2022-2023学年辽宁省沈阳市第三十六中学高二下学期6月月考数学试题含答案

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2022-2023学年辽宁省沈阳市第三十六中学高二下学期6月月考数学试题 一、单选题1．设全集U为实数集，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）A． B． C． D．，或，【答案】D【分析】根据集合交集和补集的定义，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】，或，，又图中阴影部分所表示的集合是，而，或，即，或，故选：D2．已知等比数列的公比为q，则“”是“为递减数列”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】举例即可说明，充分条件性以及必要条件均不成立，即可得出答案.【详解】取，，此时数列前几项为，显然该数列不是递减数列，故由“”不能推出“为递减数列”；取数列，显然有，即，所以，为递减数列，但，故由“为递减数列”也不能推出“”．故“”是“为递减数列”的既不充分也不必要条件．故选：D．3．已知，，且，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意得，，再根据基本不等式乘“”法即可得最小值.【详解】由题可知，乘“”得，当且仅当时，取等号，则的最小值为.故选：A4．已知为数列的前项和，且满足，则（    ）A．27 B．28 C．29 D．30【答案】B【分析】首先根据前n项和，求出，然后即可求出结果.【详解】因为，当时，，当时，经检验，当时不符合，所以.故选：B.5．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（    ）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可．【详解】函数，则，由，得，即，解得，所以在，上的“拉格朗日中值点”的个数为2．故选：B.6．等差数列的前项和为.已知，.记，则数列的（    ）A．最小项为 B．最大项为 C．最小项为 D．最大项为【答案】C【分析】根据题意求得等差数列的通项公式和前项和，得到，结合，可排除A、D，再求得数列的单调性，得到B不正确，C正确.【详解】由题意，设等差数列的公差为，因为，，可得，所以，，则，可得，所以，可排除A、D；设，则，因为，所以，所以在区间和上都是单调递增函数，即当时，数列为递增数列，当时，数列也为递增数列，其中，例如当时，可得，所以B不正确，C正确.故选：C.【点睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略：1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.7．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为A．  B． C．  D． 【答案】B【解析】由题意可知是“最近路线”，所以一共要走次向上、次向右、次向前，一共次，然后算出一共多少种情况，再计算出满足“不连续向上攀登”的情况的数目，最后得出结果.【详解】根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，∴一共要走3次向上，2次向右，2次向前，共7次，∴最近的行走路线共有(种).∵不能连续向上，∴先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列为.接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排3个元素，也就是，则最近的行走路线中不连续向上攀登的路线共有(种)，∴其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率P＝＝.故选：B.【点睛】本题主要考查古典概率的求解，明确事件包含的基本事件种数是求解关键，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养，正确理解“不能连续向上”就是“三次向上”不能在一起，那么可以先将次向右和次向前首先排列出来，再将三次向上插到里面.8．若，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造函数，利用导数讨论单调性即可判断A和B，再构造，利用导数讨论单调性即可判断C和D.【详解】令，则，令恒成立，即在定义域单调递增，且因此在区间上必然存在唯一使得，所以当时单调递减，当时单调递增，故A，B均错误；令，，当时，，∴在区间上为减函数，∵，∴，即，∴选项C正确，D不正确.故选:C. 二、多选题9．下列四条曲线中，直线与其相切的有（    ）A．曲线 B．曲线C．曲线 D．曲线【答案】ABD【分析】根据导数的几何意义逐一判断即可.【详解】直线的斜率为，A中，若，则由，得，，因为点在直线上，所以直线与曲线相切．B中，若，则由，得，，因为点在直线上，所以直线与曲线相切．C中，若，则由，得，，，因为，都不在直线上，所以直线与曲线不相切．D中，若，则由，得，，，其中在直线上，所以直线与曲线相切．