2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二下学期第二次月考数学（理）试题含答案

这是一份2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二下学期第二次月考数学（理）试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二下学期第二次月考数学（理）试题 一、单选题1．已知复数，则在复平面内所对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据复数运算法则求的代数形式，再确定其在复平面所对应的点及其象限.【详解】因为，所以复数在复平面内所对应的点为，该点在第四象限.故选：D.2．已知在处取得极小值，则的值为（   ）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】求导，然后通过求出的值，再代入原导函数验证在处取得极小值即可.【详解】由已知，，，得，此时，，令，得或，令，得，故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，符合题意.则的值为.故选：B.3．已知直线，平面，若，则是的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】判断和之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】由题意可知，若，当时，若，则可能平行，也可能相交；当时，一定有成立，故是的必要不充分条件，故选：B4．一车间有3台车床加工同一型号的零件，且3台车床加工的零件数X（单位：件）均服从正态分布．假设3台车床均能正常工作，若，则这3台车床每天加工的零件数至少有一台超过35件的概率为（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得，结合二项分布分析运算.【详解】加工的零件数超过35件的台数为，每台加工的零件数超过35件的概率，由题意可得：，则这3台车床每天加工的零件数至少有一台超过35件的概率.故选：C.5．甲乙丙等六位同学站队，甲不站排头，且乙丙不相邻，则这六个人一共有（    ）种不同站法A．408种 B．240种 C．360种. D．120种【答案】A【分析】根据题意，由插空法可得乙丙不相邻的排法，然后去掉其中甲站排头的情况，即可得到结果.【详解】由题意，先保证乙丙不相邻，其余四人任意排，再让乙丙插空，共有种排法，其中甲站排头，且乙丙不相邻的排法有种排法，所以甲不站排头，且乙丙不相邻的排法共有种排法.故选：A6．已知变量关于变量的回归方程为，其一组数据如下表所示：12345若，则的值大约为（    ）A．4.94 B．5.74 C．6.81 D．8.04【答案】C【分析】令，把转化为的线性回归方程，再用线性回归的方法处理即可【详解】由，令，则，由题意，，，所以，解得，所以，所以，解得.故选：C7．一袋里装有带编号的红色，白色，黑色，蓝色四种不同颜色的球各两个，从中随机选4个球，已知有两个是同一颜色的球，则另外两个球不是同一颜色的概率为（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用古典概率求出至少有两个球颜色相同的概率，再求出两球颜色相同、另外两球颜色不同的概率即可求解作答.【详解】记至少有两个球颜色相同的事件为，两球颜色不同的事件为，因此，，所以有两个是同一颜色的球，则另外两个球不是同一颜色的概率为.故选：C8．若直线与曲线相切，则（    ）A．1 B．2 C．e D．【答案】B【分析】设切点，则由导数的几何意义可得，解方程组可得.【详解】设切点坐标为，.则，解得.令，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，所以方程的根为．故选：B.9．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（    ）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可．【详解】函数，则，由，得，即，解得，所以在，上的“拉格朗日中值点”的个数为2．故选：B.10．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意得到为边长为的等边三角形，设外接球的球心为，外接圆的圆心为，连接，利用球的截面圆的性质，求得，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，因为平面，且平面，所以，又因为，可得，由，所以为边长为的等边三角形，设外接球的球心为，半径为，外接圆的圆心为，连接，则平面，则，在正，可得，在直角中，可得，所以外接球的表面积为.故选：D.11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线分别交双曲线的左、右两支于A，B两点，且，若，则双曲线离心率为（    ）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义、余弦定理求解作答.【详解】令，则，  在中，，由余弦定理得，即，解得，于是，在中，令双曲线半焦距为，由余弦定理得：，解得，所以双曲线离心率.故选：A12．关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则实数a的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】转化原不等式为，由此构造函数，对进行分类讨论，结合导数，通过研究时的函数值来确定的取值范围.