四川省江油中学2022-2023学年高三数学（理）上学期第三次阶段考试试题（Word版附解析）

这是一份四川省江油中学2022-2023学年高三数学（理）上学期第三次阶段考试试题（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省江油中学2020级高三上期第三次阶段考试
理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1. 已知集合，，则集合的元素个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合一元二次不等式求集合A，再利用集合的交集运算求解.
【详解】∵，
∴，即集合的元素个数为3.
故选：C.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据指对、数函数的单调性结合充分、必要条件分析判断.
【详解】∵在上单调递增，
∴，
又∵在R上单调递增，
∴，
由可得，但由不能得到，例如，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知两个非零向量，的夹角为60°，且，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的垂直关系可得，进而根据模长公式即可求解.
【详解】由得，

，
所以，
故选：C
4. 北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚､王亚平､叶光富3名航天员送入太空，发射取得圆满成功.据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：）､火箭的质量（除燃料外）m（单位：）的关系是.为使火箭的最大速度达到8100，则燃料质量与火箭质量之比约为（参考数据）（ ）

A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】将火箭的最大速度8100代入中，结合对数、指数运算即可求得答案.
【详解】由题意可得，将火箭的最大速度8100代入中，
得：，即，
所以，故，
故选:B
5. 某函数在上的部分图象如图，则函数解析式可能为（ ）

A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】由图形可得：当时恒成立，先减后增，.对A、C：通过符号判断；对B：求导，利用导数判断单调性和最值，并代入检验；对D：代入检验即可.
【详解】由图形可得：当时恒成立，先减后增，.
对A：当时，则，故，A错误；
对B：，
∵，则，
当时，则，则，当时，则，则，
∴上单调递减，在上单调递增，则，
又∵，则，B正确；
对C：当时，则，故，C错误；
对D：，D错误.
故选：B.
6. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是（ ）
A 若，则
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，则一定为直角三角形
D. 若，则可以是钝角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】A.由正弦定理及三角形中大角对大边即可判断.
B.通过内角和为化简，再借助角为锐角得到角满足的关系，在再取角的正弦值化简即可.
C.边化角，运用两角差的正弦公式化简，得到角的关系，再借助内角和为计算即可得到.
D. 通过内角和为化简角，再利用两角和的正切公式化简即可得到
，然后判断即可.
【详解】A.因为，所以由正弦定理知，又因为在三角形中大角对大边，所以.故选项A正确.
B. 因为为锐角三角形，所以，即，所以.故选项B正确.
C.由正弦定理边化角得,则或（舍），则,即，则一定为直角三角形.故选项C正确.
D.


又因为最多只有一个角为钝角，所以，即三个角都为锐角,所以为锐角三角形.故选项D错误.
故选：D.
7. 已知数列的前n项和为，若，则不可能是（ ）
A. 公差大于0的等差数列 B. 公差小于0的等差数列
C. 公比大于0的等比数列 D. 公比小于0的等比数列
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列前项和、等比数列前项和公式确定正确答案.
【详解】，则，
若是等差数列，设其公差为，，
所以，可正可负.
若是等比数列，设其公比为，
若，则是公比为的等比数列，满足.
当时，若，则，不成立.
若且，则，不成立
所以不可能是公比大于0的等比数列.
故选：C
8. 已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的得到，若是函数的一个极大值点，是与其相邻的一个零点，则的值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数图象的变换，以及的极大值点和零点求得解析式，再求函数值即可.
【详解】函数的图象先向左平移个单位长度，得到的图象，
再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的得到的图象；
由题可知，，解得，则，又，
故可得，解得，
故.
故选：C.
9. 已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论不正确的是（ ）
A. 圆关于轴的对称圆的方程为
B. 若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为
C. 若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则
D. 若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为
【答案】C
【解析】
【分析】对于A，由对称的性质直接求解即可，对于B，由题意可知入射光线所在的直线过点和，从而可求出直线方程，对于C，由题意可知反射光线所在的直线过点，则，然后由圆的性质可求出，进而可求得的值，对于D，设，，表示弦长和弦心距，可表示出面积，从而可求出其最大值
【详解】对于A，由圆方程可得，故圆心，半径，
圆关于轴对称的圆的圆心为，半径为，
所求圆的方程为：，即，A正确；
对于B，反射光线平分圆的周长，反射光线经过圆心，
入射光线所在直线经过点，，
入射光线所在直线方程为：，即，B正确；
对于C，反射光线经过点关于轴的对称点，
，

