2022-2023学年吉林省长春外国语学校高二下学期3月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年吉林省长春外国语学校高二下学期3月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省长春外国语学校高二下学期3月月考数学试题 一、单选题1．一质点沿直线运动，位移（单位：与时间）（单位：）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先对函数求导，然后把代入导函数中即可求解．【详解】因为，所以，则质点在时的瞬时速度为．故选：B．2．某箱子的容积V与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为（    ）A．5 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】求导分析的符号，的单调性，最值，即可得出答案．【详解】因为，所以，所以在上，单调递增，在上，单调递减，所以当时，最大，故A，B，D错误.故选：C．3．已知，则为（　　）A． B． C． D．π【答案】A【解析】根据导数运算,求得,代入即可求解.【详解】因为所以由导数运算公式可得所以故选:A【点睛】本题考查了导数的乘法运算公式,复合函数求导的简单应用,求导数的值,属于基础题.4．函数的图像大致是（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】D【分析】根据题意，得到函数的函数值的正负，可排除A、C项；求得，得出函数的单调区间，可排除B项，即可求解.【详解】由函数，令，即，解得或，所以当或时，；当时，，可排除A、C项；又由，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，则可排除B项，选项D符合题意.故选：D.5．函数的最小值为（    ）A．1 B． C．0 D．【答案】C【分析】利用导数得函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．【详解】，，令，解得，令，解得或，故在单调递减，在单调递增，在单调递减，而，故在上的最小值是0.故选：C．6．已知实数成等比数列，且曲线的极大值点为，极大值为，则等于（    ）A．2 B． C． D．1【答案】A【分析】根据实数成等比数列，可得．利用导数研究函数的单调性与极值，进而得出结论．【详解】因为实数成等比数列，所以，由，得，令，解得，当或时，，当时，，所以函数在上单调递减；函数在上单调递增；函数在上单调递减．所以时，函数取得极小值，时，函数取得极大值．因为曲线的极大值点为，极大值为，所以，，即．所以，所以，故选：A．7．已知函数 ，则“ ”是“ 在 上单调递增”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．故选A.8．已知曲线在处的切线与坐标轴围成三角形的面积为1，则实数的值为（    ）A．0或1 B．1或 C．0或 D．或【答案】B【分析】求得，进而得到曲线在处的切线方程，根据题意，列出方程，即可求解.【详解】由函数，可得，则且，所以曲线在处的切线方程为，取，可得；取，可得，因为在处的切线与坐标轴围成三角形的面积为1，可得，解得或.故选：B. 二、多选题9．下列各式中正确的有（    ）A．B．C．D．【答案】AC【分析】根据基本初等函数和积的导数、商的导数、复合函数的求导公式进行求导即可．【详解】解：对于A，因为，故正确；对于B，因为，故错误；对于C，因为，故正确；对于D，因为，故错误．故选：．10．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】先根据奇偶性定义分析函数的奇偶性，然后再利用导数判断函数的单调性，由此作出判断即可.【详解】对于选项A，定义域为关于原点对称，且，故为奇函数，又，所以在上单调递增，故满足；对于选项B，定义域为关于原点对称，，故为奇函数，又，且不恒为0，所以在上单调递增，故满足；对于选项C，定义域为关于原点对称，，故为偶函数，不满足；对于选项D，定义域为关于原点对称，，为奇函数，又，所以在上单调递增，故满足．故选：ABD．11．过点作曲线的切线，则直线的方程可能为（    ）A． B． C． D．【答案】AD【解析】首先求出函数的导数，设切点坐标为，则，解得，即可求出切线方程；【详解】解：，设切点坐标为，则解得或当时，切线方程为；当时，切点为，斜率，故切线方程为，整理为故选：【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数求曲线上过一点的切线方程，属于基础题.12．若满足，则对任意正实数a，下列不等式恒成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】先构造函数，通过求导，再结合已知条件判断出单调性，然后再分析每个选项即可.【详解】设，则，因为，所以，在R上是增函数，因为a是正实数，所以，所以，即，又，故，大小不确定，故A错误.因为，所以，即，故B正确.因为，所以，即，又，所以，大小不确定，故C错误，D正确.故选：BD. 三、填空题13．函数的单调递减区间为       .【答案】/【分析】利用导数求得的单调递减区间.【详解】函数的定义域为，，由得，由得，所以在区间上单调递减．故答案为：14．已知函数的定义域为，，对任意，则的解集为            ．【答案】.【分析】构造，根据题意得到在为单调递增函数，又由，得到，进而得到时，，即可求解.【详解】设，可得，因为对任意，所以，所以在为单调递增函数，又由，可得，所以当时，，即不等式的解集为.故答案为：.15．已知点是曲线上一点，求点到直线的最小距离为         .【答案】/【分析】利用导数求出与直线平行，且与曲线相切的切点坐标，再由点到直线的距离公式求解．