2022-2023学年四川省宜宾市叙州区第一中学校高二下学期4月月考数学（理）试题含答案

这是一份2022-2023学年四川省宜宾市叙州区第一中学校高二下学期4月月考数学（理）试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省宜宾市叙州区第一中学校高二下学期4月月考数学（理）试题 一、单选题1．为虚数单位，复数的虚部是A． B． C． D．【答案】B【解析】根据复数的除法运算求出复数的代数形式后可得答案．【详解】由题意得，，所以复数的虚部是．故选B．【点睛】本题考查复数的运算和虚部的概念，解题时容易认为复数的虚部为，要强化对复数概念的理解，属于基础题．2．已知，的值是（    ）A．3 B．2 C． D．【答案】B【分析】根据导数的定义与极限的运算可得．【详解】．故选：B．3．已知双曲线（a＞0）的离心率是 则a=A． B．4 C．2 D．【答案】D【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a的方程求解.【详解】 ∵双曲线的离心率 ， ，∴ ，解得 ，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．展开式中的第四项是A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：展开式中的第四项是.故选B．【解析】二项式定理．5．将曲线按曲线伸缩变换后得到的曲线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由得，然后代入即可得出答案.【详解】由得，代入得所以所以将曲线按伸缩变换后得到的曲线方程为故选：A【点睛】本题考查的是伸缩变换，较简单.6．为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到的实验数据如下表，并由此计算得到回归直线方程，后来工作人员不慎将下表中的实验数据丢失.天数/天34567繁殖个数/千个344.56则上表中丢失的实验数据的值为（    ）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【答案】D【分析】根据给定数据求出样本中心点，再借助回归直线必过样本中心点即可计算作答.【详解】由表中数据可得，，将点代入中，得，解得，所以丢失的实验数据的值为2.5.故选：D7．已知正四棱锥的所有棱长都相等，是的中点，则，所成角的正弦值为（      ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义可得分别取SC，DC，AD边的中点F，G，H易得EF∥HA，EF=HA，故四边形AEFH为平行四边形，所以AE∥DF，又根据中点的性质可得FG∥SD从而将异面直线转化为了相交直线，即∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角，然后再利用余弦定理，求∠HFG的余弦值即可．【详解】由于正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都相等，故不妨设棱长为a．取SC的中点F，连接EF，则EF∥BC，EF=BC，取AD的中点H连接HF则可得EF∥HA，EF=HA，故四边形AEFH为平行四边形，所以AE∥HF．再取DC中点G，连接HG，则FG∥SD，所以∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角．∵HF=AE=a，FG=a，HG==A，∴cos∠HFG=＞0．即AE、SD所成的角的正弦值为．故选C．【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角．解题的关键是要紧紧抓住利用平行的传递性（通常利用平行四边形的性质或中位线定理）将异面直线转化为相交直线然后在三角形中利用余弦定理求解（要注意的是利用于余弦值的正负判断是这个角还是这个角的补角）．8．某学校有四个优秀的同学甲、乙、丙、丁获得了保送到哈尔滨工业大学、东北林业大学和哈尔滨医科大学3所大学的机会，若每所大学至少保送1人，且甲同学要求不去哈尔滨医科大学，则不同的保送方案共有（    ）A．24种 B．36种 C．48种 D．64种【答案】A【分析】先考虑甲去的学校有2种情况，对甲去的学校分类讨论得解.【详解】每所大学至少保送1人,且甲同学要求不去哈尔滨医科大学，先考虑甲去的学校有2种情况，对甲去的学校分类讨论，若该校只有1人保送，则另外3人去两所学校共有；若甲去的学校有2人保送，则另外3人去3所学校共有. 则不同的保送方案共有.故选:A.9．已知在区间上不单调，实数的取值范围是（  ）A． B． C． D．【答案】D【分析】将题意转换为导函数在区间上有零点求解即可【详解】因为函数在区间上不单调，所以在上有零点，故，令有，故，所以故选：D.10．已知函数导函数为，且满足关系式，则的值等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】是当 时的值，可记为 ，再对求导，即可得到关于的方程，求出，也就是的值.【详解】设，那么，，则，则有，即 ，所以.故选：D11．如图，在单位正方体中，点P在线段上运动，给出以下四个命题：异面直线与间的距离为定值；三棱锥的体积为定值；异面直线与直线所成的角为定值；二面角的大小为定值．其中真命题有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【详解】对于①，异面直线与间的距离即为两平行平面和平面间的距离，即为正方体的棱长，为定值．故①正确．对于②，由于，而为定值，又P∈AD1，AD1∥平面BDC1，所以点P到该平面的距离即为正方体的棱长，所以三棱锥的体积为定值．故②正确．对于③，由题意得在正方体中，B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，故这两条异面直线所成的角为．故③正确；对于④，因为二面角P−BC1−D的大小，即为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角的大小，而这两个平面位置固定不变，故二面角的大小为定值．故④正确．综上①②③④正确．选D．12．已知函数，如果关于的方程()有四个不等的实数根，则的取值范围（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】构造新的函数，求出导数，根据，得出函数的单调区间，画出草图，通过翻折画出函数图像，根据图像将原方程实数根转化为有两个不相等实数根､，且､，结合函数根的分布求解.【详解】解：构造新的函数，的定义域为，，令得，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，∴在处取得极小值也是最小值，又，，当时，当时恒成立，则做的图像如图，又，则当时，的图像为的图像向上翻折所得到，则的图像如图，令，则原方程化为，设由图象知当时与有个交点，当或时与有个交点，∴又当时，∴有四个不等的实数根等价于：有两个不相等实数根､，且､，则，解得.故选：A.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、填空题13．