2022-2023学年四川省成都东部新区养马高级中学高二下学期5月月考数学（理）试题含答案

2022-2023学年四川省成都东部新区养马高级中学高二下学期5月月考数学（理）试题

一、单选题

1．设集合, ,则(   )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由不等式求出的范围，得出集合，再求出．

【详解】由有，，

所以，故，

故选：B.

2．复数 (为虚数单位)在复平面内表示的点的坐标为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】分析：求出复数的代数形式，再写出在复平面内表示的点的坐标．

详解：复数，所以复数在复平面内表示的点的坐标为，选A.

点睛：本题主要考查了复数的四则运算，以及复数在复平面内所表示的点的坐标，属于容易题．

3．若实数满足约束条件，则的最大值为

A．-4 B．0 C．4 D．8

【答案】D

【详解】分析：由已知线性约束条件，作出可行域，利用目标函数的几何意义，采用数形结合求出目标函数的最大值．

详解：作出不等式组所对应的平面区域（阴影部分），令，则，表示经过原点的直线，由有，当此直线的纵截距有最大值时，有最大值，由图知，当直线经过A点时，纵截距有最大值，由有，即，此时，选D.

点睛：本题主要考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题方法，属于中档题．

4．已知等差数列的前项和为，且，，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【分析】由已知条件可得，解方程组求出，从而可求出

【详解】解：设等差数列的公差为，

因为，，

所以，即，解得，

所以，

故选：A

【点睛】此题考查等差数列的基本量计算，考查计算能力，属于基础题

5．已知曲线(为参数).若直线与曲线相交于不同的两点，则的值为

A． B． C．1 D．

【答案】C

【详解】分析：消参求出曲线C的普通方程：，再求出圆心到直线的距离，则弦长．

详解：根据 ，求出曲线C的普通方程为，

圆心到直线的距离，所以弦长 ，选C.

点睛：本题主要考查将参数方程化为普通方程，直线与圆相交时，弦长的计算 ，属于中档题．

6．平面内的一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分，….则平面内五条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为

A．15 B．16 C．17 D．18

【答案】B

【详解】分析：由题意知，根据归纳推理，每增加一条直线增加平面区域的个数，总结规律，从而求出答案．

详解：记条直线两两相交且任意不共点的直线将平面分成的部分数为，由题意有

，，所以根据归纳推理有，，选B.

点睛：本题主要考查了归纳推理的应用问题，属于中档题．注意培养由特殊到一般再到特殊的探究意识．

7．“”是“函数的图象关于直线对称”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】（1）先证明充分条件：只需 带入中，验证函数值时-1，即可说明函数的图象关于直线对称；

（2）再证明必要条件：函数对称轴若是，则，故说明不一定是，所以满足必要条件

【详解】当时， ，

若时 ，故： 是对称轴，排除：B,D

函数对称轴若是，则，故排除：C，答案选A

【点睛】本题主要判断充分必要条件．

8．某汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程 (万公里)与维修保养费用 (万元)的五组数据，并根据这五组数据求得与的线性回归方程为.由于工作人员疏忽，行驶8万公里的数据被污损了，如下表所示.

则被污损的数据为A．3.20 B．3.6 C．3.76 D．3.84

【答案】B

【详解】分析：分别求出行驶里程和维修保养费用的平均值，线性回归方程经过样本的中心点，这样求出被污损的数据．

详解：设被污损的数据为，由已知有，而线性回归方程经过点，代入有，解得，选B.

点睛：本题主要考查了线性回归方程恒过样本的中心点，属于容易题．回归直线方程一定经过样本的中心点，根据此性质可以解决有关的计算问题．

9．若函数在内有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求导后，根据极值点的定义可确定在内有且仅有一个变号零点，根据二次函数零点的分布可构造不等式组求得结果.

【详解】；

在内有且仅有一个极值点，在内有且仅有一个变号零点；

或，解得：或，

综上所述：实数的取值范围为.

故选：C.

10．某三棱锥的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为直角三角形.则该三棱锥四个面的面积中，最大值为（    ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】C

【分析】由已知三视图，作出三棱锥的直观图，求出这四个面每个面的面积，找出最大值．

【详解】由三视图，作出三棱锥，

其中平面，为等腰三角形，且为中点，则，，

则，，，

在中， ，则，

又，， ，

又,,

所以三角形的面积最大，为3，

故选：C.

