2022-2023学年湖北省恩施州巴东县第三高级中学高二下学期6月第四次月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年湖北省恩施州巴东县第三高级中学高二下学期6月第四次月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省恩施州巴东县第三高级中学高二下学期6月第四次月考数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接利用交集的定义即可求解.【详解】因为，，所以故选：C.2．已知随机变量X服从两点分布，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，则，根据题意即可求解.【详解】令，则，因为，所以，解得.故选：C3．已知是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意得到函数在上单调递增，把不等式转化为，结合对数函数的性质，即可求解.【详解】由是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，可得函数在上单调递增，又由，可得，解得，所以不等式的解集为.故选：D.4．一面国旗燃起青春的向往，一身戎装肩负国家的担当.6名学生（含甲、乙）决定参军报国，不负韶华，报名前6人排成一排拍照，则甲、乙两人不相邻的不同的排法有（    ）A．960种 B．480种 C．288种 D．144种【答案】B【分析】应用插空法，结合分步原理，先排不含甲、乙的4人，再将甲、乙插入4人所成列的5个空中，利用排列数求排法数即可.【详解】先将不含甲、乙的4人排列，有种，再在4人之间及首尾5个空位中任选2个空位安排甲、乙，有种，所以甲、乙两人不相邻的不同的排法有（种）．故选：B5．下列区间中，函数单调递增的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数单调区间的求法求得正确答案.【详解】由，得．所以在上不单调递增，在上单调递增．故选：D6．已知随机变量，随机变量，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二项分布的期望和方差公式，结合期望和方差的性质即可求解.【详解】因为，所以，，因为，所以，解得，又，即，解得.故选：B7．在某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（    ）A．450种 B．180种 C．720种 D．360种【答案】A【分析】安排方案分为两类，第一类，每个舱各安排2人，第二类，分别安排3人，2人，1人，结合分堆分配问题解决方法求解即可.【详解】方案一：每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；方案二：分别安排3人，2人，1人，共有（种）不同的方案．所以共有（种）不同的安排方案．故选：A．8．已知，，，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造，求导得到函数单调性，得到，得到，然后构造，得到函数单调性，得到，即，得到答案.【详解】设，则，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以，即．设，则，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以，即．综上所述，．故选：D．【点睛】方法点睛：本题中根据的特点，构造，根据的特征，构造，比较出大小. 二、多选题9．在复平面内，复数对应的点为，则（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】A选项，根据，复数对应的点的坐标，得到，从而得到共轭复数，计算得到答案；B选项，利用复数乘方运算法则计算即可；C选项，利用乘法法则计算；D选项，利用除法法则计算即可.【详解】A选项，由复数对应的点为，得，所以，故A正确；B选项，，故B错误；C选项，，故C正确；D选项，，故D正确．故选：ACD．10．已知数列的前项和为，则（    ）A．若为等比数列，则为等差数列 B．若为等差数列，则为等比数列C．若，则为等差数列 D．若，则为等比数列【答案】ABD【分析】根据等差数列、等比数列的概念可判断AB；利用与的关系结合等差数列的定义可判断C；利用与的关系结合等比数列的定义可判断D.【详解】对于A，设等比数列的公比为，则，所以（定值），所以为等差数列，故A正确；对于B，设等差数列的公差为，则，所以（定值），所以为等比数列，故B正确；对于C，当时，，当时，，，，所以，所以不是等差数列，故C错误；对于D，当时，，当时，，经检验，满足上式，所以，（定值），所以为等比数列，故D正确．故选：ABD．11．已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为0，则（    ）A．B．的展开式中有理项有5项C．的展开式中偶数项的二项式系数和为512D．除以9余8【答案】ABD【分析】由二项式系数的概念与组合数的性质可判断A；由二项式的通向结合有理项的概念判断B；由偶数项的二项式系数和判断C；由二项式定理判断D【详解】对于，因为第4项与第7项的二项式系数相等，所以，由组合数的性质知，故A正确；对于，在的展开式中，令，得，所以，所以的二项式通项为.由为整数，得，所以展开式中有理项有5项，故B正确；对于，展开式中偶数项的二项式系数和为，故错误；对于D，由B知，则，所以除以9余8，故D正确.故选：ABD.12．已知8只小白鼠中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案：方案甲：将8只小白鼠的血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止.方案乙：先取4只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这4只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的4只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠.则下列结论正确的是（    ）A．若用方案甲，化验次数为2次的概率为B．若用方案乙，化验次数为3次的概率为C．若用方案甲，平均化验次数为4D．若平均化验次数少的方案好，则方案乙比方案甲好【答案】AD【分析】求出两种方案的化验次数的分布列即可判断.【详解】若用方案甲，设化验次数为，则的可能取值为，所以正确；若用方案乙，设化验次数为，若，有两种情况：①头4只均为阴性，则；②头4只有阳性，则，所以化验次数为3次的概率为，B错误；若用方案甲，则，所以，C错误；若用方案乙，可取2，3，4.，所以，因为，所以方案乙比方案甲好，D正确.故选：. 三、填空题13．若随机变量，且，则          .