2022-2023学年贵州省贵阳市观山湖区第一高级中学高二下学期第二次月考数学试题含答案

2022-2023学年贵州省贵阳市观山湖区第一高级中学高二下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则=（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求出集合，再由交集的定义求解.

【详解】因为，

所以，

由可得：，则，则，

解得：，所以，

所以=.

故选：B．

2．已知复数，其中为虚数单位，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算求解出，然后根据复数模的计算公式求解出.

【详解】由题知，所以，

故选：C.

3．平面向量与的夹角为，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】转化为平面向的数量积可求出结果.

【详解】因为，所以，

.

故选：B

4．“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为，且当训练迭代轮数为时，学习率为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（    ）

A．75 B．74 C．73 D．72

【答案】C

【分析】由已知可得，再由，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可．

【详解】由题设可得，则，

所以，即，

所以所需的训练迭代轮数至少为次．

故选：C．

5．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于1000的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】所拨数字共有，所拨数字大于1000包含两种:①上珠拨的是千位档，②上珠拨不是千位档，这两种情况进行分析求解，由此能求出所拨数字大于1000的概率．

【详解】依题意得所拨数字共有种可能，

要使所拨数字大于1000，则：

①上珠拨的是千位档,则所拨数字一定大于1000，有种;

②上珠拨不是千位档,则再随机选择两个档位必有千分位,有种,

则所拨数字大于1000的概率为.

故选:D.

6．将函数的图象向右平移个单位长度后的函数图象关于原点对称，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用三角函数图象变换求出平移后所得函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可求出的表达式，即可求得的最小值.

【详解】因为，

将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，

由题意可知，函数的图象关于原点对称，

所以，，所以，，

因为，故当时，取最小值.

故选：A.

7．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由已知结合式子特点合理构造函数，结合导数与单调性的关系分别证出，，然后进行赋值即可比较函数值的大小.

【详解】令，则，

当时，，则在上单调递增，

当时，，则在上单调递减，

故，所以，当时取等号.

所以，

令，则，

当时，，则在上单调递增，

当时，，则在上单调递减，

故，所以，当时取等号.

所以，即.

故选：C.

8．如图，球的半径为，球面上的三个点，，的外接圆为圆，且，则三棱锥的体积最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设圆的半径为，即可表示、，从而得到，再利用均值不等式求出的最大值，即可得解.

【详解】设圆的半径为，则，又，所以，

所以，

又，所以，

所以，，

所以

，

当且仅当或时取等号，

所以三棱锥的体积最大值是.

故选：A

【点睛】关键点睛：本题解答的关键是通过三角关系表示出，再利用三元均值不等式求出的最大值.

二、多选题

9．设有两条不同的直线m、n和两个不同的平面、，下列命题中错误的命题是（    ）

A．若，，则

B．若，，，，则

C．若，，则

D．若，，则

【答案】ABC

【分析】根据直线与直线的位置关系可判断A；根据面面平行的判定定理可判断B；根据线面的位置关系判断C；根据面面平行的性质定理判断D.

【详解】对于A，若，，则可能平行、异面或相交，A错误；

对于B，若，，，，不一定为相交直线，

只有当为相交直线时，才可得到，故B错误；

对于C，当，时，可能是，推不出一定是，C错误；

对于D，若，，根据面面平行的性质可知，D正确，

故选：ABC

10．定义在上的函数满足，是偶函数，，则（    ）

A．是奇函数 B．

C．的图象关于直线对称 D．

【答案】ABD

【分析】利用函数的奇偶性、对称性、周期性求解即可.

【详解】对于选项，∵是偶函数，∴，

∴函数关于直线对称，∴，

∵，∴，∴是奇函数，则正确；

对于选项，∵，∴，∴,

∴的周期为，∴，则正确；

对于选项，若的图象关于直线对称，则，

但是，，即，这与假设条件矛盾，则选项错误；

对于选项，将代入，得，

将，代入，得，

同理可知，

又∵的周期为，∴正奇数项的周期为，

∴

，则正确.

故选：ABD.