故选：ABD10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，则（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据示意图，结合题意找到各层球的数量与层数的关系，可得，即可判断各项的正误.【详解】由题意知：，故，∴，故A错误；，故B正确；，故C正确；，，显然，故D错误；故选：BC11．一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球4个，白球1个，黑球3个，则下列选项正确的有（    ）A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为，则数学期望C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为Y，则数学期望【答案】ACD【分析】对于A，的可能值：0，1，2，3，求出每一个取值的概率后，再求出数学期望，可判断A；对于B，根据二项分布的数学期望公式可判断B；对于C，X的可能值：1，2，3，求出每一个取值的概率后，再求出数学期望，可判断C；对于D，Y的可能值：0，1，2，3，求出每一个取值的概率后，再求出数学期望，可判断D.【详解】对于A，的可能值：0，1，2，3，，，，，则，故A正确；对于B，的可能值：0，1，2，3，取球一次取到黑球的概率为，因取球一次有取到黑球和没取到黑球两个结果，因此，，，故B错误；对于C，X的可能值：1，2，3，，，，则，故C正确；对于D，Y的可能值：0，1，2，3，因为对应的事件为：红或白红，所以，因为对应的事件为：黑红或黑白红或白黑红，所以，因为对应的事件为：黑黑红或黑黑白红或白黑黑红或黑白黑红，所以，所以，则，故D正确.故选：ACD.12．函数在上有唯一零点，则下列四个结论正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】把函数的零点转化为的图像与有唯一公共点，利用导数求得的单调性和极值，以及特殊点的函数值，可判定A正确，B错误，由，可判定C正确；令，求得，根据时，，结合，可判D错误．【详解】由题意，函数的零点，即为方程，即的根，等价于的图像与有唯一公共点，又由，因为在上单调递增，当时，，当时，，所以存在，使得，当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，所以，所以，所以A正确，B错误．又由，可得，所以C正确；令，则，当时，，，所以D错误．故选：AC【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围. 三、填空题13．已知数列为等比数列，若数列也是等比数列，则数列的通项公式可以为      ．（写出一个即可）【答案】.（只要公比为3的数列，即可）【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出.【详解】解：设等比数列的公比为，∵数列也是等比数列，∴，化为：，解得，取，则.故答案为：.（只要公比为3的数列，即可）14．两个线性相关变量x与y的统计数据如表：x99.51010.511y1110865其回归直线方程是，则相应于点的残差为    ．【答案】【分析】先求解，根据回归直线方程求出时的预测值，然后再求解残差.【详解】因为，所以，解得；所以当时，，所以残差为；故答案为：.15．若是函数的极值点，数列满足，，则数列的通项公式      ．【答案】【分析】根据极值点的定义，结合等比数列的定义、前项和公式进行求解即可【详解】，∴，即，∴数列是首项为2，公比为3的等比数列，∴，则故答案为：【点睛】关键点睛：利用累和法，结合极值点定义是解题的关键.16．若函数不存在零点，则实数a的取值范围是      .【答案】【分析】根据题意，将问题转化为方程无实数根，进而构造函数，研究函数的最值即可得答案.【详解】解：因为函数不存在零点，所以方程无实数根，所以方程无实数根，即方程无实数根，故令，令，故恒成立，所以，在上单调递减，由于，所以，当时，，即，当时，，即，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，当方程无实数根时，即可.所以，实数a的取值范围是故答案为： 四、解答题17．已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足，，．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S100．【答案】(1)，，，(2)11302， 【分析】（1）先由已知条件求出，，从而可求出公差和公比，进而可求出数列的通项公式，（2）由（1），即是数列中的第项，而，，从而可知数列的前100项是由数列的前107项去掉数列的前7项后构成的，进而可求得结果【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由，，，可得，，则d=2，q=2，，，，（2）由（1），即是数列中的第项，设数列的前n项和为，数列的前n项和为，因为，，所以数列的前100项是由数列的前107项去掉数列的前7项后构成的，所以，18．函数，若在点处的切线方程为．(1)求，的值(2)求函数的单调区间．【答案】(1)(2)单调递增区间是，单调递减区间是，． 【分析】（1）利用函数解析式求切点坐标，利用导数求切线斜率，由切线方程可求，的值；（2）利用导数求函数单调区间.【详解】（1），∴，又，∴在处的切线方程为，即，∴，解得．