2022-2023学年江苏省苏州实验中学高二下学期3月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省苏州实验中学高二下学期3月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省苏州实验中学高二下学期3月月考数学试题 一、单选题1．可表示为（ 　 ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据排列数的定义可得出答案．【详解】                               ，故选B.【点睛】本题考查排列数的定义，熟悉排列数公式是解本题的关键，考查理解能力，属于基础题．2．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．【详解】，则．故选：D3．函数的单调递减区间为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数的定义域，利用导数可求得函数的单调递减区间.【详解】函数的定义域为，则，由，可得，解得，因此，函数的单调递减区间为.故选：A.4．在的展开式中，含的项的系数是（    ）A．74 B．121 C． D．【答案】D【分析】根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数，【详解】因为在，所以含的项为：，所以含的项的系数是的系数是，，故选：D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，5．为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（    ）A．54种 B．240种 C．150种 D．60种【答案】C【分析】根据已知对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理即可求解.【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A，B，C三门德育校本课程，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，①三组人数为1、1、3，此时有种；②三组人数为2、2、1，此时有种.所以共有60+90=150种.故选：C6．若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（   ）A． B．C． D．【答案】C【分析】计算，计算，，，根据系数的大小关系得到，解得答案.【详解】，，，，，第6项的系数最大，，则.故选：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.7．已知函数在上不单调，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出导函数，由在上有解且不是等根可得．【详解】由题意，有两个不等实根，且在上有解．，，，∴，即．故选：A．【点睛】本题考查导数与单调性．对于可导函数，一般由确定增区间，由确定减区间．因此函数在某一区间不单调，则在此区间内方程有解，且在解的两侧的符号相反．8．已知函数与的图象如图所示，则（    ）A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数【答案】C【分析】结合函数图象求出成立的的范围即可.【详解】结合图象：时，，而，而，故在递减，故选：C.【点睛】本题考查了数形结合思想，考查函数的单调性问题，是一道基础题. 二、多选题9．为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（    ）  A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同【答案】AC【分析】利用图象可判断A选项；利用导数的几何意义可判断B选项；利用平均变化率的概念可判断C选项；利用平均变化率的概念可判断D选项.【详解】选项A，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项A正确；选项B，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等，说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项B错误；选项C，由平均变化率公式知，甲、乙两人在内，血管中药物浓度的平均变化率均为，即选项C正确；选项D，在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为和，显然不相同，即选项D不正确．故选：AC.10．对于二项式，以下判断正确的有（    ）A．存在，展开式中有常数项B．对任意，展开式中没有常数项C．对任意，展开式中没有x的一次项D．存在，展开式中有x的一次项【答案】AD【分析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案．【详解】设二项式展开式的通项公式为，则，不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确．故选：AD11．以下关于排列数与组合数的命题中，真命题有（    ） A．若且，则B．若且，则C．对任意且恒有D．对任意恒有【答案】BCD【分析】根据排列数和组合数公式判断各选项的对错.【详解】取，则，，，A错，若且，则，所以，B对，对任意且，，所以，C对，对任意所以，D对，故选：BCD.12．已知函数（，且），则（    ）A．当时，恒成立B．若有且仅有一个零点，则C．当时，有两个零点D．存在，使得有三个极值点【答案】AC【分析】对于A，将不等式变形，构造函数根据函数的单调性以及最值得出结论；对于B、C，都是在A的构造函数的基础之上，由其图象的性质得到的相关结论；对于D，构造函数，判断新函数的性质进一步推断原函数的性质.【详解】对于A，即，两边取对数，， 令，，单调递增；单调递减；的最大值为，，A正确；对于B，若有且仅有一个零点，则，两边取对数，有：，由A选项知，即时此时也有一个零点，B错误.对于C，，，两边取对数，有：，由A选项知：，，C正确；对于D，，令得：，两边取对数可得：，设 则，令得：，在上单调递减，在上单调递增；最多有两个零点，最多有两个极值点，D错误.故选：AC.【点睛】本题考查函数零点、方程的根与图象交点的等价，考查函数的单调性、极值与最值的应用，本题的难点在于对式子的变形以及构造函数，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，属于难题. 三、填空题13．化简     .【答案】/【分析】由已知结合组合数的计算公式进行化简即可求解．【详解】．故答案为：．14．若直线是曲线的一条切线，则实数的值为      .【答案】1【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义列出方程组，求解可得的值．【详解】设切点为，由，得，可得切线的斜率为，①又，②联立①②解得，．