四川省成都市双流中学2022-2023学年高三数学（理）上学期适应性试卷（Word版附解析）

这是一份四川省成都市双流中学2022-2023学年高三数学（理）上学期适应性试卷（Word版附解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省成都市双流中学高三（上）适应性
数学试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|2≤x≤3，x∈Z}，B＝{x|log2（x﹣2）≤1}，则A∩B＝（　　）
A．[2，3] B．（2，3] C．{2，3} D．{3}
2．（5分）若复数z满足z（1+i）＝3﹣i，则z的虚部为（　　）
A．1 B．﹣2 C．﹣2i D．i
3．（5分）如图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息（　　）

A．26 B．24 C．20 D．19
4．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，，，若，则λ﹣μ＝（　　）

A． B． C． D．0
5．（5分）猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三名同学同时猜一个灯谜，每人猜对的概率均为，并且每人是否猜对相互独立．在三人中至少有两人猜对的条件下（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）酒后驾驶是严重危害交通安全的行为，某交通管理部门对辖区内四个地区（甲、乙、丙、丁）的酒驾治理情况进行检查督导，每天查获的酒驾人数不超过10”，则认为“该地区酒驾治理达标”，酒驾治理一定达标的地区是（　　）
A．甲地，均值为4，中位数为5
B．乙地：众数为3，中位数为2
C．丙地：均值为7，方差为2
D．丁地：极差为3，75%分位数为8
7．（5分）正项等比数列{an}公比为q，前n项和Sn，则“q＞1”是“S2021+S2023＞2S2022”的（（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by+c＝0通过（　　）
A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D．第二、三、四
9．（5分）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图是会徽的几何图形1，弧BC长度是l2，几何图形ABCD面积为S1，扇形BOC面积为S2，若，则＝（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．（5分）《九章算术•商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵”，AB＝BC＝41＝5，M是A1C1的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台（　　）

A．40 B． C．50 D．
11．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[﹣2.1]＝﹣3，已知函数，则函数y＝[f（x）（　　）
A． B．（0，2] C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}
12．（5分）十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，已知在△ABC中，已知，BC＝2，且点M在AB线段上，若点P为△AMC的费马点，则＝（　　）
A．﹣1 B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若，α为第二象限角，则cos2α＝　 　．
14．（5分）函数f（x）＝xlnx﹣x2在x＝2处的切线方程为 　 　．
15．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为 　 　．
16．（5分）一个正四棱台的侧面与底面所成的角为60°，且下底面边长是上底面边长的2倍．若该棱台的体积为，则其下底面边长为 　 　，外接球的表面积为 　 　．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（12分）已知α，β为锐角，cosα＝（α+β）＝﹣．
（Ⅰ）求sin2α的值；
（Ⅱ）tan（α﹣β）的值．
18．（12分）衢州市某公园供市民休息的石凳是阿基米德多面体，它可以看作是一个正方体截去八个一样的四面体得到的二十四等边体（各棱长都相等），已知正方体的棱长为30cm．
（1）证明：平面ABE∥平面GNK；
（2）求石凳所对应几何体的体积．

19．（12分）如图是某采矿厂的污水排放量y（单位：吨）与矿产品年产量x（单位：吨）的折线图：
（1）依据折线图计算相关系数r（精确到0.01），并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）若可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程，并预测年产量为10吨时的污水排放量．
相关公式：，参考数据：．
回归方程中，．

20．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+y2＝，一动圆与直线x＝﹣相切且与圆C外切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹T的方程；
（Ⅱ）若经过定点Q（6，0）的直线l与曲线T相交于A、B两点，M是线段AB的中点，试问是否存在直线l，使得NA⊥NB，求出直线l的方程，若不存在
21．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣x，g（x）＝ax2+1，a∈R．
（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，2]上的最值．
（Ⅱ）当x＞0时，恒有f（x）＞g（x）
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的倾斜角为α，且过点P（0，1）．
（1）求曲线C的普通方程与直线l的参数方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的倾斜角α．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|．
（1）若f（x）≥+（m＞0，n＞0）对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；
（2）若f（x）≥ax﹣2+a恒成立，求实数a的取值范围；

