2022-2023学年山东省菏泽市鄄城县鄄城县第一中学高二下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年山东省菏泽市鄄城县鄄城县第一中学高二下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．已知函数，则（     ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】C

【分析】根据导数的定义，求得原式为，求出代入求解即可.

【详解】，

又，

∴．

故选：C.

2．若的展开式中的常数项为，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】由二项式定理的通项公式求的展开式的常数项，由条件列方程求.

【详解】二项式的展开式的第项为，

令可得，

所以二项式的展开式的第项为常数项，常数项为，

所以，

所以，

故选：C.

3．因为疫情防控的需要，某校高二年级4名男教师和3名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务．根据岗位需求应派3人巡视商户，且至少一名男教师；另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温，则这7名教师不同的安排方法有（    ）种．

A．34 B．816 C．216 D．210

【答案】B

【分析】先采用间接法求解巡视商户的3人中至少一名男教师的安排方法种数，然后再求解另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法种数，综合即可得出结果．

【详解】从7人中任选3人，不同的选法有种，而不选男教师的选法有种，

则巡视商户的3人中至少一名男教师安排方法有种，

另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法有种．

则这7名教师不同的安排方法有种．

故选：B．

4．的展开式中的系数为（    ）

A．85 B．5 C．-5 D．-85

【答案】A

【分析】求出的展开式的通项，再令的指数等于和，即可得解.

【详解】的展开式的通项为，

则，，

从而的展开式中的系数为．

故选：A．

5．某学校有6个数学兴趣小组，每个小组都配备1位指导老师，现根据工作需要，学校准备将其中4位指导老师由原来的小组均相应的调整到其他兴趣小组，其余的2位指导老师仍在原来的兴趣小组（不作调整），如果调整后每个兴趣小组仍配备1位指导老师，则不同的调整方案为（    ）

A．135种 B．360种 C．90种 D．270种

【答案】A

【分析】依次分析不做调整的两个小组和作了调整的4个小组的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．

【详解】根据题意，6个数学兴趣小组有位指导老师仍在原来的兴趣小组，则不做调整的两个小组有种情况，

其余的4个小组的指导老师由原来的小组均相应地调整到其他数学兴趣小组，

假设4个小组为1、2、3、4，对应的4位指导老师依次为、、、，

不能在第1小组，有3种情况，假设分到第2小组，则有3种情况，剩下的两人有1种情况，

则其余的4个小组有种调整方案，

故有种调整方案，

故选：A．

6．函数的图象大致为（    ）

A．   B．   C．   D．  

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性，结合导数的性质判断其单调性进行判断即可.

【详解】函数的定义域为，关于原点对称，且，

所以函数为奇函数，排除A，B；

当时，函数，则，

当时，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，排除D．

故选：C

7．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B．

C．∪ D．∪

【答案】A

【分析】根据题意可判断函数为奇函数且在上单调递增，进而根据奇偶性与单调性解不等式即可.

【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，

，

所以函数为奇函数，

因为，

当且仅当，即时，等号成立，

所以函数在上单调递增，

所以可化为，即，

所以，

即，解得，

所以不等式的解集为.

故选：A

8．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的导数，再利用导数与极值的关系求出有两个不同零点的a的取值范围作答.

【详解】函数定义域为R，求导得，

依题意，函数在R上有两个不同的零点，

令，求导得，显然函数在R上单调递增，

当时，恒成立，函数在R上单调递增，函数最多一个零点，不符合题意，

当时，由得，当时，，当时，，

函数，即在上单调递减，在上单调递增，，

当时，，而的取值集合为，

因此在上取值集合为，

当时，令，，当时，，当时，，

即函数在上单调递增，在上单调递减，，因此，

令，，令，当时，恒有，

即函数在上单调递增，，函数在上单调递增，

当时，，因此当时，，

取，当时，，，

而函数在上的取值集合为，因此在上取值集合为，

于是得函数在R上有两个不同的零点，当且仅当，解得，

所以实数的取值范围是.

故选：A

【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.

二、多选题

9．对于的展开式，下列说法正确的是（    ）

A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为64

C．常数项为1215 D．二项式系数最大的项为第3项

【答案】ABC

【分析】根据二项式系数和性质可判断选项A；用赋值法求出所有系数和可判断选项B；求出展开式的通项可判断选项C，由二项式系数的性质可判断D.

【详解】的展开式所有项的二项式系数和为，选项A正确；

中令得，选项B正确；

展开式通项为，

令，得，所以常数项为，选项C正确；

二项式系数最大的项为第4项，选项D不正确.