故答案为：1．15．展开式中的系数为       （用数字作答）．【答案】【分析】根据多项式乘积的性质即可求解．【详解】由于表示5个因式的乘积，故其中有2个因式取，2个因式取，剩余的一个因式取，可得含的项，故展开式中的系数为，故答案为：．16．两张相同的方格表，有一方格重合（如图），沿格线连接两点；则不同的最短连接线有         条.【答案】2450【分析】把方格表重合的地方标上点，从到的路线必定过中的一点，路线被分为两类：，，每类路线都他两步，利用组合知识求得每步的方法数后由两个原理可得结论．【详解】把方格表重合的地方标上点，如图，从到的路线必定过中的一点，从到有种，到到有种，因此从经过到有种路线，从到有种，到到有种，因此从经过到有种路线，所有路线条数为．故答案为：2450． 四、解答题17．已知的展开式中各项的系数之和为1024.（1）求各奇数项系数之和；（2）求的展开式中不含的各项系数之和．【答案】（1）528；（2）2862【分析】（1）令x=1，y=1可得展开式中各项的系数，由此解得n，再通过赋值得到所求．（2）直接令x=1，y=0代入可得展开式中不含的各项系数之和．【详解】（1）的展开式中各项的系数之和为1024．令x=1，y=1∴4n＝1024，解得n＝5．设,令x=1，y=1则1024=，①令x=1，y=-1则32=，②①+②：1056=2（,∴,∴各奇数项系数之和为528．（2）展开式的通项公式为：Tr+1（3x）5﹣r35﹣rx5﹣r，则的展开式中不含的各项系数之和为=2862【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了赋值法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．已知一个袋内有4只不同的红球，6只不同的白球．(1)若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？(2)在（1）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？【答案】(1)186(2)4320 【分析】（1）设出取到白球和红球的个数，根据两个未知数的和是5，列出方程，根据分数不少于7，列出不等式，根据这是两个整数，列举出结果．（2）总分为8分，则抽取的个数为红球3个，白球2个，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻，分两步，第一步先取球，第二步，再排，根据分步计数原理可得．【详解】（1）设x个红球y个白球，，因为，所以或或．∴符合题意的取法种数有种．（2）总分为8分，则抽取的个数为红球3个，白球2个，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻，第一步先取球，共有种，第二步，再排，先把两个白球全排列，再选2个红球捆绑在一起，和另外一个红球插空，共有，根据分步计数原理可得，种．19．已知函数．(1)若在上单调递增，求的取值范围；(2)若有两个不同的零点，求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题意，对函数进行求导，将在上单调递增，转化成在上恒成立，构造函数，对进行求导，利用导数得到的单调性和最值，进而可得的取值范围；（2）对函数进行求导，分别讨论当和这两种情况，结合导数的几何意义可得，构造函数，对进行求导，利用导数得到的单调性，进而可得的取值范围.【详解】（1）已知，函数定义域为，可得，若在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，不妨设，函数定义域，易得在定义域上单调递增，所以，则，故的取值范围为.（2）因为，当时，有，在上单调递增，此时无两个零点；当时，当时，，单调递减；当时，，单调递增，因为当时，；当时，，所以要使函数有两个不同的零点，此时需，即，不妨设，函数定义域为，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，且当时，，又，所以当时，，综上，的取值范围为．20．已知，函数，．(1)当时，论的单调性；(2)过原点分别作曲线和的切线和，求证：存在使得切线和的斜率互为倒数．【答案】(1)增区间为，减区间为(2)证明见解析 【分析】（1）当时，可得，再根据的正负可求得的单调区间；（2）依题意，可求得的斜率为，于是的斜率为，设的切点坐标为，由，求出直线的方程，可得出，整理可得，构造函数，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立.【详解】（1）当时，，定义域是，则，由，可得；由，可得.所以，函数的增区间为，减区间为.（2）因为，，所以，，，设过原点的切线方程是，切点为，则，则，且，则切点坐标为，因为点在直线上，则，因为，解得，所以，直线的斜率为，若存在使得切线和的斜率互为倒数，则直线的斜率为，设的切点坐标为，由，可得，因为直线过原点，且其斜率为，则直线的方程为，因为点在直线上，则，即，即，即，整理可得，设，其中，则，当时，，单调递增，而，所以，，当时，，单调递减，又因为，所以，存在，使得，所以，关于的方程有正数解．所以存在，使得切线和的斜率互为倒数．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.21．已知数列的通项公式为，等式，其中为实常数．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)1023(2)6143 【分析】（1）根据已知条件，结合赋值法，即可求解；（2）先对原等式两边求导，再结合赋值法，即可求解．【详解】（1），令，则，令，则①，令，则②，①+②可得，，故；（2），两边同时求导可得，，令，则③，令，则④，③④可得，，故，．22．已知函数（为常数）．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，设函数的两个极值点，恰满足关系式，求的最小值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，得到和，代入切线方程中即可求解；（2）得到函数的解析式，对进行求导，利用根的判别式以及韦达定理对进行化简，利用换元法，令，，可得，根据，求出的范围，构造函数，对进行求导，利用导数得到的单调性和最值，进而即可求解．【详解】（1）已知(为常数），函数定义域为，当时，函数，可得，此时，又，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）因为，函数定义域为，可得，此时的两根，即为方程的两根，因为，所以，由韦达定理得，，又，所以，令，，所以，因为，整理得，因为，则，等式两边同时除以，得，可得，因为，所以，，解得 或，则，不妨设，函数定义域为，可得，所以函数在定义域上单调递减，此时，故的最小值为．【点睛】利用导数求解在曲线上某点处的切线方程，关键点有两点，第一是切线的斜率，第二是切点坐标，切线的斜率可利用导数来求得，切点既在切线上，也在曲线上.利用导数研究函数的最值，首先要求得函数的定义域，然后利用导数研究函数的单调性，进而可求得函数的最值.