2022-2023学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二下学期6月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二下学期6月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二下学期6月月考数学试题 一、单选题1．若集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解对数不等式可得集合，解一元二次不等式即可得集合，再根据韦恩图求集合即可.【详解】因为，所以，则集合，又，解得，则集合，所以，由图可知阴影部分表示集合.故选：A.2．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答.【详解】因为函数的定义域为，又函数有意义，则有，解得或，所以函数的定义域是.故选：C3．命题“”为假命题，则命题成立的充分不必要条件是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用条件知，对，恒成立，从而求出的取值范围，再根据选项即可得出结果.【详解】因为命题“”为假命题，所以，对，恒成立，当时，在上恒成立，所以满足条件，当时，令，对称轴，且，所以，当时，恒成立，当时，显然有不恒成立，故对，恒成立时，，所以则命题成立的充分不必要条件是选项C.故选：C.4．已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】采用分离常数法和偶函数的性质可确定的单调性，结合可构造不等式求得结果.【详解】，在上单调递减，又为偶函数，，，，解得：或，的解集为.故选：D.5．已知是定义在上的奇函数，，且当时，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意推得，得到函数是周期为的周期函数，结合题设条件和函数的周期性，得到，代入即可求解.【详解】因为函数满足，可得，又因为函数为奇函数，所以，所以，即，所以函数是周期为的周期函数，因为当时，，且函数为奇函数，可得.故选：D.6．已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是（　　）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先求出在上的取值范围，依题意需当时，，分、两种情况讨论，结合对数函数的性质计算可得.【详解】当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即；若函数的值域是，则需当时，．当时，在上单调递增，此时，不合题意；当时，在上单调递减，此时，即，则，所以，显然，解得，又，所以．综上所述，实数的取值范围是．故选：B7．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（    ）A． B．C．为偶函数 D．的图象关于对称【答案】C【分析】根据为奇函数，为偶函数，求出函数的周期，并结合求出a，b的值，即可判断A；由的周期可求出即可判断B；为偶函数得，结合的周期即可判断C；由即可判断D.【详解】为奇函数，，令，则；用替换，则，又为偶函数，，令，则；用替换，则，，用替换，则，，则的一个周期为4，由，解得，故A错误；，故B错误；由，得，得为偶函数，故C正确；时，，，不关于对称，故D错误，故选：C.8．已知，则的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性进行函数值的大小比较.【详解】方法一：比较的大小时，（法一）设函数，则，令，得，当时，，函数单调递增；当，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，因为，所以，即.（法二）因为，设为坐标原点，结合函数的图象知，所以；比较的大小时，设函数，则，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增，因为，，又，所以，即，综上可得，，故B，C，D错误.故选：A.方法二（估值法）：因为0.43.所以，故B，C，D错误.故选：A. 二、多选题9．下列说法中正确的是（    ）A．命题“，”的否定是“，”B．函数且的图象经过定点C．幂函数在上单调递增，则的值为D．函数的单调递增区间是【答案】ABC【分析】A.由全称量词命题的否定是存在量词命题判断；B.令求解判断；C.根据是幂函数求得m，再根据单调性判断； D.利用对数复合函数的单调性判断.【详解】A.命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，即“，”，故正确；B.因为函数且，令得 ，此时 的图象经过定点，故正确；C. 因为是幂函数，所以，即 ，解得 或 ，当时，在上单调递减，当 时，在上单调递增，故正确；D.令，得 或，所以函数的定义域为，又在上递增，在上递增，所以的单调递增区间是，故选：ABC10．下列结论中，正确的结论有（   ）A．