2022-2023学年四川省成都市双流中学高三（上）适应性数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|2≤x≤3，x∈Z}，B＝{x|log2（x﹣2）≤1}，则A∩B＝（　　）
A．[2，3] B．（2，3] C．{2，3} D．{3}
【答案】D
【分析】求出集合A，B，再由集合的运算求交集即可．
【解答】解：A＝{x|2≤x≤3，x∈Z}＝{8，
∵log2（x﹣2）≤7，∴0＜x﹣2≤5，
∴B＝{x|log2（x﹣2）≤7}＝{x|2＜x≤4}，
∴A∩B＝{6}．
故选：D．
【点评】本题考查对数不等式的求解和集合的交集运算，属于基础题．
2．（5分）若复数z满足z（1+i）＝3﹣i，则z的虚部为（　　）
A．1 B．﹣2 C．﹣2i D．i
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
【解答】解：，
故z的虚部为﹣5．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
3．（5分）如图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息（　　）

A．26 B．24 C．20 D．19
【答案】D
【分析】根据题意，结合图形得出从A到B传播路径有4条，
写出每条途径传播的最大信息量，再求和．
【解答】解：根据题意，结合图形知，
从A到B传播路径有4条，如图所示；

途径①最大信息量为3，途径②最大信息量为2；
途径③最大信息量为6，途径④最大信息量为6；
所以从A向B传递信息，
单位时间内传递的最大信息量为6+4+6+5＝19．
故选：D．
【点评】本题考查了分类计数原理的应用问题，是基础题．
4．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，，，若，则λ﹣μ＝（　　）

A． B． C． D．0
【答案】D
【分析】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，，，
所以＝＝＝+（）＝（++＝+，
若，则，
λ﹣μ＝0．
故选：D．
【点评】本题主要考查了向量的线性运算及平面向量基本定理的应用，属于基础题．
5．（5分）猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三名同学同时猜一个灯谜，每人猜对的概率均为，并且每人是否猜对相互独立．在三人中至少有两人猜对的条件下（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件概率的计算，即可解出．
【解答】解：设事件A为：三人中至少有两人猜对；
事件B为：甲猜对；
P（A）＝C（）+（）3＝，
P（AB）＝++＝，
∴P（B|A）＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查条件概率的计算，学生的数学运算能力，属于基础题．
6．（5分）酒后驾驶是严重危害交通安全的行为，某交通管理部门对辖区内四个地区（甲、乙、丙、丁）的酒驾治理情况进行检查督导，每天查获的酒驾人数不超过10”，则认为“该地区酒驾治理达标”，酒驾治理一定达标的地区是（　　）
A．甲地，均值为4，中位数为5
B．乙地：众数为3，中位数为2
C．丙地：均值为7，方差为2
D．丁地：极差为3，75%分位数为8
【答案】C
【分析】对于选项A，C：首先假设不达标，通过均值，中位数和方差的公式运算，检验假设是否成立，对于选项B，D：根据众数，中位数，极差和百分位数定义即可判断．
【解答】解：不妨设8天中，每天查获的酒驾人数从小到大分别为x1，x3，.....，x8，
且xi≥0，其中i＝3，2，
选项A：若不达标，则x8≥11，因为中位数为24+x5＝10，
又因为均值为2，故，从而x6+x2+x3+x8+x7≤11，
且x1≤x8≤x3≤5≤x2≤x7，则x1＝x2＝0，x3＝6，x4＝x5＝x2＝x7＝5，
x4＝11满足题意，从而甲地有可能不达标，
选项B：由众数和中位数的定义易知，当x1＝x2＝6，x3＝x4＝7，x5＝x6＝x3＝3，
x8＝11时，乙地不达标，
选项C：若不达标，则x2≥11，由均值为7可知，
由方差定义可知，S＞2，从而丙地一定达标，
选项D：由极差定义和百分位数定义可知，当x4＝x2＝x3＝x7＝x5＝x6＝x2＝8，x8＝11
时，丁地不达标，
故选：C．
【点评】本题考查了众数，中位数，平均值以及方差，考查了学生的逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．
7．（5分）正项等比数列{an}公比为q，前n项和Sn，则“q＞1”是“S2021+S2023＞2S2022”的（（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由已知结合等比数列的求和公式分别检验充分性及必要性即可判断．
【解答】解：因为正项等比数列{an}公比为q，a1＞0，
当q＞5时，S2021+S2023﹣2S2022＝+﹣
＝﹣×q2021（q2﹣q+8）
＝×（q3﹣q+1）＞0，
所以S2021+S2023＞7S2022，充分性成立；
正项等比数列{an}公比为q，a1＞0，
若S2021+S2023﹣6S2022＝+﹣
＝﹣×q2021（q2﹣q+1）
＝×（q2﹣q+4）＞0，
又a1＞5，q2﹣q+1＞6，q＞0，
所以q﹣1＞2，即q＞1．
故“q＞1”是“S2021+S2023＞7S2022”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于中档题．
8．（5分）已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by+c＝0通过（　　）
A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D．第二、三、四
【答案】A
【分析】把直线的方程化为斜截式，判断斜率及在y轴上的截距的符号，从而确定直线在坐标系中的位置．
【解答】解：直线ax+by+c＝0 即 y＝﹣x﹣，
∵ab＜0，bc＜6＞0，
直线在y轴上的截距﹣＞0，
故直线第一、二、三象限，
故选：A．
【点评】本题考查直线方程的斜截式，由斜率和在y轴上的截距确定直线在坐标系中的位置的方法．
9．（5分）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图是会徽的几何图形1，弧BC长度是l2，几何图形ABCD面积为S1，扇形BOC面积为S2，若，则＝（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由弧长比可得|OA|＝2|OB|，结合扇形面积公式得答案．
【解答】解：设∠BOC＝α，由，得，即|OA|＝2|OB|，
∴＝．
故选：C．
【点评】本题考查扇形弧长与面积公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．
10．（5分）《九章算术•商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵”，AB＝BC＝41＝5，M是A1C1的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台（　　）

