2022-2023学年辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学高二下学期6月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学高二下学期6月月考数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学高二下学期6月月考数学试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的单调性和绝对值不等式的解法求出两个集合，利用交集的运算即可求解.【详解】解：由题意得：根据指数函数的单调性可知：根据绝对值不等式可知：根据交集的运算可知：，即故选：C2．已知为角终边上一点，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据角终边上的点的坐标，求得角的正弦值，继而求得，代入求值，即得答案.【详解】由题意知为角终边上一点，则，故，故，故选：A3．命题“”是真命题的一个必要不充分条件是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据恒成立问题分析可得命题“”是真命题等价于“”，结合充分、必要条件分析判断.【详解】若命题“”是真命题，则，可知当时，取到最大值，解得，所以命题“”是真命题等价于“”.因为，故“”是“”的必要不充分条件，故A正确；因为，故“”是“”的充要条件，故B错误；因为，故“”是“”的充分不必要条件，故C错误；因为与不存在包含关系，故“”是“”的即不充分也不必要条件，故D错误；故选：A.4．中华人民共和国国家标准《居室空气中甲醛的卫生标准》规定：居室空气中甲醛的最高容许浓度为：一类建筑，二类建筑．二类建筑室内甲醛浓度小于等于为安全范围，已知某学校教学楼（二类建筑）施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工2周后室内甲醛浓度为，4周后室内甲醛浓度为，且室内甲醛浓度（单位：）与竣工后保持良好通风的时间（单位：周）近似满足函数关系式，则该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（    ）A．5周 B．6周 C．7周 D．8周【答案】B【分析】根据题意列式求解可得，即，令运算求解即可.【详解】由题意可得：，解得，所以，令，整理得，因为，故，则，所以至少需要放置6周.故选：B.5．已知函数，则的解集是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数解析式，作出函数图象，继而作出的图象，数形结合，求得不等式的解集.【详解】根据题意当时,，当时, , 作出函数的图象如图，在同一坐标系中作出函数的图象，由图象可得不等式解集为，故选：C【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确的作出函数的图象，数形结合，求得不等式解集.6．已知，，且，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知等式可得，根据，利用基本不等式可求得结果.【详解】由，，得：，（当且仅当，即，时取等号），的最小值为.故选：C.7．已知同时满足下列三个条件：①当时，的最小值为；②是偶函数；③．若在上有两个零点，则实数m的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由①可得函数的半个周期为，即可求得，由②③可求得，再根据正弦型函数的图象与性质找到两个零点时满足的范围即可.【详解】由①当时，则分别为最大值与最小值，所以的最小值即为半个周期，，由；由②是偶函数，所以，因为，所以或；由③，则， 所以.时，，因为在上有两个零点，根据正弦函数的图象故选：A.8．已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，且，，且为奇函数，则下列等式一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】将用代入已知等式可构造方程组得到，由此可得关于对称；结合为偶函数可推导得到是周期为的周期函数，则可得D正确；令，代入中即可求得A错误；令，由可推导得到B错误；设，由可知，结合可知，由此可得，知C错误.【详解】由得：，，关于中心对称，则，为奇函数，，左右求导得：，，为偶函数，图象关于轴对称，，是周期为的周期函数，，D正确；，，又，，A错误；令，则，，又，，，即，B错误；，，设，则，，又为奇函数，，，即，C错误.故选：D【点睛】结论点睛：本题考查利用抽象函数关系式求解函数周期性、对称性、奇偶性的问题；对于与导数有关的函数性质，有如下结论：①若连续且可导，那么若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数；②若连续且可导，那么若关于对称，则关于点对称；若关于对称，则关于对称.9．