如果，，且，那么的最小值为4B．如果，那么取得最大值为C．函数的最小值为2D．如果，，，那么的最小值为6【答案】AD【分析】利用基本不等式结合条件逐项分析即得.【详解】对于选项A，如果，，且，那么，当且仅当且，即时取等号，故选项A正确；对于选项B， 如果，那么，则，即，当且仅当，即时取等号，因为，所以不能取得最小值，故选项B错误；对于选项C，函数，当且仅当时取等号，此时无解，不能取得最小值2，故选项C错误；对于选项D，如果，，，则整理得，所以或（舍去），当且仅当时取得最小值，故选项D正确.故选：AD11．已知函数则以下说法正确的是（    ）A．若，则是上的减函数B．若，则有最小值C．若，则的值域为D．若，则存在，使得【答案】ABC【分析】把选项中的值分别代入函数，利用此分段函数的单调性判断各选项.【详解】对于A，若，，在上单调递减，故A正确；对于B，若，，当时，，在区间上单调递减，，则有最小值1, 故B正确；对于C，若，，当时，，在区间上单调递减，；当时，，在区间上单调递增，，则的值域为，故C正确；对于D，若，当时，；当时，；当时，，即当时，，所以不存在，使得，故D错误.故选：ABC12．设定义在R上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则（    ）．A．， B．C． D．【答案】AC【分析】由为奇函数，结合奇函数的性质判断A，由条件证明为周期为的函数，利用组合求和法求判断C，根据条件证明，由此判断BD.【详解】对A，又∵为奇函数，则图像关于对称，且，所以，A 正确；对于C，∵，则，则，又，所以，令，可得，即.所以，又所以，所以，∴的周期，所以，由可得，，，，所以，，∴，C正确；对B，，则是周期的函数，，B错误；对D，，，所以，所以，D错误.故选：AC.【点睛】知识点点睛：本题考查导数的运算，奇函数的性质，抽象函数周期性的证明，分组求和法等知识点，属于综合题，考查逻辑推理和首项运算的核心素养. 三、填空题13．已知为一次函数，且，则的值为       ．【答案】【分析】设，代入已知关系式可构造方程组求得解析式，代入即可得到结果.【详解】为一次函数，可设，，，解得：或，或，.故答案为：.14．已知函数，若方程有四个不相等的实数根、、、，且，则的取值范围是   ．【答案】.【分析】画出的图象可得m的范围，，，，代入所求式子转化为求函数在上的值域即可.【详解】的图象如图所示，∵方程有四个不相等的实根，∴，又∵，，∴，，，∴，又∵在上单调递减，∴，∴，∴的取值范围为.故答案为：.15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，平有“数学王子”的称号.为了纪念高斯，人们把函数，称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，已知，则函数的值域为      .【答案】【分析】先利用奇函数的定义判定是奇函数，利用分离常数法化简函数的解析式，判定函数的单调性且求出的值域，分情况讨论与的可能取值.【详解】，因为，即，所以为奇函数；因为，所以，，，则，即的值域为，又因为在上单调递增，且，所以当时，，当时，；当时，，，此时，，，，则；当时，，，此时，，，，则；当时，，此时，则；综上所述，，即的值域为.故答案为: .16．丹麦数学家琴生是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数是上的“严格凸函数”，称区间为函数的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为             .①函数在上为“严格凸函数”；②函数的“严格凸区间”为； ③函数在为“严格凸函数”，则的取值范围为. 【答案】①②【分析】①选项中对求两次导，判定的符号即可；②选项中对求两次导，解不等式，可得严格凸区间；③选项中，函数在为“严格凸函数”，可转化为在上恒成立，求参数即可.【详解】的导函数，，在上恒成立，所以函数在上为“严格凸函数”，所以①正确；的导函数，，令，则，解得，所以函数的“严格凸区间”为，所以②正确；的导函数，，函数在为“严格凸函数”可得在上恒成立，即，设，由于在上，所以在单调递增，所以，所以，所以③不正确；故答案为：①②. 四、解答题17．请在“①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合，，若是成立的________条件，判断实数是否存在？【答案】答案见解析【分析】若选择条件①，可得集合A是集合B的真子集，列出不等式组可得实数m的取值范围；若选择条件②，可得集合B是集合A的真子集，列出不等式组可得实数的取值范围；若选择条件③，列出方程组可得集合A等于集合B可得答案.【详解】若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，则有，解得，所以，实数m的取值范围是；若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集，则有，解得，所以，实数的取值范围是；若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合A等于集合B则有，方程组无解，所以，不存在满足条件的实数.18．