2022-2023学年江苏省苏州第一中学校高二下学期3月月考数学试题含答案

2022-2023学年江苏省苏州第一中学校高二下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．已知函数在处的导数为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由导数的定义和极限的运算法则，准确运算，即可求解.

【详解】由导数的定义和极限的运算法则，可得：

.

故选：A.

2．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．是函数的极小值点 B．是函数的极小值点

C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上先增后减

【答案】A

【解析】看导数图像，根据正负情况判断极值点和单调性，逐一判断即可.

【详解】对于A，由图可知，时，时，是函数的极小值点，故正确；

对于B，由图可知，在x=-1附近，时，时，故不是的极值点，故错误；

对于C，由图可知，时，，故函数在区间上单调递增，故错误；

对于D，由图可知，时，，函数在区间上单调递增，故错误．

故选：A．

3．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出，把代入可得，从而求出可得答案.

【详解】由题意可得，

则，解得，

从而，故.

故选：C.

4．已知函数有3个不同的零点，则的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求得，得出函数的单调性与极值，结合有3个不同的零点，列出不等式，即可求解．

【详解】由函数，可得，

令，解得或，

令，解得或；令，解得，

则在和上单调递增，在上单调递减，

又由，，

要使有3个不同的零点，则，解得，

所以实数的取值范围是．

故选：D．

5．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题设知恒成立，构造并利用导数研究单调性确定最大值，即可求的范围.

【详解】由题设知：恒成立，令且，则，

∴当时，，单调递增；当时，，单调递减；

∴，故.

故选：A

6．已知函数，则（    ）

A．函数的极大值点为

B．函数在上单调递减

C．函数在上有3个零点

D．函数在原点处的切线方程为

【答案】D

【解析】对函数求导，通过判断函数的单调性求极值点以及零点个数等.

【详解】A选项：由，得，令，

得，故，，为减函数，

，，为增函数，所以

是函数的极小值点，无极大值点，故A错；

B选项:  当，为减函数，故B错；

C选项：由函数单调性可知函数至多有两个零点，故C错；

D选项：切线斜率，所以切线方程为，D正确.

故选：D

【点睛】求切线方程的步骤：①确定切点；②确定斜率；③点斜式写切线方程.

7．已知圆柱的表面积为定值，当圆柱的容积最大时，圆柱的高的值为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【分析】设圆柱的底面半径为，则圆柱底，圆柱侧，则可得，则圆柱的体积为，利用导数求出最大值，确定值.

【详解】设圆柱的底面半径为，则圆柱底，圆柱侧，

∴，∴，则圆柱的体积，

∴，由得，由得，

∴当时，取极大值，也是最大值，即．

故选：B

【点睛】本题主要考查了圆柱的表面积和体积的计算，考查了导数的实际应用，考查了学生的应用意识.

8．已知当时，函数的图象与函数的图象有且只有两个交点，则实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将两个函数的解析式联立，消去，得到等式，问题转化为方程有两个不同的正实根，

根据这个等式运用常变量分离法，通过构造新函数，利用导数的性质进行求解即可.

【详解】由题设，当时，，令，

则，所以当时，，则单调递增；

当时，，则单调递减.又，，

所以当时，直线与的图象有两个交点，

即函数的图象与函数的图象有且只有两个交点.

故选：A.

【点睛】关键点睛：利用常变量分离法构造函数利用导数的性质是解题的关键.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．4个班分别从3个景点选择一处游览，不同的选法的种数是；

B．从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数一共有10个；

C．两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，一共有5种取法；

D．从1，3，5，7，10选择2个不相同的数作为分子分母组成分数，一共可以组成10个分数；

【答案】AB

【分析】计算4个班分别从3个景点选择一处游览，共有几种选法，判断A;计算出从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数一共有几个，判断B;根据分步乘法原理计算两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，有几种取法，判断C;考虑1作分子情况和不选1时的情况，计算出分数的个数，判断D.

【详解】A, 4个班分别从3个景点选择一处游览，每一个班都有3种选择，分4步完成，

故有 种选法，A正确；

B，从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数，

先确定个位数字有2种可能，再确定十位数字有5种可能，故共有 个偶数，B正确；

C，两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，共有 种取法，C错误；

D，从1，3，5，7，10选择2个不相同的数作为分子分母组成分数，

若选1作分子，则分母有4种可能，此时有4个分数，

不选1时，共有个分数，

故共有 个分数，故D错误，

故选：AB

10．对于函数，下列说法正确的有（    ）

A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点

C． D．

【答案】AC

【分析】利用导函数求出单调性，再逐项验证，即可.