下列不等关系中正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据函数值的特征，构造函数，求出其导数，判断函数的单调性，可判断AB；同理构造函数，判断CD.【详解】令，则，当时，，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即，即，故A错误，又，所以，即，故B正确；令，，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，所以在上恒成立，所以在上单调递减，所以，即，即，故C正确，D错误，故选：BC．【点睛】关键点点睛：构造函数和，，是解决本题的关键. 二、多选题10．下列说法正确的是（    ）A．不等式的解集为B．若实数a，b，c满足，则C．若，则函数的最小值为2D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是【答案】AB【分析】根据不含参一元二次不等式的解法解不等式，即可判定选项A；根据不等式的性质即可判定选项B；利用基本不等式可判定选项C；根据不等式恒成立的解法求出k的范围，即可判定选项D.【详解】对A，由解得或，所以A正确；对B，由于，所以可以对两边同除，得到，所以B正确；对C，由于，所以当且仅当，即时取等号，显然不成立，所以C错误；对D，①当时，不等式为，恒成立；②当时，若要使不等式恒成立，则，解得，所以当时，不等式恒成立，则k的取值范围是，所以D错误.故选：AB．11．已知函数，下列说法正确的是（    ）A．定义域为 B．C．是偶函数 D．在区间上有唯一极大值点【答案】ACD【分析】根据函数解析式结合三角函数性质求得定义域，判断A；由于函数的定义域不关于原点对称，故可判断B；根据函数奇偶性的定义可判断C；求出函数的导数，根据其结构特点，构造函数，再次求导，判断导数正负，进而判断函数单调性，进而判断极大值点，即可判断D.【详解】A.的定义域为，解得的定义域为正确B.由于的定义域不关于原点对称，故函数不可能是偶函数，B错误；C.设，则定义域为，，即是偶函数，正确D.，令，令，由，当时，，即当时，单调递增，当时，在单调递减，且，，,结合时，；时，，故存在使得，即有在单调递减，在单调递增，在单调递减，注意到，且时，时，，从而对于，当时，在区间单调递减，当时，，在区间单调递增，为在区间上的唯一极大值点，故D正确，故选：【点睛】难点点睛：利用导数解决在区间上有唯一极大值点的问题时，求出函数的导数，由于导数形式比较复杂，故而难点就在于要根据导数的结构形式构造函数，进而再次求导结合零点存在定理判断导数正负，从而判断函数的单调性，解决极大值点问题.12．函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为，则下列说法正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】利用导数的性质，根据最大值的定义，结合数形结合思想、指数与对数恒等式进行求解即可.【详解】，当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，由，当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，于是有，因此选项AB正确，两个函数图象如下图所示：由数形结合思想可知：当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，不妨设，且，由，又，又当时，单调递增，所以，又，又，又当时，单调递减，所以，，，于是有，所以选项D正确，故选：ABD【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，结合等式是解题的关键. 三、填空题13．已知函数为奇函数，则         .【答案】【分析】根据函数奇偶性的定义化简可得答案.【详解】由函数为奇函数可得，，化简得 ，此时符合题意，故答案为：0.14．已知命题，若为假命题，求实数的取值范围           .【答案】【分析】先求得命题的否定，然后根据是真命题求得的取值范围.【详解】依题意，命题是假命题，所以是真命题，当时，不等式化为，成立，当时，不等式化为，不成立.当时，不等式化为，成立，综上所述，的取值范围是.故答案为：15．已知是定义在上的偶函数且，是奇函数，则           .【答案】【分析】根据奇偶性得到函数的周期性，再求出、、、，最后根据周期性计算即可.【详解】由于是奇函数，函数图象关于原点对称，所以关于对称，，所以，因为是偶函数，所以，所以，所以，所以，所以是周期为的周期函数，又，，，，，所以，所以.故答案为：.16．已知函数，若方程恰有两个实数解，则实数的取值范围为      .