，则，C错误；
对于D，设，
则圆心到直线的距离，
，
，
则当时，，D正确.
故选：C.
10. 定义在上的奇函数的图象关于对称；且当时，．则方程所有的根之和为（ ）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意 函数为周期为4的周期函数，再根据当时，，求导分析函数的单调性，从而画出简图，根据函数的图象及性质求解零点和即可.
【详解】∵为奇函数，∴，又∵关于直线对称，∴函数为偶函数，故，所以，又，所以，故为周期函数，周期为4，
当时，，所以在上单调递增， 作函数图象如下

方程可化为，方程的解即函数的图象与函数的图象的交点的横坐标，作函数的图象，∴方程的所有实根之和为.
故选：A．
11. 已知双曲线：与抛物线：有公共焦点F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，延长FA与抛物线相交于点B，若点A为线段FB的中点，双曲线的离心率为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何关系，求得点坐标，结合点在双曲线渐近线上，求得的等量关系，整理化简即可求得双曲线离心率.
【详解】根据题意，作图如下：

因为双曲线和抛物线共焦点，故可得，
又到的距离，即，又为中点，则，
设点，则，解得；由可得，
则由等面积可知：，解得，则，
则，又点在渐近线上，即，即，
又，联立得，即，解得，
故.
故选：B.
12. 已知函数，（）的三个零点分别为，，，其中，的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造，结合零点个数及单调性求出，求出且，利用基本不等式得到，从而得到答案.
【详解】∵，令，即，（）
令，（），则，
则，（），
令，（），
要想除1外再有两个零点，则在上不单调，
则，
解得：或，
当时，在恒成立，
则在单调递增，不可能有两个零点，
当时，设，即的两根为，且，
则有，故，
令，解得：或，令，解得：，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，
又因为，
若，则，
因为，所以，
所以
，
因为，故.
检验：当时，（），，
此时在上单调递增，
又，即，此时为临界情况，；
综上：的取值范围为.
故选：D.
【点睛】利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分
13. 已知是虚数单位，复数满足，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简，然后根据复数的模的公式化简求解.
【详解】因为，所以所以，
故答案为：.
14. 某学校志愿者协会有高一年级120人，高二年级100人，高三年级20人，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，若从高二年级100人中抽取的人数为10，则___________；
【答案】24
【解析】
【分析】由分层抽样等比例性质求样本容量.
【详解】由题意，，可得.
故答案为：24
15. 已知实数满足，，，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】设，为坐标原点，则，由题意两点在圆上，且三角形为等边三角形，，由的几何意义为两点到直线的距离与之和，记线段的中点分别是，到直线的距离为，根据，且即可得答案.
【详解】解：设，为坐标原点，则，
由，
可得两点在圆上，且，则，
所以三角形为等边三角形，，
的几何意义为两点到直线的距离与之和，

记线段的中点分别是，到直线的距离为，
则有，且，
所以，
所以的最大值为，
故答案为：.
16. 过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线，，切点为，（，不重合），设直线，分别与y轴交于点A，B，则下列结论中正确的序号为______．
①两点的横坐标之积为定值；②直线的斜率为定值；
③线段AB的长度为定值；④三角形ABP面积的取值范围为．
【答案】①②③
【解析】
【分析】设点、的横坐标分别为、，且，分析可知或，利用导数的几何意义可判断①的正误；利用斜率公式可判断②的正误；求出点、的坐标，利用两点间的距离公式可判断③的正误；求出点的横坐标，利用三角形的面积公式可判断④的正误.
【详解】因为，
所以，当时，；当时，，
不妨设点、的横坐标分别为、，且，
若时，直线、的斜率分别为、，此时，不合乎题意；
若时，则直线、的斜率分别为、，此时，不合乎题意.
所以，或，则，，
由题意可得，可得，
若，则；若，则，不合乎题意，所以，，①对；
对于②，易知点、，
所以，直线的斜率为，②对；
对于③，直线的方程为，令可得，即点，
直线的方程为，令可得，即点，
所以，，③对；
对于④，联立可得，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，则当时，，
所以，，④错.
故答案为：①②③
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的综合问题，需要根据题意设切点横坐标，并根据题意列式分析横坐标满足的关系式，同时也需要构造函数分析所求式的单调性于最值，属于难题.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 近年来，新能源汽车产业大规模发展，某品牌汽车投人市场以来，受到多位消费者欢迎，汽车厂家为扩大销售，对旗下两种车型电池续航进行满意度调查，制作了如下2×2列联表.