11．某同学采用计算机随机模拟的方法来估计图(1)所示的阴影部分的面积，并设计了程序框图如图（2）所示，在该程序框图中，表示内产生的随机数，则图(2)中①和②处依次填写的内容是

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】本题求阴影部分面积时，根据自变量的范围，确定在程序框图中初值，从程序框图中可以看出，一共随机模拟了1000次，落入阴影部分的次数为，根据矩形的面积，求出的表达式．

【详解】从图（1）可以看出，求曲线与轴围成的面积，

而表示内的随机数，所以在程序框图中，赋初值，

由题意，随机模拟总次数为1000，落入阴影部分次数为，

设阴影部分面积为，矩形面积为，所以，

故选：D.

12．设函数.若曲线与函数的图象有4个不同的公共点,则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】分析：由有，直线与函数的图象有4个不同的交点．数形结合求出的范围．

详解：由有，显然，在同一坐标系中分别作出直线和函数的图象，当直线与相切时，求出，当直线与相切时，求得，所以，又当直线经过点时，，此时与有两个交点，一共还是4个交点，符合． ，综上，，选A.

点睛：本题主要考查函数图象的画法，求两个函数图象的交点的个数，考查了数形结合思想、等价转换思想，属于中档题．画出这两个函数的图象是解题的关键．

二、填空题

13．已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为，则此抛物线的标准方程为           ．

【答案】.

【分析】根据抛物线的焦点坐标，判断出抛物线的形式，设抛物线方程为，求出的值，得出标准方程．

【详解】由抛物线的焦点坐标为，设抛物线方程为，

由，所以抛物线方程为，

故答案为：

14．若，则实数的值为          ．

【答案】

【分析】由微积分基本定理，找出的原函数，再求出的值．

【详解】因为，，

所以，

所以，即．

故答案为:.

15．已知，，若直线与直线互相垂直，则的最大值是          ．

【答案】.

【详解】分析：根据两直线垂直的条件，求出满足的关系式，再利用基本不等式求出的最大值．

详解：因为直线与直线互相垂直，所以，，又，所以，当且仅当，即时，等号成立．所以的最大值为．

点睛：本题主要考查了两直线垂直的条件以及基本不等式，属于中档题．本题使用基本不等式时，注意凑项，方便使用基本不等式．

16．如图，在中，已知其内切圆与边相切于点，延长到，使，连接,设以为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则当取最大值时，的值为  ．

【答案】.

【分析】设内切圆与，分别切于点，设，，利用椭圆、双曲线的定义分别求出的表达式，求出的最大值，并求出的值．

【详解】设内切圆与，分别切于点，

所以，，，，则，

设，，

根据圆的切线性质，可得，

在中，，

设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，

由椭圆双曲线定义，

，，，，

，

，

令，则，

当时，方程有解，满足条件，

当时，则应满足，解得且，

综上，，

则可得当时，取得最大值为，此时取最大值，

.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题主要考查三角形内切圆的相关内容，椭圆、双曲线的定义等，利用椭圆、双曲线的定义求出的表达式是解题关键，求最大值时利用了判别式法求值域.

三、解答题

17．已知函数，其导函数为，且.

(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程

(Ⅱ)求函数在上的最大值和最小值.

【答案】(1) .

(2) ，.

【详解】分析：（1）先由求出的值，再求出函数在点的切线方程；（2）先求出函数的极值，列表格，根据单调性求出最大值和最小值．

详解： (Ⅰ)

∵，∴.解得

∴，

∴，.

∴曲线在点处的切线方程为

 (Ⅱ)出(Ⅰ)，当时，解得或

当变化时，，的变化情况如下表：

∴的极小值为

又，

∴，.

点睛：本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数最值的步骤等，属于中档题．求出的值是解题的关键．

18．2018年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播，在全民中掀起了诵读诗词的热潮.某大学社团调查了该校文学院300名学生每天诵读诗词的时间(所有学生诵读时间都在两小时内)，并按时间(单位：分钟)将学生分成六个组：，，，，，，经统计得到了如图所

示的频率分布直方图

(Ⅰ)求频率分布直方图中的值，并估计该校文学院的学生每天诵读诗词的时间的平均数；

(Ⅱ)若两个同学诵读诗词的时间满足，则这两个同学组成一个“Team”，已知从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机选取2人，求选取的两人能组成一个“Team”的概率.