（2）∵，，∴，当或时，；当时，，故的单调递增区间是，单调递减区间是，．19．武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为，游客之间选择意愿相互独立.（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量，求的分布列与数学期望；（2）（i）若从游客中随机抽取人，记总分恰为分的概率为，求数列的前10项和；（ⅱ）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为分的概率为，探讨与之间的关系，并求数列的通项公式.【答案】（1）见解析（2）（i）（ⅱ），【分析】（1）判断出可能取值为3，4，5，6，分别求出概率，进而求出其数学期望．（2）（i）由题可得首项为，公比为的等比数列，并求其前10项和．（ⅱ）根据与之间的关系，用待定系数法得，进一步就可求出的通项公式．【详解】解：（1）可能取值为3，4，5，6.，，，.∴的分布列为3456∴（2）（i）总分恰为分的概率为，∴数列是首项为，公比为的等比数列，前10项和.（ⅱ）已调查过的累计得分恰为分的概率为，得不到分的情况只有先得分，再得2分，概率为，.所以，即∴.∴，∴.【点睛】本题是一道数列与概率的综合问题，对于递推式，可通过待定系数法求的通项公式，是一道中等难度的题目．20．已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【详解】（Ⅰ）因为，所以，设切点为，则，即，所以切点为，由点斜式可得切线方程为：，即.（Ⅱ）[方法一]：导数法显然，因为在点处的切线方程为：，令，得，令，得，所以，不妨设时，结果一样，则，所以，由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，也是最小值为.[方法二]【最优解】：换元加导数法  ．因为为偶函数，不妨设，，令，则．令，则面积为，只需求出的最小值．．因为，所以令，得．随着a的变化，的变化情况如下表：a0减极小值增所以．所以当，即时，．因为为偶函数，当时，．综上，当时，的最小值为32．[方法三]：多元均值不等式法同方法二，只需求出的最小值．令，当且仅当，即时取等号．所以当，即时，．因为为偶函数，当时，．综上，当时，的最小值为32．[方法四]：两次使用基本不等式法 同方法一得到,下同方法一.【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.21．某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行了问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：，，，…，，统计结果如图所示：(1)由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分z（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得．若A市恰有2万名5G手机用户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；(2)该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有10轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为．每一轮抽奖，若中奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束，现小王参与了此次抽奖活动．①求小王获得900元话费的概率；②求小王所获话费总额X的数学期望（结果精确到0.01）．参考数据：若随机变量z服从正态分布，即，则，．【答案】(1)（人）(2)① ；②（元） 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，求出，再利用正态分布求出满意度得分位于区间的概率即可计算作答.（2）①利用独立事件的概率公式计算作答；②求出X的可能值及各个值对应的概率，再利用期望的定义求解作答.【详解】（1）依题意，样本平均数为，即，由，得，而，所以2万名5G手机用户中满意度得分位于区间的人数约为（人）．（2）①小王获得900元话费表明其前9轮连续中奖且第10轮未中奖，所以所求的概率为．②依题意，X的可能取值有0，100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000，即，，，当，时，，说明小王前i轮连续中奖且第轮未中奖，此时，又满足，，因此，于是，令，则，两式相减得，化简得，则（元），所以小王所获话费总额X的数学期望为99.90元．22．已知函数，其中e为自然对数的底数.(1)求函数的最小值；(2)求证：.【答案】(1)0；(2)证明见解析 【分析】（1）直接求导确定单调性即可求得最小值；（2）将转化为，构造函数求导，令，通过确定的单调性，进而确定单调性，求出，再构造函数求得即可.【详解】（1），当时，单调递减；当时，单调递增，故（2），即，等价于对于恒成立，令，则，令，，则即在单调递增，又因为，，故存在使，则，化简得，即，所以当时，单调递减；当时，单调递增；故，令，则，所以在上单调递增，所以，所以，故，即.【点睛】本题关键点在于构造函数求导后，令再次求导，确定的单调性后借助隐零点确定单调性，求得，再构造函数求得即可.