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量(单位：千克)与施用肥料(单位：千克)满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为(单位：元)(1)写单株利润(元)关于施用肥料(千克)的关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)；(2)4千克，480元﹒ 【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；（2）根据二次函数的单调性和基本不等式求出的最大值即可．【详解】（1）依题意，又，∴．（2）当时，，开口向上，对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，在上的最大值为．当时，，当且仅当时，即时等号成立．∵，∴当时，．∴当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．19．函数对任意，，总有，当时，，且．(1)证明是奇函数；(2)证明在上是单调递增函数；(3)若，求实数的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）根据题意，令，得，再令，结合函数的奇偶性的定义，即可得到证明；（2）根据题意，由函数单调性的定义即可得到证明；（3）根据题意，由函数的奇偶性以及奇偶性解不等式即可.【详解】（1）令，则，解得，令，则，即，即，易知的定义域为，关于原点对称，所以函数是奇函数；（2）任取，，且，则，因为当时，，所以，则，即，所以函数是上的增函数；（3）由，得，，又由是奇函数得.由，得，因为函数是上的增函数，所以，解得，故实数的取值范围为．20．已知函数．(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)若函数在处取得极值，求实数的值；(3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；（2）根据可导函数在极值点处的导数值为求出，再根据极值点的定义验证即可得解；（3）二次求导后，分类讨论，得函数的单调性，根据单调性可得结果.【详解】（1）当时，，定义域为，，，，所以函数在点处的切线方程为，即.（2），设，则，依题意得，即，当时，，当时，，当时，，所以在处取得极大值，符合题意.综上所述：.（3）当时，，，当时， ,令，，则，①当时，在上恒成立，故在上为增函数，所以，故在上为增函数，故，不合题意.②当时，令，得，（i）若，即时，在时，，在上为减函数，，即，在上为减函数，，符合题意；(ii)若，即时，当时，，在上为增函数，，在上为增函数，，不合题意.综上所述：若不等式对恒成立，则实数的取值范围是.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，总有成立，故；（2）若，有成立，故；（3）若，使得成立，故；（4）若，使得成立，故；21．已知函数（x∈R）为奇函数.(1)求实数k的值；(2)若对[-2，-1]，不等式≤6恒成立，求实数m的取值范围；(3)若函数-5在[1，+∞]上有零点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由奇函数的性质求得参数值，然后检验函数是否满足题意即得；（2）用分离参数变形不等式，转化为求函数的最值，得参数范围；（3）用换元法，设，由函数单调性求得的范围，问题转化为关于的函数有零点，分离参数后求函数值域即得．【详解】（1）因为是奇函数，所以，解得k＝1，此时符合题意．（2）原问题即为，，即恒成立，则，设，∵，∴，则，∵，∴当时，取得最小值26，要使不等式在上恒成立，则，即实数m的最大值为26．（3），则，设，当x≥1时，函数为增函数，则，若在上有零点，则函数在上有零点，即，即，∵，当且仅当时取等号，∴，即λ的取值范围是．22．设函数.(1)讨论的单调性；(2)若函数存在两个零点，证明：.【答案】(1)当时，在区间上单调递减；当时在区间上单调递减，在区间上单调递增(2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论a的取值范围，根据导数的正负，即可得答案;（2）利用函数零点可得，，整理变形可得，换元令，得，结合，需证明，由此构造函数，利用导数即可证明结论.【详解】（1）由于，则定义域为 ，可得：，当时，∵，∴，故在区间上单调递减；当时，∵，∴由可得，由得，故在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）证明：∵，，，不妨设，则有，，两式相加得，相减得，消去得：，令，则，要证，即证，也就是要证，即证，令，∵∴在上为增函数，，即成立，故.【点睛】关键点点睛：利用导数证明关于函数零点的不等式问题，关键在于正确地变式消去参数，进而构造函数，本题中利用，，将两式相加减，进而消去a，可得，换元令，得，进而根据，需证，从而构造函数，解决问题.