物体做直线运动，其运动规律是，为时间，单位是s；为路程，单位是m，则它在时的瞬时速度为    m/s．【答案】//【分析】对求导，将代入计算即可【详解】由，则所以该物体在时的瞬时速度为：m/s故答案为：14．已知原命题的逆命题是：“若，则”，试判断原命题的否命题的真假        .（填“真”或“假”）【答案】假【解析】原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，它们的真假性相同，即只需判断原命题逆命题的真假性就可得出结论.【详解】原命题的逆命题是：“若，则”与原命题的否命题互为逆否命题，它们的真假性相同，所以，只需要判断原命题的逆命题的真假即可，若，则可能，，此时，即原命题的逆命题是假命题，所以，原命题的否命题是假命题.故答案为：假.【点睛】本题考查命题的真假关系，属于基础题.15．已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩（单位：分）服从正态分布，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间内的概率为          .【答案】【分析】根据求解即可.【详解】.故答案为：16．若函数在区间上有两个极值点，则实数a的取值范围是      ．【答案】【分析】求得，根据题意转化为在上有两个不等的实数根，转化为和的图象有两个交点，求得，求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，因为函数在区间上有两个极值点，即在上有两个不等的实数根，即在上有两个不等的实数根，即函数和的图象有两个交点，又由，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，且当时，，当时，，所以，解得，即实数的取值范围是.故答案为：. 三、解答题17．已知函数(1)当时，求不等式的解集；(2)若函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【详解】（1）当时，，由得不等式的解集为（2）由二次函数，知函数在处取得最大值9，因为，在处取得最小值，所以要使二次函数与函数的图恒有公共点，只需，即．18．如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）连接，与交于点，可证得，由线面平行判定定理可证得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）连接，与交于点，连接，四边形为菱形，为中点，又为中点，，平面，平面，平面.（2）四边形为菱形，；，平面，平面，则以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，，设平面的法向量，，令，解得：，，；平面轴，平面的一个法向量，，由图形可知：二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.19．已知是函数的一个极值点．(1)求函数的单调区间；(2)若函数有且仅有1个零点，求的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为；(2) 【分析】（1）由题意，解得，再通过和解出函数的单调递增区间和单调递减区间.（2）根据函数单调性，算出函数极值，通过函数图像判断直线与图像有1个交点时的取值范围．【详解】（1）函数的定义域为，由是函数的一个极值点，则，即，解得；的导数为，令，解得，或，；令，解得，．则的单调递增区间为，，单调递减区间为；（2）由于在和内单调递增，在内单调递减，则在处取得极大值，且为，在处取得极小值，且为由于直线与图像有1个交点，或．故的取值范围是．20．某理科考生参加自主招生面试，从道题中（道甲组题和道乙组题）不放回地依次任取道作答.（1）求该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率；（2）规定理科考生需作答道甲组题和道乙组题，该考生答对甲组题的概率均为，答对乙组题的概率均为，若每题答对得分，否则得零分.现该生已抽到道题（道甲组题和道乙组题），求其所得总分的分布列与数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【分析】（1）利用条件概率公式，即可求得该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率；（2）先明确的可能取值，求出相应的概率值，得到的分布列，进而得到数学期望.【详解】（1）记“该考生在第一次抽到甲组题”为事件，“该考生第二次和第三次均抽到乙组题”为事件，则,.所以该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率为.（2）的可能取值为：，则，，，的分布列为X0102030P则的数学期望为.21．已知椭圆的长轴长与短轴长之比为2,、分别为其左、右焦点．请从下列两个条件中选择一个作为已知条件,完成下面的问题:①过点且斜率为1的直线与椭圆E相切;②过且垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限交于点P,且的面积为．(只能从①②中选择一个作为已知)(1)求椭圆E的方程;(2)过点的直线l与椭圆E交于A,B两点,与直线交于H点,若,．证明:为定值．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】(1)选①:直线与椭圆联立,利用判别式为0求解;选②:利用通径公式即可(2)用直线参数方程的几何意义求解【详解】（1）选①:由题知,过点且斜率为1的直线方程为联立,得由,得所以椭圆的方程为选②:由题知,所以由,得所以椭圆的方程为（2）证明:设直线的参数方程为(为参数)设A,B,H对应的参数分别为,显然将代入椭圆,得即.所以将代入直线,得由,得,所以由,得,所以所以所以为定值【点睛】关键点点睛：直线的参数方程作为一种工具，要充分发挥它的作用，参数的几何意义并不局限于加绝对值表示距离，还要注意方向性.22．已知函数．(1)若函数在处取得极值，求实数的值，并求函数的极值；(2)①若当时，恒成立，求实数的取值范围；②证明：当时，．【答案】(1)；极大值为，极小值为(2)①；②证明见解析 【分析】（1）求导后，利用可求得的值，进而得到，由导函数正负可确定单调性，由极值定义可求得结果；（2）①当和时，由导数可知在上单调递增，知，满足题意；当时，可知在上单调递减，可知，不合题意；由此可得的取值范围；②由①可得，令，可得，采用裂项相消法可取得不等式右侧的前项和，由此可得结论.【详解】（1），又在处取得极值，，解得：，，则，当时，；当时，；在，上单调递增；在上单调递减，的极大值为；极小值为；综上所述：；极大值为，极小值为.（2）①，令，则；（i）.当，即时，恒成立，，则在上单调递增，又，恒成立，满足题意；（ii）.当，即或时，令，解得：，；当时，，在上恒成立，则在上单调递增，又，恒成立，满足题意；当时，，又，，；当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，则当时，，不合题意；综上所述：实数的取值范围为.②由①知：当时，在上恒成立，即；令，则，；，，即当时，.