【答案】0.82【分析】根据正态分布的对称性计算．【详解】由正态分布的对称性知.故答案为：0.82.14．已知，，，若，则      ．【答案】/【分析】根据得，再由平方关系可得、的值，代入两角差的正弦展开式计算可得答案.【详解】由，得，又，所以，又，所以，，所以．故答案为：．15．粽，即粽粒，俗称粽子，主要材料是糯米、馅料，用籍叶（或箬叶、簕古子叶等）包裹而成，形状多样，主要有尖角状、四角状等．粽子由来久远，最初是用来祭祀祖先神灵的贡品．某地流行的四角状的粽子，其形状可以看成一个棱长为的正四面体，现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，则这个肉丸的体积的最大值是           ．【答案】/【分析】由题意，当肉丸的体积最大时，肉丸所成的球是该正四面体的内切球，计算正四面体的表面积与体积，再根据等体积法求解出内切球的半径，代入球的体积公式计算即可.【详解】当肉丸的体积最大时，肉丸所成的球是该正四面体的内切球，如图，设正四面体的高为，内切球的半径为，所以，所以，正四面体的表面积为，根据等体积法，得，即，解得，所以，即肉丸的体积的最大值为．故答案为：                                           四、双空题16．已知圆C上的任意一点到两个定点，的距离之比为，则圆C的方程是           ；在直线上存在点P满足：过P作圆C的切线，切点分别为M，N，且四边形PMCN的面积为，则实数m的取值范围是           .【答案】     ；     .【分析】根据所给条件建立方程化简即可求出轨迹方程，再由圆的切线的性质及所给四边形面积求出，由圆心到直线距离小于等于4建立不等式求解即可.【详解】设是圆C上的任意一点，则，化简得圆C的方程为.圆心C的坐标为，半径为，由题意知，，所以，，解得.又点P在直线上，所以不小于C到直线l的距离，即，解得，即实数m的取值范围是.故答案为：；. 五、解答题17．设等差数列的前项和为，且，．(1)求的通项公式；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列与通项基本运算，解得，，；（2）求出通项，运用裂项相消法求和证明.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，所以解得，，所以．（2）．又，所以，所以，即．得证.18．在中，角，，的对边分别为，，，已知．(1)若，，求；(2)若角，求角．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用余弦定理代入化简，并代入和的值，计算可得；（2）利用正弦定理边化角，结合，解出关于的方程，结合的范围可得答案．【详解】（1）由余弦定理，得，即，又，，所以，解得；（2）因为，所以由正弦定理得，由，得，，，所以，即，所以或（舍去），又，所以．19．为丰富师生的课余文化生活，倡导“每天健身一小时，健康生活一辈子”，深入开展健身运动，增强学生的身体素质和团队的凝聚力，某中学将举行趣味运动会．某班共有8名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学4名，女同学4名．按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这8名报名的同学中随机选出4名．(1)求选出的4名同学中有男生的概率；(2)记选出的4名同学中女同学的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型求解即可；（2）先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应随机变量的概率，即可得出分布列，再根据期望公式求出期望即可.【详解】（1）选出的4名同学中有男生的概率为；（2）随机变量可取，，，，，，则分布列为期望.20．如图，在四棱柱中，底面是矩形，平面平面，点是的中点，.(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先证明，根据面面垂直的性质定理证明⊥平面，再由面面垂直判定定理证明平面平面； （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角公式求直线与平面夹角.【详解】（1）因为，点是的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以⊥平面ABCD，又平面，所以平面平面；（2）取的中点，连结，因为四边形为矩形，且，所以四边形为正方形，，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面的法向量，则 有，即，令，则，所以平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角正弦值为.21．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点M是C上任意一点，且的周长为．(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上一点且在第四象限，，过点P作倾斜角互补的两条不同直线分别与椭圆C交于点A，B（A，B与P不重合），试判断直线的斜率是否为定值，并证明你的结论．【答案】(1)(2)是，证明见解析 【分析】（1）依题意可得，，即可求出、，再求出，即可得解；（2）设，代入椭圆方程，求出点坐标，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，求出，同理求出，再由计算可得.【详解】（1）解：由离心率为，得，即，由的周长为，得，所以，，所以，所以椭圆的方程为．（2）解：直线的斜率是定值，证明如下：因为是椭圆上一点且在第四象限，，所以设，代入椭圆的方程，得，即．设直线的方程为，与椭圆的方程联立，得，所以，即．因为，的倾斜角互补，所以直线的方程为，同理得．因为，，所以，因此直线的斜率为定值．22．已知函数在处的切线与直线：垂直．(1)求的单调区间；(2)若对任意实数，恒成立，求整数的最大值．【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为．(2)1 【分析】（1）利用导数的几何意义得出，再利用导数判断单调区间即可；（2）分离参数将问题转化为恒成立，利用导数求最值结合隐零点计算即可.【详解】（1）由，得，又切线与直线：垂直，所以，即．所以，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）对任意实数，恒成立，即对任意实数恒成立．设，即．，令，所以恒成立，所以在上单调递增．又，，所以存在，使得，即，所以．当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以，当时，，所以，由题意知且所以，即整数的最大值为1．