不满意
满意
合计
男
18


女

40

合计


100
已知从全部100人中随机抽取1人调查满意度为满意的概率为

0.15
0.10
0.05
0.10
0.001

2.072
2.706
3.841
6.635
10.828
附：，其中.
（1）完成上面的2×2列联表；
（2）根据（2）中的2×2列联表，判断是否有90%的把握认为满意度与消费者的性别有关?
【答案】（1）详见解析
（2）没有90%的把握认满意度是否与消费者的性别有关.
【解析】
【分析】（1）根据从全部100人中随机抽取1人调查满意度为满意的概率为得到调查满意度为满意的人数，然后填2×2列联表即可；
（2）根据2×2列联表计算，然后判断即可.
【小问1详解】
根据题意，满意的总人数为，
∴完成2×2列联表如下：

不满意
满意
合计
男
18
30
48
女
12
40
52
合计
30
70
100
【小问2详解】∵，
∴没有90%的把握认满意度是否与消费者的性别有关.
18. 已知数列的首项，且满足，设.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，求满足条件的最小正整数.
【答案】（1）证明见解析
（2）140
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；
（2）利用分组求和的方法得到，然后利用的增减性解不等式即可.
【小问1详解】

，
，所以数列为首项为，公比为等比数列.
【小问2详解】
由（1）可得

，
即
∴
而随着的增大而增大
要使，即，则，
∴的最小值为140.
19. 在△ABC中，．
（1）求B的值；
（2）给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求的值；
（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．
【答案】（1）
（2）正确条件为①③，（i），（ii）
【解析】
【分析】（1）利用和角正弦公式可得，结合三角形内角和性质即可求B的值；
（2）根据条件组合判断出正确条件为①③，（i）应用余弦定理、三角形面积公式求各边长，最后由正弦定理求；
（ii）由角平分线性质求得，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出，再根据正弦定理求BD的长．
【小问1详解】
由题设，
而，
所以，故；
【小问2详解】
若①②正确，则，得或，
所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，
若②③正确，则，可得，即②为错误条件，
综上，正确条件为①③，
（i）由，则，即，
又，可得，
所以，可得，则，
故；
（ii）因为且，得，
由平分得，
在中，，
在中，由，得．

20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，.若的周长为6，面积为.
（1）求曲线的方程；
（2）设动直线过定点与曲线交于不同两点，（点在轴上方），在线段上取点使得，证明：当直线运动过程中，点在某定直线上.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据的周长为6，面积为得到关于的方程计算可得答案；
（2）设，，，设，由，，转化为坐标运算和点在椭圆上计算可得答案.
【小问1详解】
由题意可知，解得，
从而，椭圆的方程为：；
【小问2详解】
设，，，设（，且），
所以，，
于是，，，，
从而①，②，
又点，在椭圆上，即，③，，④，
由并结合③④可得，即点总在定直线上.
21. 已知函数．
（1）若函数在处的切线与直线垂直，求的值；
（2）若存在三个极值点，，，且，求证．
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】对函数进行求导，结合，求得的值；
由存在三个极值点，确定方程有两个不相等的实数根，且都不是，令，求导分析单调性，确定，分别求证和两部分成立.
【小问1详解】
解：由可知，函数的定义域为，
则，且，
解得.
【小问2详解】
解：，因为存在三个极值点，
所以方程有两个不相等的实数根，且都不是.
所以令，则，
当时，，所以单调递增，至多有一个实数根，
所以，令，得，令，得.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以，
所以.
因，，，
其中令，则，
所以在上单调递增，，所以，
因为，所以，即，所以
所以存在三个极值点，其中.
又因为，，则，，
即，
设代入上式得：，即，.
要证，即，
只需证，即证.
令，，
所以在上单调递增，
因为，所以，得证；
要证，即，只需证，
即证，则证，即，
只需证，
令，，
所以，
所以在上单调递减，因为，所以，得证.
综上所述，若存在三个极值点，，，且时，．
【点睛】本题中进行恒等变形得到，然后换元，令，不等式转化为是解题的关键，这类问题反复利用导数研究单调性，分步证明，综合性很强，属于难题.
选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．
22. 在平面直角坐标中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；
（2）在平面直角坐标中，若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求证：成等差数列．
【答案】（1），
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用消参法求曲线的普通方程，并注意y的取值范围，再利用求曲线的极坐标方程；（2）先求直线l的参数方程，根据直线参数方程的几何意义运算求解.
【小问1详解】
由得，代入整理得，即，
∵，则，，
故曲线的普通方程为，
又∵，则，
整理得
曲线的极坐标方程为
【小问2详解】
由题意可得：直线l的参数方程为（t为参数），
代入，整理得，
∴，，
则，
即，
∴成等差数列
23. 已知函数（），若函数的最小值为5.
（1）求的值；
（2）若均为正实数，且，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用绝对值的代数意义去掉绝对值符号转化为分段函数，再利用分段函数的单调性求其最值即可求解；
（2）利用柯西不等式进行求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
即，
则在内单调递减，在内单调递增，
所以，
由题意，得，
解得.
【小问2详解】
由（1）知，，


，
当且仅当、、时取等号，
所以的最小值为.