2022-2023学年天津市蓟州区第二中学高二下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年天津市蓟州区第二中学高二下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．在展开式中，常数项为（　　）

A． B． C．60 D．240

【答案】D

【分析】根据通项公式求出，再代入通项公式可得结果.

【详解】二项展开式的通项为，，

令，得，

所以展开式中常数项为.

故选：D

2．现有甲部门的员工2人，乙部门的员工4人，丙部门的员工3人，从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（    ）

A．9 B．24 C．16 D．36

【答案】A

【分析】根据题意，结合组合数公式和分类计算原理，即可求解.

【详解】由现有甲部门的员工2人，乙部门的员工4人，丙部门的员工3人，

从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，

结合分类计数原理，可得共有种不同的选法种数.

故选：A.

3．已知函数在处的切线的倾斜角为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】利用导数的几何意义可得出关于实数的等式，解之即可.

【分析】因为，则，则，解得.

故选：B.

4．函数的单调递减区间为（    ）

A． B． C． D．，

【答案】A

【分析】求导，根据导函数的符号确定的减区间.

【详解】，当时，单调递增，当时，单调递减；

的减区间是；

故选：A.

5．若函数不存在极值点，则实数m的取值范围是（    ）

A．（，+∞） B．（－∞，）

C．[，+∞） D．（－∞，]

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用导数结合单调性建立不等式，即可求解作答.

【详解】函数不存在极值点,s

由函数求导得：，

因函数是R上的单调函数，而抛物线开口向上，

因此有，恒成立，于是得，解得，

所以实数m的取值范围是.

故选：C.

6．已知函数，则函数的最小值为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】B

【分析】利用导数求出的单调区间，从而可得函数的最小值.

【详解】函数的定义域为，且，令,可得.

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

故.

故选:B.

7．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ）

A．－4 B．－3 C．4 D．3

【答案】D

【分析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解.

【详解】因为，所以，

当时，，

所以曲线在点处的切线的斜率等于3，

所以直线的斜率等于，

即，解得，

故选:D.

8．已知函数，其中是的导函数，则（    ）

A．12 B．20 C．10 D．24

【答案】D

【分析】先求导，得到，求出函数解析式和.

【详解】由题意得，故，

则，故.

故选：D

9．已知为奇函数，则的值为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【分析】利用奇函数的定义求出a，从而得解.

【详解】因为为定义在R上的奇函数，

所以，即，解得，

当时，，

此时，则为奇函数，

故.

故选：A.

10．若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分类讨论或三种情况，然后根据函数判断

【详解】①当时，则只有一个零点0，不符合题意；

②当时，作出函数的大致图象，如图1，在和上各有一个零点，符合题意；

③当时，作出函数的大致图象，如图2，在上没有零点．

则在上有两个零点，此时必须满足，解得．

综上，得或．

故选：A

二、填空题

11．函数的值域为           .

【答案】

【详解】由二次函数的性质得出值域.

【解答】解：，

函数的值域为.

故答案为：.

12．甲、乙、丙三人参加某项技能测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.5，0.6，则三人中仅有一人达标的概率是     ．

【答案】0.26

【分析】根据题意，设甲、乙、丙三人达标依次为事件A、B、C，分析可得这三个事件相互独立，三人中仅有一人达标，即ABC中只有一个发生；由相互独立事件的乘法公式，可得答案．

【详解】设甲、乙、丙三人达标为依次为事件A、B、C，三个事件相互独立，

且P（A）=0.8，P（B）=0.6，P（C）=0.5，

三人中仅有一人达标，即ABC只有一个发生，

故其概率为P=0.8×（1﹣0.6）×（1﹣0.5）+（1﹣0.8）×0.6×（1﹣0.5）+（1﹣0.8）×（1﹣0.6）×0.5=0.16+0.06+0.04=0.26，

故答案为：0.26．

13．已知函数在处有极大值，则      .

