2022-2023学年山东省淄博市沂源县第一中学高二下学期5月月考数学试题含答案

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2022-2023学年山东省淄博市沂源县第一中学高二下学期5月月考数学试题 一、单选题1．已知随机变量，其正态曲线如图所示，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定的图形，利用正态分布的对称性求解作答.【详解】随机变量，由图知，而，所以.故选：D2．已知离散型随机变量X的分布列如下表：X0123Pa若离散型随机变量，则（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分布列的性质求出a，再根据随机变量之间的函数关系即可求解.【详解】由分布列的性质可知： 解得 ，由 ， 等价于 ，由表可知 ；故选：A.3．春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里患鼻炎的概率是，患感冒的概率是，鼻炎和感冒均未患的概率是，则此人在患鼻炎的条件下患感冒的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据概率加法公式求出同时患感冒和患鼻炎的概率，再由条件概率公式计算即可得解.【详解】设某人在春季里鼻炎发作为事件A，某人在春季里感冒发作为事件B，则，则,由概率加法公式知，可得则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率为：.故选：B4．数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动6次，则质点位于2的位置的概率是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】设向左移动次数为，分析出其服从二项分布，再计算即可.【详解】此实验满足6重伯努利实验，设向左移动次数为，则，根据从0移动到2，且移动6次，则需向右移动4次，向左移动2次，则，故选：C.5．某公司人事部安排小张、小胡等6名工作人员去4个不同的岗位工作，其中每个岗位至少一人，每个人只去一个岗位工作，且小张、小胡这2人必须在一起，则不同的安排方法有（    ）A．240种 B．320种 C．156种 D．180种【答案】A【分析】各组人数按、分类，再应用分步计数，捆绑法及排列组合数求不同的安排方法.【详解】将6人分组有两种情况：、形式，当各组人数按分组：小张、小胡必在3人组，从其余4人选1人与小张、小胡捆绑，有种，此4组人任意安排到4个岗位，有种方法，故共有种；当各组人数按分组：小张、小胡必在其中一个2人组，从其余4人选2人为另一2人组，有种此4组人任意安排到4个岗位，有种方法，故共有种；综上，不同的安排方法有种.故选：A6．如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有4种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，则不同的绿化方案有（    ）A．48种 B．72种 C．64种 D．256种【答案】A【分析】利用分步乘法原理求解即可【详解】从A开始摆放花卉，A有4种颜色花卉摆放方法，C有3种颜色花卉摆放方法，B有2种颜色花卉摆放方法；由D区与A，B花卉颜色不一样，与C区花卉颜色可以同色也可以不同色，则D有2种颜色花卉摆放方法.故共有种绿化方案.故选：A7．小王同学家3楼与4楼之间有8个台阶，已知小王一步可走一个或两个台阶，那么他从3楼到4楼不同的走法总数为（    ）A．28种 B．32种 C．34种 D．40种【答案】C【分析】分五种情况：8，7，6，5，4步走完楼梯，每一种情况的方法数都求出来再相加即可．【详解】①8步走完楼梯，走8步走一个台阶，有1种；②7步走完楼梯，走1步两个台阶6步一个台阶，有种；③6步走完楼梯，走2步两个台阶4步一个台阶，有种；④5步走完楼梯，走3步两个台阶2步一个台阶，有种；⑤4步走完楼梯，走4步两个台阶，有1种，共计34种．故选：C．8．2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（    ）①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F事件B；从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数，并确定向上或向右各走的步数，则最短路径的走法有，再利用古典概率及条件概率求法，求小明到F处和小华会合一起到老年公寓的概率、小明经过F且从F到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.【详解】由图知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，对于①，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，所以最短路径条数为条，错误；对于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为条，正确；对于③，小明到的最短路径走法有条，再从F处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有条，所以到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为，正确；对于④，由题意知：事件的走法有18条即，事件的概率，所以，错误.故说法正确的个数是2.故选：B. 二、多选题9．若件产品中有件次品和件正品．现从中随机抽取件产品，记取得的次品数为随机变量，则下列结论正确的是（    ）A．若是有放回的抽取，则B．若是无放回的抽取，则C．无论是有放回的抽取还是无放回的抽取，的数学期望相等D．无论是有放回的抽取还是无放回的抽取，的方差相等相等【答案】BC【分析】若是有放回的抽取，则，求出及、，若是无放回的抽取，则服从超几何分别，求出所对应的概率，从而得到、，即可判断.【详解】若是有放回的抽取，则，则，，，故A错误；若是无放回的抽取，则可能取，，，，其对应的概率为，，，，，．