故选：ABC.

【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式系数性质，熟记通项是解题的关键，掌握赋值法求系数和，属于中档题.

10．2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，某医院派出甲､乙､丙､丁4名医生到A，B，C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（    ）

A．所有不同分派方案共种

B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种

C．若A分派2名医生，B，C各分派1名医生，则所有不同分派方案共12种

D．若C没派医生，A，B企业各分派2名医生，则所有不同分派方案共12种

【答案】BC

【分析】求得所有不同分派方案判断选项A；求得每家企业至少分派1名医生的不同分派方案判断选项B；求得A分派2名医生，B，C各分派1名医生的不同分派方案判断选项C；求得C没派医生，A，B企业各分派2名医生的不同分派方案判断选项D.

【详解】甲､乙､丙､丁4名医生到A，B，C三家企业，每名医生只能到一家企业工作，

选项A：所有不同分派方案共种.判断错误；

选项B：若每家企业至少分派1名医生，则先将医生分为3组，

再将这3组医生任意分派到A，B，C三家企业即可.

则所有不同分派方案共（种）.判断正确；

选项C：若A分派2名医生，B，C各分派1名医生，

则所有不同分派方案共（种）.判断正确；

选项D：若C没派医生，A，B企业各分派2名医生，

则所有不同分派方案共（种）.判断错误.

故选：BC

11．将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（    ）

A．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值

B．第8行第2个数是

C．（，）

D．（，）

【答案】BC

【分析】由莱布尼茨三角形的性质对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对于A，根据杨辉三角的特点，当为偶数时，中间的一项取得最大值，当为奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，所以当每一项取倒数时，再乘以一个常数，可得当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值，所以A错误，

对于B，由莱布尼茨三角形知：第8行第2个数是，故B正确；

对于C，由组合数性质知：，所以（，），故C正确；

对于D，由从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和知：（，），故D错误.

故选：BC.

12．已知函数，（），下列结论正确的是（    ）

A．f(x)有极小值，且极小值为1+lna，无极大值

B．当a<0时，直线l与函数f(x)图象相切，则该直线斜率k的取值范围(0，+∞)

C．若函数f(x)在[1,e]上的最小值为，则a的值为

D．f(x)在区间(1,2)上存在单调减区间，则a的取值范围是[1,+∞)

【答案】BC

【分析】A由时的单调性即可判断；B由导函数，结合二次函数性质求的值域即可；C由A分析有，利用导数研究的极值，进而确定a值；D根据C的分析判断a的取值范围.

【详解】由题设且，

当时，即在定义域上递增，此时无极值，A错误；

令，则且，则在上递增，

故在上递减且，B正确；

当时，即在定义域上递增，无解，

时，在上，递减；在上，递增；

无解， 无解，

所以有极小值也是最小值，则，可得，C正确；

由C分析知：在(1,2)上存在单调减区间，则，D错误；

故选：BC

【点睛】关键点点睛：注意讨论参数a，利用导数研究的单调区间、极值.

三、填空题

13．新年音乐会安排了2个唱歌、2个乐器和2个舞蹈共6个节目，则2个唱歌节目不相邻且两个乐器节目相邻的节目单共有      种．（用数字表示）

【答案】144

【分析】结合捆绑法和插空法求解即可.

【详解】将两个乐器节目排成一排，共有种排法，

将其视为一个整体和两个舞蹈节目排成一排，共有种排法，

再将两个唱歌节目插入所得排列的空隙中，有种排法，

由分步乘法计数原理可得满足要求的排法共有种排法，

故答案为：144.

14．的展开式中的系数为        ．

【答案】

【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．

【详解】，

故它的展开式中的系数为，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

15．组合数被9除的余数是      ．

【答案】8

【分析】先求出，再利用二项式定理得到，求出组合数被除的余数是.

【详解】∵，

∴

，其中；

∴该组合数被除的余数是8．

故答案为：8．

16．已知函数，，若对任意都存在使成立，则实数a的取值范围是      ．

【答案】/

【分析】由已知，根据函数，先求解出函数在时的最大值，然后要使得意都存在使成立，需满足在有解，通过分离参数得到关系式，构建函数，求解在区间上的最小值即可.

【详解】由已知， 函数，在，，

要使得对任意都存在使成立，

需满足在有解，即在区间上有解，

该式可化为，

令，所以，

因为，所以，所以在区间上单调递减，

因此要使得在区间上有解，

即需满足.

故答案为：.

四、解答题

17．已知，.