【详解】解析：由函数，可得函数的导数为.

当时，单调递减；当时，单调递增，可得函数

在处取得极大值，所以正确；

因为在上单调递增，在上单调递减，且，当时，恒成立，所以函数只有一个零点，所以错误；

由在上单调递减，且，可得，所以正确；

由在上单调递减，且，可得，即，所以错误.

故选：AC

11．对于函数.下列判断正确的是(   )

A．在该函数图象上一点处的切线的斜率为

B．函数的最小值为

C．该函数图象与轴有4个交点

D．函数在上为减函数，在上也为减函数

【答案】ABD

【分析】当时，求出原函数的导函数，得到函数在时的导数值判断A；利用导数求最值，结合二次函数求最值判断B；数形结合判断C与D.

【详解】当时，，，

所以，即该函数图象上一点处的切线的斜率为，故A正确；

当时，，若，，单调递减，

若，，单调递增，则当时，，

当时，在上单调递减，在上单调递增，则，

因为，所以的最小值为，故B正确；

如图：

当无限趋近于负无穷大时，无限趋近于0且小于0，当时，，

时，与轴有个交点，所以函数的图象与轴有3个交点，故C错误；

由上图可知，函数在上为减函数，在上也为减函数，故D正确.

故选：ABD.

12．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则（     ）

A．在上是增函数 B．的最大值为

C．在上有3个零点 D．在上有3个极值点

【答案】BC

【分析】本题利用导数研究三角函数的性质，先的周期为，而的周期为，故可取一周期，求导，

利用导数性质研究函数即可得解.

【详解】取一周期，不放设，

由，

令，，，

当，，为增函数，

当，，为减函数，

当，，为增函数，由此A错误；

，，所以的最大值为，所以B正确；

，，所以存在，使得，故C正确；

由上可得在和处取得极值点，故D错误.

故选：BC.

【点睛】本题考查了利用导数研究三角函数的性质，考查了函数的单调性和极值最值问题，有一定的计算量，属于中档题.研究三角函数的性质有如下几种方法：

（1）齐次式形如可以利用辅助角公式进行转化；

（2）形如可以利用换元法进行求解；

（3）非齐次式也不可换元，可利用求导进行解决问题.

三、填空题

13．函数的增区间为      ．

【答案】

【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．

【详解】由函数，可得，

因为，令，即，解得，

所以函数的递增区间为.

故答案为：.

14．已知函数为偶函数，当时，则曲线在处的切线方程为            .

【答案】

【解析】根据偶函数先得，，然后求导，再计算与，然后利用点斜式写出切线方程.

【详解】因为函数为偶函数，设，则，所以，则，所以，所以，，所以在处的切线方程为，即.

故答案为：

15．已知函数 在上不单调，则实数的取值范围是      ．

【答案】

【分析】根据题意，求出函数的导数，利用导数与函数单调性的关系可得关于的不等式，可解得答案．

【详解】根据题意，函数，其导数，

令，可得，

当时，；当时，，

则在区间上，为增函数；在区间上，为减函数，

若函数 在上不单调，

则，解得，

即的取值范围为．

故答案为：．

16．若以函数的图像上任意一点为切点作切线，图像上总存在异于点的点，使得以为切点的直线与平行，则称函数为“美函数”，下面四个函数中是“美函数”的是         .

①

②

③

④

【答案】②③

【分析】对于①：当时只一解；对于②：恒有二解；对于③：有无数解；对于④：令，只得一解，即可判断结果．

【详解】对于①：，当时只一解，不合题设．

对于②：定义域为，，

令，则，恒有二解，满足题设．

对于③：，令，对于每个值域范围内的，都有无数解，满足题设．

对于④：，令，

只得一解，不合题设

故答案为：②③．

四、解答题

17．已知函数在处有极值10.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求在上的最小值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）10.

【分析】（Ⅰ）由题意可得，解出的值，验证需满足在两侧的单调性相反，即导数异号才为极值点，即可确定的值；

（Ⅱ）对函数进行求导，利用导数研究出函数在上的单调区间，求出端点值以及极值，比较大小即可确定函数在上的最小值．

【详解】（Ⅰ）若函数在处有极值为10，

则或 ，

当 时， ， ，所以函数有极值点；

当时， ，所以函数无极值点；所以

（Ⅱ），

由得

所以令，得或；    令得

所以在上单调递增，上单调递减．

，  ， 所以最小值为10.