故B、C正确，D错误；故选：BC10．设随机变量X服从正态分布，且X落在区间内的概率和落在区间内的概率相等．若，则下列结论正确的有（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据正态分布对称性以及区间概率关系可得，再根据正态分布对称性求对应区间概率，最后对照选项作选择.【详解】因为正态分布关于对称，且X落在区间内的概率和落在区间内的概率相等，则，故A正确；可得正态分布关于对称，则，又因为，则，，故C、D正确；但无法确定的大小，故B错误；故选：ACD.11．对任意实数，有.则下列结论成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】求得的值判断选项A；求得的值判断选项B；求得的值判断选项C；求得的值判断选项D.【详解】由，可得，当时，，则，A选项错误；由二项式定理可得，，B选项错误；当时，，即，C选项正确；当时，，即，D选项正确.故选：CD12．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ）A．2次传球后球在丙手上的概率是B．3次传球后球在乙手上的概率是C．3次传球后球在甲手上的概率是D．n次传球后球在甲手上的概率是【答案】ACD【分析】列举出经2次、3次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算作答可判断ABC，n次传球后球在甲手上的事件即为，则有，利用全概率公式可得，再构造等比数列求解即可判断D.【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能，2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙， 1个结果，所以概率是，故A正确；第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为:甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能，3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，所以概率为，故B错误；3次传球后球在甲手上的事件为：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2个结果，所以概率为，故C正确；n次传球后球在甲手上的事件记为，则有，令，则于是得，故，则，而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，则有，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以即，故D正确.故选：ACD 三、填空题13．已知，的展开式中存在常数项，则的最小值为        ．【答案】4【分析】根据二项展开式的公式，求得的指数为0时满足的关系式，再结合整数的性质分析即可【详解】易得的通项，又展开式中存在常数项，则有解，即，因为，故，又，故正整数必须是的整数倍，故的最小值.故答案为：4.14．有个身高均不相等的学生排成一排合影，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边的身高都递减，则不同的排法有    种.（用数字作答）【答案】【分析】根据排队问题中的顺序固定问题只选不排，以及分步计数原理计算求解即可．【详解】最高的学生站在中间，有种排法，再从其余四个同学中任意选取两个，站在最高同学的左边，由于身高从中间到左边递减，所以共有种不同排法，最后两名同学站在最高同学的右边，按身高从中间到右边递减，共有种排法，则个身高均不相等的学生排成一排合影，不同的排法有种，故答案为：15．2023年国家公务员考试笔试于1月7-8日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为        ．【答案】【分析】根据正态分布的概率公式和二项分布的概率公式即可求解.【详解】因考生成绩服从正态分布，所以，故任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为．故答案为：.16．冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项目结合在一起进行的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和20发子弹，每滑行4千米射击1次，共射击4次，每次5发子弹，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总用时最少者获胜.已知某男选手在一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中相互独立，记事件A为其在前两次射击中没有被罚时，事件B为其在第4次射击中被罚时2分钟，那么           .【答案】【分析】事件B为前3次中有一次中1发未中，第4次射击中有2发未中，事件AB是第3次有1发未中，第4次有2发未中，然后利用利用条件概率求解.【详解】解：由题意得，，故答案为： 四、解答题17．某企业为检查一条流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的件产品作为样本测出它们的长度（单位：），长度的分组区间为、、、，．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)在上述抽取的件产品中任取件，设为长度超过的产品数量，求的分布列和数学期望．(2)从该流水线上任取件产品，设为长度超过的产品数量，求的数学期望和方差．【答案】(1)分布列见解析，(2)， 【分析】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值；（2）分析可知，利用二项分布的期望和方差公式可得出、的值.【详解】（1）解：由题意可知，上述抽取的件产品中，长度超过的产品数量为件，所以，随机变量的可能取值有、、，则，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：所以，.