（1）求x的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）1330

【分析】（1）根据排列的计算公式，求解一元二次方程即可求得；

（2）根据组合数的运算性质，即可容易求得.

【详解】（1）由已知得：，化简得：，

解得或，

又因为，

所以.

（2）将代入得.

【点睛】本题考查组合数和排列数的运算及性质，属综合基础题.

18．名同学简记为、、、、、到甲、乙、丙三个场馆做志愿者

(1)一天上午有个相同的口罩全部发给这名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？

(2)每名同学只去一个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法种数？

(3)每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？

【答案】(1)126种；

(2)60种；

(3)114种.

【分析】（1）先让每位同学拿一个口罩，余下10个用隔板法求解作答.

（2）利用分步计数乘法原理从6人中依次取1人，2人，3人去甲、乙、丙三个场馆列式计算作答.

（3）按给定条件将6人分成3组，再分到三个场馆列式计算作答.

【详解】（1）个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的个口罩排成一排有个间隙，插入块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，

所以不同的发放方法种.

（2）求不同的安排方法分三步：人中选一人去甲场馆，剩下的人中选人去乙场馆，最后剩下人去丙场馆，

所以不同的安排方法有 种.

（3）把视为一人，相当于把个人先分成三组，再分配给三个场馆，分组方法有两类：

第一类，，，去掉在一组的情况，有()种分组方法，再分配给三个场馆，有种方法，

第二类，，，去掉在一组的情况，有()种分组方法，再分配给三个场馆，有种方法，

所以不同的安排方法有种方法.

19．已知的展开式的所有项的二项式系数和为512.

(1)若，求；

(2)求展开式中系数最大的项.

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）由题意，利用二项式系数的性质求得，再利用赋值法求得要求式子的值.

（2）设第项系数最大，则，求得的值，可得展开式中系数最大的项.

【详解】（1）∵的展开式的所有项的二项式系数和为，∴.

∵，

∴令，可得，

∴再令，可得，

即，

∴.

（2）设第项系数最大，则，求得，∴，

故展开式中系数最大的项为.

20．已知函数．

(1)当时，求函数的极值；

(2)求当时，函数在区间上的最小值．

【答案】(1)极大值为，极小值为

(2)

【分析】（1）运用导数研究函数的单调性，进而求得极值.

（2）分类讨论、、时分别研究函数的单调性，进而求得各段上的最小值即可.

【详解】（1）当时，函数．

则，

令，得或         

当时，，在上单调递增，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

则在处取得极大值，在处取得极小值．

极大值为，极小值为.

（2）函数的定义域是，

．

当时，令有两个解，或．    

当，即时，，∴在上单调递减，

∴在上的最小值是，

当，即时，

当时，，∴在上单调递减，

当时，，∴在上单调递增，

∴在上的最小值是，        

当，即时，，，∴在上单调递增，    

∴在上的最小值是．

综上，

21．如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场，圆心为O，半径为100 m，其与城站路一边所在直线l相切于点M，MO的延长线交圆O于点N，A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化，设△ABM的面积为S(单位：m2).

（1）以∠AON=θ(rad)为自变量，将S表示成θ的函数；

（2）求使绿化面积最大时点A的位置及最大绿化面积.

【答案】（1）S=5000sin θ(1＋cos θ)(0<θ<π)；（2）当点A距路边的距离为150 m时，绿化面积最大，最大面积为m2.

【分析】(1)由题意可得四边形ABMO是直角梯形，利用给定条件求出BM，AB即可计算作答；

(2)利用(1)的结论，利用导数求解最大绿化面积及A点位置.

【详解】(1)依题意，四边形ABMO是直角梯形，其中，(0<θ<π)，

于是得BM=100sin θ，AB=100+100cos θ，则，

所以(0<θ<π)；

(2)由(1)知(0<θ<π)，则，

因0<θ<π，则，由得，，即，当时，， ，当时，，，

因此，在上单调递增，在上单调递减，

则当时，，，此时AB=150，

所以当点A距路边的距离为150 m时，绿化面积最大，最大面积为m2.

22．已知函数

(1)讨论函数的单调性；

(2)若有两个极值点，证明

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）求出，对a分类讨论得出函数的单调性即可；

（2）化简进而即证：对任意的恒成立，通过求导进而得证.

【详解】（1）解：

当时，

当时，，则

令，则，或，，则，

综上：当时，在上单调递增，

当时，在和上单调递增，在上单调递减.

（2）有两个极值

是方程的两个不等实根，则

要证：，即证：

不妨设，即证：

即证：对任意的恒成立

令，，则

从而在上单调递减，故，所以