【点睛】本题考查函数在某点取极值的条件以及利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，考查学生基本的计算能力，属于基础题．

18．在①的图象在点处的切线斜率为1；②；③有两个极值点-1，1这三个条件中任选一个补充在下面的问题（1）中，并加以解答.

已知.

(1)若______，求实数m的值；

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

(2)若，讨论的单调性.

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）易得，分别将三个条件代入即可计算出m；

（2）对m分，，三种情况讨论即可得到函数的单调性.

【详解】（1）方案一：选条件①.

易得，

，.  

方案二：选条件②.

易得，

，.

方案三：选条件③.

易得，

∴由，得，.

有两个极值点-1，1，，.

（2）.

当时，由，得或.

（i）若，则.

在R上单调递增.

（ii）若，则.

∴当时，或；当时，.

在上单调递增，在上单调递减.  

（iii）若，则.

∴当时，或；当时，.

在上单调递增，在上单调递减.

综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在R上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

19．如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中，直径长为，，两点在半圆弧上，且，设，现要在景区内铺设一条观光通道，由，，和组成.

(1)若，求观光通道的长度；

(2)现要在农庄内种植经济作物，其中，在内种植鲜花，在内种植果树，在扇形内种植草坪.已知种植鲜花和种植果树的利润均为2百万元，种植草坪的利润为1百万元，则当为何值时总利润最大？

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）在与中，分别由余弦定理求得与的值，进一步求得观光通道的长度；

（2）分别求出三角形与三角形的面积，再由扇形面积公式求得扇形的面积，作和后利用导数求最值.

【详解】（1）在中，，，

所以

，

则，，

又，，得.

在中，

，则,

所以；

（2）由题意，，

，.

设总利润为，则，

则，

因为，所以当时，，，单调递增，

当时，，，单调递减，

所以.

所以当时，总利润取得最大值，最大值为百万元.

20．已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线；

（2）若为的一个极小值点，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据导数的几何意义求解出的值则切线的斜率可知，再求解出的值，根据直线的点斜式方程求解出切线方程；

（2）根据条件判断出在的单调递增区间中，再根据求解出的初步范围，注意分析临界值是否满足.

【详解】（1）当时，，则，

∴，，

∴曲线在点处的切线为.

（2）由已知得，则，

若为的一个极小值点，则在的单调增区间中，

又，则，解得，

又当时，，令，，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以，

故此时不是的极值点.

综上可知：.

【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键是通过判断出处于的单调递增区间，于是满足在的左侧导数值小于零，的右侧导数值大于零，由此进行问题的求解.

21．已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）设.如果对任意，，求的取值范围．

【答案】（1）当a≥0时，＞0，故f(x)在(0，+)单调增加；当a≤－1时，＜0， 故f(x)在(0，+)单调减少；当－1＜a＜0时，f(x)在（0，）单调增加，在（，+）

（2）a≤－2

【详解】（1） f(x)的定义域为(0，+)，.

当a≥0时，＞0，故f(x)在(0，+)单调增加；

当a≤－1时，＜0， 故f(x)在(0，+)单调减少；

当－1＜a＜0时，令＝0，解得x=.当x∈(0，)时，＞0；

x∈(，+)时，＜0， 故f(x)在（0，）单调增加，在（，+）单调减少.

（2）不妨假设x1≥x2.由于a≤－2，故f(x)在（0，+）单调减少.

所以等价于

≥4x1－4x2，，即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.

令g(x)=f(x)+4x，则+4＝.

于是≤＝≤0.

从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，

即f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1，x2∈(0，+) ，.

22．设函数，.

(1)若函数图象恰与函数图象相切，求实数的值；

(2)若函数有两个极值点，，设点，，证明：、两点连线的斜率.

【答案】(1)1

(2)证明见解析

【分析】（1）设切点为，结合导数的几何意义求解即可；

（2）由有两个极值点，可得有两个不等的正根，且，可得，要证：，即证.令证，进而构造函数，再利用导数求解即可；

【详解】（1）设与切于，

由，则，

所以，则，

即，

令，则，

所以在上单调递增，

又，所以，

所以.

（2）解法一：

由，

所以，

因为有两个极值点，

，即有两个不等的正根，且，

，

要证：，即证.

不妨设，即证：，

即证：，

令证

令，

在上，证毕!

解法二：

因为，所以，

令，则，

因为函数有两个极值点，所以，解得.

所以，

所以的斜率

.

令，则，

所以在上单调递增，又，

所以当时，.

不妨设，令，则，

所以，

即，证毕!

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，通常要分析不等式结构，构造函数求解.本题关键在于分析要证：，即证.令证，进而构造函数，再利用导数求解.