案为：.
10．已知，若，则 .
【答案】
【分析】将所给多项式配凑成符合二项展开式的形式，从而还原为，解方程求得结果.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查二项展开式还原的问题，关键是能够配凑成符合二项展开式形式的式子，进而将式子还原为的形式.
11．已知函数的导函数的图像如图所示，给出以下结论：
①在区间上严格增；
②的图像在处的切线斜率等于0；
③在处取得极大值；
④在处取得极小值．正确的序号是
【答案】②④
【分析】根据导函数图像得到导数的正负，从而得到函数的增减和极值情况，判断①②③，并根据导函数的增减判断④.
【详解】根据的图像可知，在上，，仅在处有，
所以在上单调递减，故①错误；
，故②正确；
在区间上单调，没有极值点，故③错误；
由的图像可知，在上单调递减，在上单调递增，故④正确．
故答案为：②④．
12．若数列满足:对任意的，只有有限个正整数k使得成立，记这样的k的个数为，则得到一个新数列，例如，若数列，则数列是0、1、2、…、、…，若，则
【答案】
【分析】根据题意寻找规律，从而求出当时，，再求出.
【详解】由，，，，……，得：，，，
当时，，……，当时，，
所以，，，……，，
故答案为：
【点睛】对于定义新数列题目，要能正确理解题干中的信息，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，寻找规律进行求解.
二、单选题
13．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据导数的运算法则求导后判断．
【详解】，A错；
，B错；
，C正确；
，D错．
故选：C．
14．随机变量服从二项分布，且，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二项分布的期望与方差公式计算可得.
【详解】解：因为，所以，，
解得，所以.
故选：B.
15．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极值点（包括极大值点和极小值点）有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据函数图象，结合极值点定义即可判断在开区间内极值点个数.
【详解】根据极值点定义，在极值点处导函数为0，且在极值点左右两侧单调性性不同，
结合函数图象可知，导函数在内与轴有4个交点，但在两侧均为单调递增函数，因而不是极值点，
所以在开区间内极值点有3个，
故选：C
【点睛】本题考查了导函数图象性质的应用，极值点的意义，属于基础题.
16．关于函数，下列判断错误的是（ ）
A．函数的图像在点处的切线方程为
B．是函数的一个极值点
C．当时，
D．当时，不等式的解集为
【答案】B
【解析】先对函数求导，得到，求出函数的图像在点处的切线方程，即判断A；根据时，恒成立，得到函数单调，无极值点，可判断B；根据导数的方法求出时，的最小值，即可判断C；根据导数的方法判断时函数的单调性，根据单调性列出不等式组求解，即可得出结果.
【详解】因为，所以，，
所以，因此函数的图像在点处的切线方程为，即，故A正确；
当时，在上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B错；
当时，，由得；由得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
因此，即；故C正确；
当时，在上恒成立，所以函数在上单调递减；由可得，解得：，故D正确；
故选：B.
【点睛】本题主要考查求曲线在某一点处的切线方程，以及导数的方法研究函数的单调性、极值最值等，属于常考题型.
三、解答题
17．已知在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.
(1)求的值；
(2)求的展开式的中间两项.
【答案】(1)7
(2)，
【分析】（1）写出对应项的系数列方程求解即可；
（2）利用二项式定理即可.
【详解】（1）展开式的通项为，
展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，
，即，.
（2）由（1）可知，，
的展开式的通项为.
二项展开式共有8项，中间两项即为第4项和第5项，
，
.
的展开式的中间两项分别为，.
18．在数列中，，．
(1)证明数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和；
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意构造数列，再利用等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）求出，再由分组求和法求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以，所以数列是以为首项，
为公比的等比数列.
（2）由（1）知，，所以.
.
19．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）类．
【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．
【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以的分布列为
（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以．
因为，所以小明应选择先回答类问题．
20．规定，其中，是正整数，且，这是组合数（、是正整数，且）的一种推广．
(1)求的值．
(2)组合数的两个性质：①；②是否都能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；
(3)已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，．
【答案】(1)
(2)性质①不能推广，理由见解析；性质②能推广，证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）按题中定义计算即可；
（2）由定义可知m是正整数，所以只需要判断①；②中的、、是否只能是整数即可；
（3）分类讨论、、三种情况，其中当时可将的分子转换为正数进行计算证明.
【详解】（1）解：.
（2）解：性质①不能推广，例如当时，有定义，但无意义；
性质②能推广，它的推广形式是：，，是正整数，
证明：当时，有，
当时，
（3）证明：当时，组合数；
当时，；
当时，由可知，
所以
因为组合数是正整数，所以.
证毕.
【点睛】关键点点睛：本题参考查组合数的性质的应用，在解答第（2）小问时，要注意是无理数和情形，结合组合数的新定义来进行判断；在解答第（3）小问时，要注意对进行分类讨论，结合组合数公式进行推理证明.
21．已知函数．
(1)若函数在时取得极值，求的值；
(2)在第一问的条件下，求证：函数有最小值；
(3)当时，过点与曲线相切的直线有几条，并说明理由注：不用求出具体的切线方程，只需说明切线条数的理由
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)有条，理由见解析
【分析】（1）求定义域，求导，根据为极值点得到方程，求出的值；
（2）在（1）的基础上，确定函数的极小值，结合函数特征，确定其也是最小值；
（3）设出切点，根据斜率列出方程，得到，将公切线条数转化为一元三次方程的根的个数，结合零点存在性定理求出答案.
【详解】（1）已知，函数定义域为R，
可得，
若函数在时取得极值，
此时，
解得，
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以是极大值点，满足条件，
综上所述，；
（2）由知，，，
函数在处取得极小值，且，
而，
当时，恒成立，
故在处取得极小值，也是最小值，最小值为；
（3）当时，，
此时点不在函数的图象上，
不妨设过的切线的切点为，
可得，
因为，
所以，
又，
整理得，
要求过点与曲线相切的直线有几条，
即求关于的一元三次方程的实数根的个数问题，
不妨设，
因为，
所以在，，内各有一个实数根，
又因为在实数范围内最多有三个根，
则有三个不相同的实数根，
所以过点与曲线相切的直线有条．
【点睛】方法点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2)已知斜率求切点即解方程；(3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.