（2）解：由题意可知，，，.18．为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》《微积分先修课程》《数学探究》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的.(1)求三位同学选择的课程互不相同的选课种数；(2)求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数；(3)若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数.【答案】(1)24(2)48(3)10 【分析】（1）问题等价于从4个元素中选3个元素的全排列，据此可得答案；（2）选择情况分为两步，先让甲、乙同学选，，随后让丙选择，据此可得答案；（3）选择情况可分为两类，第一类3人都选择《数学史》；第二类，3人中2人选《数学史》，1人选其他课程，据此可得答案.【详解】（1）由题可得，三位同学选择的课程互不相同的选课种数为；（2）选择情况分为两步，让甲、乙同学先选，有种可能，随后让丙选择，有4种可能性由分步计数原理可知，不同的选课种数共有48种；（3）选择情况可分为两类，第一类3人都选《数学史》，有1种方法；第二类，3人中2人选《数学史》，1人选其他课程，有种方法,由分类计数原理可知，不同的选课种数共有10种.19．在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128；这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.已知（n∈N*），___________(1)求的值：(2)求的值.【答案】(1)-1(2)16 【分析】(1)根据选①，②，③解得都有，所以有，令，得，再令，得，于是可得；(2)由(1)可得，所以有，两边分别求导得，再令即可得答案.【详解】（1）解：若选①：因为只有第5项的二项式系数最大，所以展开式中共有9项，即，得，若选②：因为第4项与第6项的二项式系数相等，所以，若选③：因为奇数项的二项式系数的和为128，所以，解得.因为，令，则有，即有，令，得，所以；综上所述：；（2）由(1)可知：无论选①，②，③都有，，两边求导得，令，则有，所以.20．有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有大小、形状完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球；乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球．假设试验选到甲袋或乙袋的概率都是．(1)求从袋子中摸出红球的概率；(2)求在摸出白球的条件下，该球来自甲袋的概率．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据全概率公式求解；（2）利用条件概率公式计算可得结果.【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球"为事件，∵，∴，所以从袋子中摸出红球的概率为．（2）因为是对立事件，，又，所以，所以在摸出白球的条件下，该球来自甲袋的概率为.21．某校在体育节期间进行趣味投篮比赛，设置了A，B两种投篮方案．方案A：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中不得分；方案B：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中不得分．甲、乙两位同学参加比赛，选择方案A投中的概率都为，选择方案B投中的概率都为，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响．(1)若甲同学选择方案A投篮，乙同学选择方案B投篮，记他们的得分之和为X，，求X的分布列；(2)若甲、乙两位同学都选择方案A或都选择方案B投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？【答案】(1)分布列见解析；(2)答案见解析. 【分析】（1）求出及的可能值，再求出各个值的概率，列出分布列；（2）求出都选择方案A，都选择方案B投篮得分之和的均值，再比较大小即可作答.【详解】（1）依题意，甲投中的概率为，乙投中的概率为，于是得，解得.的所有可能值为0，2，3，5，，，，，所以的分布列为：0235（2）设甲、乙都选择方案A投篮，投中次数为，都选择方案B投篮，投中次数为，则两人都选择方案A投篮得分和的均值为，都选择方案B投篮得分和的均值为，因为，，则，，若，即，解得，若，即，解得，若，即，解得，所以，当时，甲、乙两位同学都选择方案A投篮，得分之和的均值较大；当时，甲、乙两位同学都选择方案A或都选择方案B投篮，得分之和的均值相等；当时，甲、乙两位同学都选择方案B投篮，得分之和的均值较大.22．已知甲箱、乙箱均有6件产品，其中甲箱中有4件正品，2件次品；乙箱中有3件正品，3件次品．(1)现从甲箱中随机抽取两件产品放入乙箱，再从乙箱中随机抽取一件产品，求从乙箱中抽取的这件产品恰好是次品的概率；(2)现需要通过检测将甲箱中的次品找出来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到能将次品全部找出时检测结束，已知每检测一件产品需要费用15元，设表示能找出甲箱中的所有次品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列与数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析， 【分析】（1）由全概率公式计算从乙箱中抽取的这件产品恰好是次品的概率；（2）计算的所有可能取值的概率，进而列出分布列，计算期望.【详解】（1）设“从甲箱中抽取的两件产品均为正品”，“从甲箱中抽取的两件产品为一件正品，一件次品”，“从甲箱中抽取的两件产品均为次品”，“从乙箱中抽取的一件产品为次品”，由全概率公式，得．（2）的所有可能取值为30，45，60，75．则；；；．所以的分布列为30456075的数学期望（元）．