【详解】由，且，得，令，得，解得或（舍去）．当时，，即曲线上过点的直线与直线平行，则所求点的坐标为，点到直线的最小距离为：．故答案为：．16．已知函数的定义域为[-1,5]，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示，下列关于的命题：-10451221①函数的极大值点为0,4；②函数在[0,2]上是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1<a<2时，函数有4个零点.其中正确命题的序号是          ．【答案】①②【详解】试题分析： ①由函数的导函数的图像知，函数的极大值点为，，所以①正确；②因为在上的导函数为负，所以函数在上是减函数，所以②正确；③由表中数据可得当或时，函数取最大值2，若时，函数的最大值是2，那么，故的最大值为5，即③错误；④由知，因为极小值未知，所以无法判断函数有几个零点，故④不正确.综上所述，正确命题的个数为2.【解析】利用导数研究函数的极值；命题的真假判断与应用. 四、解答题17．已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上.(1)求定点的坐标与圆的方程；(2)过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程.【答案】(1)，(2)或 【分析】（1）直线变形为，列出方程组，求出定点的坐标，设出圆心坐标，根据半径相等列出方程，求出，从而确定圆心和半径，写出圆的方程；（2）分直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合垂径定理，求出直线方程.【详解】（1）变形为，令，解得：，故定点的坐标为，由圆心在直线上可设圆心坐标为，则，即，解得：，故圆心坐标为，半径为，故圆的方程为；（2）当直线斜率不存在时，直线为，此时圆心到的距离为，由垂径定理得：弦长为，满足要求，当直线斜率存在时，设直线为，圆心到直线即距离为，由垂径定理得：，解得：，故直线方程为：即综上：直线方程为或18．若函数，当时，函数有极值.（1）求函数的极大值；（2）若关于的方程有三个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先对函数进行求导，然后根据可求出的值，进而确定函数的解析式，然后求导，令导函数等于0求出的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而确定函数的大值； （2）由（1）得到函数的单调区间进而确定函数的大致图象，然后根据数形结合确定的范围．【详解】解：（1），由题意知，解得.故所求的解析式为可得，令，得或，由此可得00极大值极小值所以当时，有极大值.（2）由（1）知，得到当或时，为增函数；当时，为减函数，∴函数的图象大致如图，由图可知当时，与有三个交点，所以实数的取值范围为.【点评】本题主要考查导数在函数的单调性、极值中的应用，属于中档题.19．如图，在正三棱柱中，点为的中点，．(1)证明：平面；(2)求直线到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)根据线面平行判定定理证明即可.(2)把到平面的距离转化为到平面的距离,应用空间向量法求解即可.【详解】（1）连接交于点，点为的中点,点为的中点∵是的中位线，∴，平面,平面.∴平面．（2）如图建立空间直角坐标系由（1）得，直线到平面的距离即为点C到平面的距离d，因为，，，，所以，且，，设平面的法向量为，由于可得，故取，得，因此直线到平面的距离．20．已知数列的前n项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前n项和．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）当时，由得是等比数列，再由等比数列通项求解即可；（2）先求出，再由错位相减法求和即可.【详解】（1）因为，所以，所以，所以，当时，，，所以数列是首项，公比的等比数列，所以；（2）由得，所以，，两式相减，得，，所以.21．已知函数．(1)若在处的切线与直线平行，求实数的值．(2)若在上单调递增，求实数的取值范围．【答案】(1)1(2) 【分析】（1）求出函数的导数可得切线的斜率，由直线平行的条件，得到关于的方程，解出即可；（2）在上单调递增即为在上恒成立，转化为在上恒成立，求出在上值域可得答案．【详解】（1）函数的导数为，则在处的切线斜率为，由于在处的切线与直线平行，则，解得，，点不在直线上，所以.（2）由于，在上单调递增，即为在上恒成立，即有在上恒成立，由于在上值域为，则有，即．故实数的取值范围是．22．已知椭圆，四点，，中恰有三点在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)设直线过椭圆右焦点交椭圆于A，两点，在轴上是否存在一定点使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在定点，使得为定值 【分析】（1）根据对称性可得椭圆过，，三点，代入椭圆的方程，解得，，进而可得答案．（2）由（1）知，进而可得椭圆的右焦点为的坐标，设，，设直线的方程为，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由向量数量积的坐标表示可得，当时，为定值，再讨论斜率为零时，即可得出答案．【详解】（1）根据对称性可得椭圆过，，三点，所以代入椭圆方程可得，解得，，所以椭圆的方程为．（2）由（1）知，设椭圆的右焦点为，，，此时,当斜率不为零时，不妨设直线，由，得，所以，，因为，，所以，显然当，解得，即时，为定值，当斜率为零时，此时不妨令，若，可得，与斜率不为零时定值相同，综上，所以存在定点，使得为定值．