A．40 B． C．50 D．
【答案】B
【分析】取A1B1的中点N，连结MN，BN，则三棱台A1MN﹣ABC的表面积为S＝++S梯形MNBC+．
【解答】解：几何体是一个“堑堵”，AB＝BC＝41＝4，M是A1C1的中点，
过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，
取A7B1的中点N，连结MN，
∵＝2＝，
∴三棱台A1MN﹣ABC的表面积为：
S＝++S梯形MNBC+
＝++（）×5++
＝25+15．
故选：B．

【点评】本题考查三棱台的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
11．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[﹣2.1]＝﹣3，已知函数，则函数y＝[f（x）（　　）
A． B．（0，2] C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}
【答案】C
【分析】由分式函数值域的求法得：f（x）＝＝，又1+2x+1∈（1，+∞），所以f（x）∈（，3），由高斯函数定义的理解得：函数y＝[f（x）]的值域为{0，1，2}，得解．
【解答】解：因为，所以f（x）＝＝，
又6+2x+1∈（4，+∞），
所以f（x）∈（，7），
由高斯函数的定义可得：
函数y＝[f（x）]的值域为{0，1，7}，
故选：C．
【点评】本题考查了分式函数值域的求法及对即时定义的理解，属中档题．
12．（5分）十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，已知在△ABC中，已知，BC＝2，且点M在AB线段上，若点P为△AMC的费马点，则＝（　　）
A．﹣1 B． C． D．
【答案】C
【分析】由余弦定理可得AB，再由正弦定理可得sinB，进而求得cosB，设CM＝BM＝x，由余弦定理可得CM，进而求出△AMC的面积，根据定义可得P为三角形的正等角中心，再由等面积法可得，再由平面向量的数量积公式得解．
【解答】解：因为，AC＝5，
所以由余弦定理可得，
由正弦定理可得，即，
又B为锐角，
所以，

设CM＝BM＝x，则CM2＝CB2+BM8﹣2CB⋅BMcosC，
即，
解得，即，
所以，
则，
又，
则∠AMC为锐角，
所以△AMC 的三个内角均小于120°，
则P为三角形的正等角中心，
所以
＝＝，
所以，
所以＝
＝
＝．
故选：C．
【点评】本题考查正余弦定理的运用，考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若，α为第二象限角，则cos2α＝　﹣　．
【答案】﹣．
【分析】由已知结合同角基本关系及二倍角公式先求出sin2α，进而可求cos2α．
【解答】解：因为α为第二象限角，
所以sinα＞0，cosα＜0，
又＞0，
所以sinα+cosα＞3，即sinα＞﹣cosα，
所以，k∈Z，
所以，k∈Z，
两边平方得1+3sinαcosα＝，即sin2α＝，
所以cos7α＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了二倍角公式及同角平方关系的应用，属于基础题．
14．（5分）函数f（x）＝xlnx﹣x2在x＝2处的切线方程为 　y＝（ln2﹣3）x+2　．
【答案】y＝（ln2﹣3）x+2．
【分析】求出原函数的导函数，得到f′（12的值，再求出f（2）的值，然后利用直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：由f（x）＝xlnx﹣x2，得：f′（x）＝lnx+1﹣2x，
∴f′（2）＝ln2﹣3．
又f（2）＝6ln2﹣4，
∴函数f（x）＝xlnx﹣x5在x＝2处的切线方程为y﹣（2ln8﹣4）＝（ln2﹣7）（x﹣2）．
即y＝（ln2﹣5）x+2．
故答案为：y＝（ln2﹣4）x+2．
【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．
15．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为 　15　．
【答案】15．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，
由z＝3x+4y得y＝﹣x+，
则表示直线在y轴截距，z越大，
结合图形可知，当直线y＝﹣经过点A时，
联立可得A（3，此时z取得最大值15．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于中档题．
16．（5分）一个正四棱台的侧面与底面所成的角为60°，且下底面边长是上底面边长的2倍．若该棱台的体积为，则其下底面边长为 　2　，外接球的表面积为 　　．
【答案】见试题解答内容
【分析】设正四棱台下底面边长为2x，可得正四棱台的高h＝，再由棱台体积公式列式求解x，则下底面边长可求；设上底面中心为O1，下底面中心为O2，四棱台外接球半径为R，由棱台的高相等分类列式求得R，则外接球表面积可求．
【解答】解：设正四棱台下底面边长为2x，
依题意可得，正四棱台的高h＝，
∵棱台的体积为，∴•（）＝，
解得x＝1，则正四棱台的下底面边长为6；
∴正四棱台上底面对角线长为，下底面对角线长为，