【答案】(1) ；64(分钟).

(2) .

【详解】分析：（1）利用所有小矩形的面积之和为1，求出的值；（2）利用列举法求出选出的两人组成一个“team”的概率．

详解： (Ⅰ)∵各组数据的频率之和为1，即所有小矩形面积和为1,

∵.解得

∴诵读诗词的时间的平均数为

(分钟)

(Ⅱ)由频率分布直方图，知，，内学生人数的频率之比为

故5人中，，内学生人数分别为1，3，1.

设，，内的5人依次为则抽取2人的所有基本事件有

共10种情况.

符合两同学能组成一个“ Team”的情况有共4种,

故选取的两人能组成一个“Team”的概率为.

点睛：本题主要考查了频率分布直方图，列举法求概率等，属于中档题．采用列举法求概率时，要做到不重不漏．

19．如图，在多面体中，已知四边形为平行四边形，平面平面，为的中点，，，，.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过面面垂直的性质定理得出线面垂直即可；

（2）以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量，由向量夹角公式，求出二面角的平面角的余弦值即可．

【详解】（1）在中，∵，，，∴，

得，又，，平面，，

∴平面，

∵平面，∴，

∵平面平面，且平面平面，平面，

∴平面；

（2）∵平面，平面，∴，

又，，

故以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

∴，，，，，

∴，，，

设平面的法向量为，

由，得，取，∴，

设平面的法向量为，

由，得，取，∴，

∴，

∵二面角为锐二面角，故其余弦值为.

20．已知椭圆的右顶点为，上顶点为，右焦点为，连接并延长与椭圆相交于点，且

(1)求椭圆的方程；

(2)设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，直线分别与直线相交于点，点.若的面积是的面积的2倍，求直线的方程.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）根据椭圆的上顶点坐标，求出的值，由已知条件求出点坐标的表达式，代入椭圆方程中，求出的值，从而求出椭圆的方程；

（2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，得，求出的表达式，再由直线的方程为 ，直线的方程为，求出点的纵坐标的表达式，进而求出面积的表达式，根据两个三角形面积之间的关系，求出的值，从而得到直线的方程．

【详解】（1）∵椭圆的上顶点为，∴

设.∵，∴，∴点，

将点的坐标代入中，得，∴，

又由，即，得，

∴椭圆的方程为.

（2）由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，

联立，消去，得，，

设，，则，.

∴，

又，易得直线的方程为，直线的方程为，

令，得，同理；

∴

，

故，

∴，即，

∴直线的方程为或

【点睛】本题考查了椭圆的标准方程和性质，直线与椭圆相交时弦长问题，一元二次方程根与系数的关系，三角形的面积计算公式等．

21．设函数，.

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，函数恰有两个零点，证明：

【答案】(1)答案见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）对函数求导，令， ，分类讨论与两种情况，进而得到的单调性；

（2）由已知条件求出 ，则将转化为 ，再令，通过证明，从而得出结论．

【详解】（1）由得，

∵，∴由，得，即，

当时，令，得；令，得，

故在上单调递减，在上单调递增；

当时，令，得；令，得，

故在上单调递减，在上单调递增；

综上：当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）∵当时，函数恰有两个零点，

则，即，

两式相减，得，即

∵，∴，，∴，

∴要证，即证，即证，即证，

令，则即证，

设，即证在上恒成立.

则

∴在上单调递增，

∵在是连续函数，∴当时，，

∴当时，有.

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.

(1)写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

(2)设点，若直线与曲线相交于不同的两点，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将直线的参数方程消去参数，得到普通方程，根据，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，求出的值，再根据直线参数方程的几何意义，求出的值.

【详解】（1）由直线的参数方程消去参数得，化简得直线的普通方程为，

又将曲线的极坐标方程化为，则，

∴曲线的直角坐标方程为.

（2）将直线的参数方程代入中，得

化简得：，此时.

此方程的两根为直线与曲线的交点对应的参数，，

由根与系数的关系得，，

∴由直线参数的几何意义知

.