【答案】【分析】由数形结合的思想有：方程恰有两个实数解，即曲线与直线有两个不同的交点，利用导数求切线方程的斜率，过原点的直线与相切的斜率为，再结合图象可得解【详解】方程恰有两个实数解，即曲线与直线有两个不同的交点，设，则，设过原点的直线与相切的切点坐标为，则切线方程为：，又此切线过点，求得， 由图可知：曲线与直线有两个不同的交点时有：，当时，此时与直线有两个交点分别为和，也符合要求，当时，此时与直线有两个不同的交点，也符合要求，综上可知：实数的取值范围为：，故答案为：   四、解答题17．设函数，其中．若．（1）求；（2）将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求在上的最小值．【答案】（1）2；（2）.【解析】（1）代入，结合，即得解；（2）由平移变换，得到，又，结合正弦函数性质即得解.【详解】（1）因为，且，所以，．故，．又，所以．（2）由（1）得，所以．因为，所以，当，即时，取得最小值．【点睛】本题考查了正弦函数的图像变换及性质，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.18．设函数，将函数的图象向左平移单位长度后得到函数的图象，已知的最小正周期为，且为奇函数.(1)求的解析式；(2)令函数对任意实数， 恒有，求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据函数图象平移变换以及最小正周期为，可得，利用平移后的函数为奇函数可得；（2）将代入化简可得，再利用换元法根据由二次函数单调性即可求得实数的取值范围.【详解】（1）由题可知，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．则，由的最小正周期为，得由为奇函数可得，即，因为，所以．所以．（2）由（1）得，所以，根据恒成立，可得对任意实数恒成立；令，因为，所以，根据正弦函数单调性可得，即，再根据二次函数单调性可得因此．即实数的取值范围为19．已知．(1)求在上的最值；(2)若恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)最大值为，最小值为(2) 【分析】（1）求导后根据函数的单调性确定极值即可；（2）将不等式转化后求导，分类讨论即可得解.【详解】（1）由题意知，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减．因为，，，所以在上的最大值为，最小值为．（2）恒成立，即恒成立，设，则，．①当时，取，则，所以当时，不恒成立．②当时，在上单调递减，在上单调递增，所以要使，只需，即，解得，所以．综上，实数a的取值范围是．20．已知为锐角，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式结合商数关系及化弦为切即可得解；（2）先利用二倍角的正切公式求出，再根据平方关系及商数关系求出，再根据利用两角差的正切公式即可得解.【详解】（1）；（2）由，得，因为为锐角，所以，则，又因，所以，所以，所以，则.21．已知函数（）．(1)若函数的极大值为0，求实数a的值；(2)证明：当时，．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，判断函数单调性，结合函数的极值，求得答案；（2）利用（1）的结论，将不等式转化为，即证当时，，从而构造函数，利用导数求得该函数的最值，进而证明不等式.【详解】（1）∵函数的定义域为，且．∴当时，恒成立，在上单调递增，无极大值．当时，由解得；由解得，故在上单调递增，在上单调递减,∴,即，而函数在上单调递增，所以．（2）证明：由（1）知，即．要证当时，，即证，当时，,即证,令函数，则，令，则，所以函数在定义域上单调递增．因为，，所以函数在区间上存在零点，使得，即,当时，；当时，；故为函数在区间上的唯一极小值点，所以，所以当时，．【点睛】关键点点睛：要证当时，，利用（1）的结论，即证，关键就是再转化为证明，从而构造函数，利用导数求得函数最值，解决问题.22．已知函数，．(1)若不等式恒成立，求a的取值范围；(2)若时，存在4个不同实数满足．证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）按和讨论，在时，求出函数的最大值建立不等式，再利用单调性求解不等式作答.（2）根据给定条件，构造函数，借助导数探讨的根的情况即可推理作答.【详解】（1）依题意，，求导得，当，函数定义域为，，不符合题意，当,函数定义域为，由，解得，当时，，则函数在区间上单调递增，当时，，则函数在区间上单调递减，，于是，设函数，求导得，即函数在上单调递增，又，因此当时, 成立，即成立，所以的取值范围是.（2）当时，，设函数，当单调递增，单调递减，不妨令，由，即，又因为，因此,即，由函数单调性知，方程至多有两解，从而不妨令，两式相减得，由,得，所以.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.