11．已知抛物线的准线方程为，圆，直线与交于两点，与交于两点在第一象限），为坐标原点，则下列说法中正确的是（    ）

A． B．

C．若，则 D．为定值

【答案】BD

【分析】对于A，由抛物线的准线方程可求出的值进行判断，对于B，将直线方程与抛物线方程联立，消元后利用根与系数的关系，再求出，由于直线过圆心，则由圆的性质可得，从而可进行判断，对于C，利用弦长公式求出，而，然后由题意列方程可求出的值，对于D，由题意可得，再结合抛物线的性质化简计算即可.

【详解】对于A，因为抛物线的准线方程为，所以，得，所以A错误，

对于B，设，

由，得，

则，

所以

，

因为直线恒过圆心，所以，所以，

所以，所以B正确，

对于C，因为直线过抛物线的焦点，所以，

因为，，所以，解得，所以C错误，

对于D，因为直线过抛物线的焦点，

所以，

所以为定值，所以D正确，

故选：BD

12．已知数列满足为的前项和．则下列说法正确的是（    ）

A．取最大值时， B．当取最小值时，

C．当取最大值时， D．的最大值为

【答案】AD

【分析】由题意知，即可得到的取值范围，从而得到令，即可得到，从而得到，即可判断A、B，再利用基本不等式求出，即可判断C、D.

【详解】由题意知，则，因为，

所以，

令，所以，所以，所以，

即或，又，故．

当取最大值时，，此时，则，，

故，故A正确；

当取最小值时，，此时，则，，

故，故B不正确；

由，知，

即，当且仅当时取等号，

故当取最大值时，，

此时，故C不正确，D正确．

故选：AD

三、填空题

13．若，则二项式的展开式中，常数项是      ．

【答案】/

【分析】先由求出的值，再用二项式的展开式的通项可求解.

【详解】因为，所以，解得，

则二项式的展开式的通项公式为，

令，解得,

所以常数项是，

故答案为：

14．已知曲线：与曲线：恰有两个公共点，则实数的取值范围为          .

【答案】

【分析】根据与的位置关系分析可得.

【详解】  

如图：与轴焦点为，

当点在圆外，

则表示的两条射线与圆相切与相切时恰有两个公共点，

联立得，

由，

得，

因，所以，

故，

当点在圆上，

如图，此时与有3个或1个交点不符合题意，

当点在圆内，

如图，此时与有2个交点符合题意，

此时，，

得

综上的取值范围为：.

故答案为：.

15．若曲线与曲线有两条公切线，则的值为        ．

【答案】

【分析】利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，作出图象，数形结合求解即可．

【详解】令，，则，，

设，则曲线在处切线为，

设，则曲线在处切线为，

由题意，消去得，

由题意，方程有两个不同的实数根，

令，则，

当时，单调递增；

当时，单调递减；

当时，单调递增，

故当时，取极大值；当时，取极小值，

又当时，根据以上信息作出的大致图象，

由图可知当，即时，直线与的图象有两个交点，从而方程有两个不同的实数根，

所以，曲线与曲线有两条公切线时，的值为．

故答案为：．

16．已知点是双曲线的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线垂足为A，交另一条渐近线于点B．若，则双曲线C的方程为      ．

【答案】

【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式、二倍角的余弦公式、勾股定理列式计算作答.

【详解】双曲线的渐近线方程为：，

不妨令点A在直线上，，

如图，因为，则，

而，即有，

，，

由知，点在y轴同侧，于是，

，，

在中，，

由得：，

整理得：，化简得，

解得或（舍去），所以，，

所以双曲线方程为．

故答案为：.

四、解答题

17．已知数列的前项和为是与的等差中项；数列中.

(1)求数列与的通项公式；

(2)若，证明：；

(3)设，求.

【答案】(1)，；

(2)证明见解析；

(3).

【分析】（1）利用等差中项性质结合与关系可得通项公式，由累加法可得的通项公式；由（1）可得，后结合裂项相消法可证明结论；（3）由错位相减法可得答案.

【详解】（1）是与的等差中项，.

当时，；

当时，.

则数列是以为首项，为公比的等比数列，则；

当时，，满足上式，

综上，，；

（2）由（1），当时，.

则当时，不等式成立；当时，；

当时，

综上，；

（3）.

则，得

.