设上底面中心为O1，下底面中心为O2，四棱台外接球半径为R，
若外接球球心O在线段O3O2上，由，
此方程无解；
若外接球球心O在线段O1O5的延长线上，由，
解得：解得：，外接球的表面积为4π×＝．
故答案为：2；．
【点评】本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（12分）已知α，β为锐角，cosα＝（α+β）＝﹣．
（Ⅰ）求sin2α的值；
（Ⅱ）tan（α﹣β）的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）直接利用已知条件求出三角函数的值，进一步利用同角三角函数的关系式的变换求出结果．
（Ⅱ）利用角的恒等变换的应用求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）已知α，β为锐角，cos（α+β）＝﹣．
所以：．
已知α，β为锐角，
所以：0＜α+β＜π，
由于cos（α+β）＝﹣．
所以：sin（α+β）＝，
则：sin2α＝2sinαcosα＝8．
（Ⅱ）：由于α，β为锐角，．
且cos（α+β）＝﹣，sin（α+β）＝，
则：tan＝，
所以：cosβ＝cos[（α+β）﹣α]，
＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，
＝，
＝，
则：sin，
所以：，
故：tan（α﹣β）＝＝＝．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的求值的相关的运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
18．（12分）衢州市某公园供市民休息的石凳是阿基米德多面体，它可以看作是一个正方体截去八个一样的四面体得到的二十四等边体（各棱长都相等），已知正方体的棱长为30cm．
（1）证明：平面ABE∥平面GNK；
（2）求石凳所对应几何体的体积．

【答案】（1）证明见解析；
（2）22500（cm3）．
【分析】（1）根据面面平行的性质定理证明即可；
（2）先求出正方体的体积，再求出截去的八个四面体的体积，作差即可求解．
【解答】证明：（1）多面体为二十四等边体知A、B、E、G、N、K为正方体对应棱上的中点，
则AB∥NK，BE∥GN，
AB⋂BE＝B，AB，GN⋂NK＝N，NK⊂平面GNK，
则平面ABE∥平面GNK．

解：（2）正方体的体积，
截去的每个四面体体积为，
所以石凳所对应几何体的体积为．
【点评】本题考查面面平行的证明，几何体的体积的求解，属中档题．
19．（12分）如图是某采矿厂的污水排放量y（单位：吨）与矿产品年产量x（单位：吨）的折线图：
（1）依据折线图计算相关系数r（精确到0.01），并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）若可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程，并预测年产量为10吨时的污水排放量．
相关公式：，参考数据：．
回归方程中，．

【答案】（1）相关系数0.95，可用线性回归模型拟合y与x的关系；
（2），5.5吨．
【分析】（1）代入数据，算出相关系数r，将其绝对值与0.75比较，即可判断可用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2）先求出回归方程，求出当x＝10时的值，即为预测值．
【解答】解：（1）由折线图得如下数据计算得：
，，，