【答案】

【分析】求出导函数，由求得值，然后对所得结果加以检验即可．

【详解】由已知，

可得，

令，解得或，

由可得，，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

不是极大值点，舍去；

由可得，，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

所以是函数的极大值点．

综上．

故答案为：．

14．已知偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为          .

【答案】

【分析】根据函数的单调性和奇偶性求解抽象不等式即可.

【详解】由题知：在区间上单调递减，在上单调递增，

且，

当时，，，，符合题意，

当时，，，，不符合题意，

当时，，，，符合题意，

当时，，，，不符合题意，

综上的解集为

故答案为：

15．若直线为曲线的一条切线，则实数的值是          ．

【答案】

【分析】根据导数的几何意义、导数的运算公式以及切线方程的求法求解.

【详解】由，可得，

设切点为，则，

故切线方程为，即，

又因为切线为，所以，

解得，所以，

故答案为：.

16．已知，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是      ．

【答案】

【分析】由参变分离可得对任意的都有成立，令，，只需，利用导数求出函数的最小值，即可得出答案．

【详解】因为对任意，都有成立，

所以对任意，都有即成立，

令，，

，

令，，，

所以在上单调递增，

所以，

所以在上，单调递增，所以，

所以，所以的取值范围为.

故答案为：．

三、解答题

17．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率都为0.5，购买乙种商品的概率都为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的，求：

(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；

(2)进入商场的1位顾客，购买甲、乙两种商品中的一种的概率．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）先把事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买”分成两个独立事件的积，然后根据独立事件概率乘法公式求解即可；

（2）先把事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”分成两个互斥事件，然后根据互斥事件概率加法公式，结合乘法公式求解即可.

【详解】（1）设事件为顾客购买甲商品，事件为顾客购买乙商品，且与相互独立，

依题意可知，.

所以甲、乙两种商品都购买的概率为

（2）设事件C为“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”，

则，

所以.

18．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．

(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

【答案】(1)56

(2)21

(3)35

【分析】（1）（2）（3）先判断是不是组合问题，再用组合数公式计算即可.

【详解】（1）从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是.

（2）从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是.

（3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是.

19．已知函数.

(1)用分段函数的形式表示函数，并作出函数的草图；

(2)结合图象列出它的单调递增区间；

(3)若方程有2个不等的实数根，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)和.

(3)或

【分析】（1）将函数解析式写成分段函数，即可画出函数图象；

（2）结合图象得到函数的单调递增区间；

（3）依题意函数的图象与直线有个交点，结合函数图象即可求出参数的取值范围.

【详解】（1）当时，，

当时，，

所以，

所以函数图象如图：

（2）因为函数的图象对称轴为，开口向上，

函数的图象的对称轴为，开口向上，

由函数图象可知，函数的单调递增区间为和.

（3）因为方程有2个不等的实数根，

所以函数的图象与直线有个交点，

又，所以或，

所以实数的取值范围是或.

20．已知函数在处取得极值2.

(1)求a，b的值：

(2)求函数在上的最值.

【答案】(1)的值为，的值为2；

(2)最小值为2，最大值为.

【分析】（1）利用极值的定义列方程求解；

（2）利用导数讨论函数在的单调性，结合极值和区间端点处的函数值即可求最值.

【详解】（1），，

在处取得极值2，

且，

即，解得，

此时，

由，可得，在上单调递减，

由，可得， 在上单调递增，

所以在处取得极值，符合题意，

所以的值为，的值为2；

（2）由（1）有，，

由，可得，在上单调递减，

由，可得， 在上单调递增，

时，在上单调递减，在上单调递增，

因此在处取得极小值，即为最小值，

，，，，

在处取得最大值，

综上所述，在上的最小值为2，最大值为.

21．设函数．

(1)求的增区间；

(2)若不等式在上恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)、

(2)

【分析】（1）解不等式，可得出函数的单调递增区间；

（2）利用导数求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.

【详解】（1）解：函数的定义域为，依据题意可知，

令得或，所以，的增区间为，.

（2）解：令，得（舍），，列表如下：

所以，当时，，

对任意的，恒成立，则.