则

18．在中，为中点，．

(1)若，求的面积；

(2)若，求的长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）在中，先利用余弦定理求出角，再根据三角形的面积公式即可得解；

（2）在中，先利用正弦定理及二倍角的正弦公式求出及，再利用正弦定理求解即可.

【详解】（1）在中，，

由余弦定理可知，

因为，所以，

所以;

（2）在中，设,

则由正弦定理，

即，得，所以，

，

所以，

所以，

由正弦定理得：，即．

19．在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得．

(1)证明：平面．

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由等边三角形三线合一，得出，再由勾股定理逆定理得出，即可证明；

（2）方法一：建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量法计算即可；方法二：作，垂足为M，作，垂足为N，连接，首先由线面垂直得出，则二面角的平面角为，在中，求出即可．

【详解】（1）证明：连接OB，

因为为等腰直角三角形，，，

所以，

因为O为AC边的中点，

所以，

在等边三角形中，，

因为O为AC边的中点，

所以，则，

又，

所以，即，

因为，平面，平面，

所以平面．

（2）方法一：因为是等腰直角三角形，，为边中点，

所以，

由（1）得平面，则以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，

所以，，

设平面的法向量为，

由，得，令，得，

易知平面的一个法向量为，

设二面角的大小为θ，

则，

由图可知二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．

方法二：

作，垂足为M，作，垂足为N，连接，

因为平面，平面，

所以，

又因为，平面，

所以平面，

又平面，

所以，

又，，平面，

所以平面，

又平面，

所以，

又平面平面，

所以二面角的平面角为，

因为，所以，

所以，，

在中，，，

所以，

所以，

所以，即二面角的余弦值为．

20．甲、乙两人进行乒乓球比赛，规定比赛进行到有一人比对方多赢局或打满局时比赛结束.设甲、乙在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛相互独立，用表示比赛结束时的比赛局数.

(1)求双方打满四局且比赛结束，甲获胜的概率；

(2)求的分布列和数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）利用独立重复试验概率公式求解即可；

（2）先分析的可能取值，由此计算出对应的概率，可得的分布列，根据分布列可计算出数学期望.

【详解】（1）由已知事件双方打满四局且比赛结束，甲获胜等价于甲前两局胜一局，后两局连胜，

又甲在每局比赛中获胜的概率为，各局比赛相互独立，

设事件双方打满四局且比赛结束，甲获胜为，则

；

（2）的可能取值为，，.

，则甲或乙连赢两局，所以；

，则甲或乙在前局比赛中只赢了第一局或第二局，

所以；

，则在前局比赛中双方打平，

所以，

所以的分布列为

.

21．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，过右侧的点作，垂足为，且．

(1)求点的轨迹的方程；

(2)过点的动直线交轨迹于，设，证明：为定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据提意思，设，得到，结合，利用距离公式化简，即可求解曲线的方程；

（2）当直线的斜率存在，可设，联立方程组，设，求得，化简，代入求得；当直线的斜率不存在，此时，求得，得到，即可求解.

【详解】（1）由题意，直线与轴交于点，过右侧的点作，

可得，设，则，

因为，可得，

即，整理得.

（2）当直线的斜率存在，可设直线，

联立方程组，整理得，

设，

因为直线与曲线交于两点，则，

且，

因为，可得，

所以

；

当直线的斜率不存在，此时直线，

联立方程组，解得，不妨设，

此时，可得，

综上可得，为定值.

22．设函数．

(1)若函数在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；

(2)当时，设函数，若在[上存在，使成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意在上恒成立，进一步化为在上恒成立，利用基本不等式求右侧最值，即可得范围；

（2）由题意时，求最小值，利用导数并讨论参数a研究区间单调性确定最大值，即可求范围.

【详解】（1）因为函数在其定义域上为增函数，即在上恒成立，

所以在上恒成立，即在上恒成立，

又（仅当x＝1时取等号），故a的取值范围为；

（2）在上存在，，使成立，即当时，

又，所以当时，，

即函数在区间上单调递增，故，

由（1）知，

因为，又的判别式，

①当时，则恒成立，即在区间上单调递增，

故，故，即，得，

又，所以；

②当时，的两根为，，

此时，，故函数在区间上是单调递增．由①知，所以

综上，a的取值范围为．