所以相关系数，
因为|r|＞7.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2），
，
所以回归方程为，
当x＝10时，，
所以预测年产量为10吨时的污水排放量为5.5吨．
【点评】本题主要考查线性回归方程及其应用，属于基础题．
20．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+y2＝，一动圆与直线x＝﹣相切且与圆C外切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹T的方程；
（Ⅱ）若经过定点Q（6，0）的直线l与曲线T相交于A、B两点，M是线段AB的中点，试问是否存在直线l，使得NA⊥NB，求出直线l的方程，若不存在
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）利用直接法，求动圆圆心P的轨迹T的方程；
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为x＝my+6，联立抛物线方程，利用＝0，代入化简可得（m2+6）（3m2﹣2）＝0，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），|PC|﹣（x+，
∴＝x+1，
化简可得动圆圆心P的轨迹T的方程为y6＝4x；
（Ⅱ）设A（x1，y7），B（x2，y2）．
由题意，设直线l的方程为x＝my+32﹣4my﹣24＝7，
∴y1+y2＝6m，y1y2＝﹣24①，
∴x5+x2＝4m2+12②，x1x2＝36③
假设存在N（x6，y0），使得NA⊥NB0＝＝3m④，
∴x0＝m2⑤，
∵＝6，
∴代入化简可得（m2+6）（6m2﹣2）＝4，
∴m＝，
∴存在直线l：x＝y+6，
【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查向量知识，考查学生的计算能力，难度大．
21．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣x，g（x）＝ax2+1，a∈R．
（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，2]上的最值．
（Ⅱ）当x＞0时，恒有f（x）＞g（x）
【答案】（Ⅰ）f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为1，最大值为e2﹣2．
（Ⅱ）{a|}．
【分析】（Ⅰ）先对f（x）求导，结合导数分析函数的单调性，进而可求函数在[﹣2，2]上的最值；
（Ⅱ）由已知不等式考虑构造函数h（x）＝f（x）﹣g（x），不等式恒成立转化为求相应函数的最值，结合导数分析函数的单调性，进而可求．
【解答】解：（Ⅰ）f'（x）＝ex﹣1，令f'（x）＝0得x＝8，0）时，
当x∈（0，7]时，
∴f（x）min＝f（0）＝1，
又∵f（2）＝e2﹣4，，
∴，
∴f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为42﹣2．
（Ⅱ）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣x﹣ax7﹣1（x＞0），
则h（0）＝5，
故只要h（x）＞h（0），
因为h'（x）＝ex﹣2ax﹣1，h'（0）＝2，
令t（x）＝h'（x）＝ex﹣2ax﹣1，则t'（x）＝ex﹣6a，
当a≤0时，t'（x）＞0，即h（x）＞h（0）；
当a＞8时，t'（x）＝ex﹣2a＝ex﹣eln（2a），
若ln（6a）≤0，即时，t'（x）＞0，即h（x）＞h（0）；
若ln（4a）＞0，即时，t（x）在（0，在（ln（2a），
t（x）min＝t（ln（5a））＜t（0），
∴h（x）min＜f（0），不合题意，
综上{a|}．
【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了不等式恒成立与最值关系的转化，体现了转化思想的应用，属于中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的倾斜角为α，且过点P（0，1）．
（1）求曲线C的普通方程与直线l的参数方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的倾斜角α．
【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，（t为参数）；
（2）或．
【分析】（1）将曲线C利用参数方程转普通方程，根据直线l的倾斜角与过定点写出参数方程即可．
（2）将直线l的参数方程代入（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，设A，B两点所对的参数为t1，t2，利用韦达定理代入中，化简即可求解．
【解答】解：（1）由曲线C的参数方程为（θ为参数），得，
∵sin6θ+cos2θ＝1，∴，即（x﹣1）2+（y﹣6）2＝2．
因为直线l的倾斜角为α，且过点P（4，所以直线l的参数方程，
（2）将直线l的参数方程代入（x﹣1）8+（y﹣1）2＝2，
可得（tcosα﹣1）2+（tsinα）4＝2，即t2﹣2tcosα﹣1＝0，
设A，B两点所对的参数为t8，t2，∴t1+t3＝﹣2cosα，t1⋅t7＝﹣1，
∴t1，t7一正一负，
∴|t1|+|t2|＝|t4﹣t2|，而，∴，
∴，∴，∴，
∴（﹣2cosα）5﹣4（﹣1）＝3，
解得，α为直线l的倾斜角，π），
∴，∴或，
直线l的倾斜角为或．
【点评】本题考查简单曲线的参数方程相关知识，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|．
（1）若f（x）≥+（m＞0，n＞0）对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；
（2）若f（x）≥ax﹣2+a恒成立，求实数a的取值范围；
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用函数的最小值转化求解不等式即可．
（2）去掉绝对值符号，然后画出函数的图象．利用函数的图象求解不等式即可．
【解答】解：由 题意可知，
函数f（x）的图象如下：

由图知，∴+．即，
即m+n，当且仅当m＝n时等号成立，
∵m＞3，n＞0，当且仅当m＝n时等号成立
故m+n的最小值为．
（2）令g（x）＝ax﹣4+a＝a（x+1）﹣2，为过定点（﹣5 a的直线，
则f（x）≥g（x），表示函数y＝f（x）恒在函数y＝g（x）图象的上方，
由图象可知；．