【详解】依题意，关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，即的解集中有且仅有两个大于2的整数，构造函数，即的解集中有且仅有两个大于2的整数，当时，对于，，即的解集中有无数个大于的整数，不符合题意.所以..若，即，设，，设，，在上递减，且，所以当时，，递减，由于，所以当时，，所以当时，递减，所以，所以当时，恒成立，即的解集中有无数个大于的整数，不符合题意.所以，即，解得，所以的取值范围是.故选：D【点睛】利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法解决时，可以利用多次求导的方法来解决.在此过程中，要注意导函数和原函数间的对应关系. 二、填空题13．随机变量的分布列如下，则      ．012P【答案】2.4【分析】利用分布列的性质，求出p值，再利用期望、方差的定义计算作答.【详解】依题意，，于是，，所以.故答案为：2.414．设常数，展开式中的系数为，则      ．【答案】【分析】求得二项展开式的通项，结合题意，通项求得的值，代入列出方程，即可求解.【详解】由展开式的通项为，令，解得，所以展开式中的系数为，则，即，解得.故答案为：.15．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为      ．【答案】12【分析】根据给定的条件，求出直线的方程，与抛物线方程联立求出PF，QF的长即可求解作答.【详解】依题意，由于H，得，即是正三角形，，而，则直线的方程为，由，消去y并整理，得，令，解得，又准线，因此，所以与的面积之比.故答案为：12.16．如图所示，已知正方体的棱长为1，点E，F分别是棱的中点，点P是侧面内一点（含边界）．若平面，则下列说法正确的有      ．  ①点的轨迹为一条线段    ②三棱锥的体积为定值③的取值范围是    ④直线与所成角的余弦值的最小值为【答案】①②【分析】取中点，由面面平行的判定可证得平面平面，可知点轨迹为线段，知①正确；由线面平行性质可知点到平面的距离即为点到平面的距离，利用等体积转化，结合棱锥体积公式可求得②正确；在中，通过求解点到的距离可确定③错误；根据平行关系可知所求角为，则余弦值最小时，与重合，由余弦定理可求得结果，知④错误.【详解】对于①，分别取中点，连接，  ，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面；，平面，平面，平面；，平面，平面平面；则当平面时，平面恒成立，又平面平面，平面，点轨迹为线段，①正确；对于②，由A知：平面，点到平面的距离即为点到平面的距离，  ，即三棱锥的体积为定值，②正确；对于③，连接，  在中，，，，点到的距离为，的取值范围为，③错误；对于④，由A知：，直线与所成角即为直线与所成角，即，则当与重合时，取得最大值，此时余弦值取得最小值；  在中，，，，，即直线与所成角的余弦值的最小值为，④错误.故答案为：①②. 三、解答题17．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率；(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)0.20(2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图求出，即可得出答案；（2）先求出各组的学生数，然后根据分层抽样得出日平均阅读时间在内的学生中抽取的人数为4.然后根据超几何分布，求出的分布列，得出期望.【详解】（1）由频率分布直方图得：，解得，所以，日平均阅读时间在内的频率为，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20.（2）由频率分布直方图得，这500名学生中日平均阅读时间在内的学生人数为人，日平均阅读时间在内的学生人数为人，日平均阅读时间在内的学生人数分别为人.若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在内的学生中抽取的人数为.现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，，，，.    所以的分布列为0123所以，数学期望.18．某公司对新生产出来的300辆新能源汽车进行质量检测，每辆汽车要由甲、乙、丙三名质检员各进行一次质量检测，三名质检员中有两名或两名以上检测不合格的将被列为不合格汽车，有且只有一名质检员检测不合格的汽车需要重新由甲、乙两人各进行一次质量检测，重新检测后，如果甲、乙两名质检员中还有一人或两人检测不合格，也会被列为不合格汽车．假设甲、乙、丙三名质检员的检测相互独立，每一次检测不合格的概率为(1)求每辆汽车被列为不合格汽车的概率p；(2)每辆汽车不需要重新检测的费用为60元，需要重新检测的前后两轮检测的总费用为100元，求每辆汽车需要检测的费用X的分布列及数学期望．(3)公司对本次质量检测的预算支出是4万元，若300辆汽车全部参与质量检测，实际费用是否会超出预算?【答案】(1)(2)分布列见解析，（元）(3)实际费用估计不会超过预算． 【分析】（1）直接利用概率加法公式和独立事件的概率公式进行求解即可，（2）设每辆汽车质量检测的费用为X元，则X的可能取值为60，100，然后求出相应的概率，从而可求得X的分布列及数学期望，（3）根据检测的费用的数学期望，判断实际费用是否会超过预算.【详解】（1）由题意可知有两名以上检测不合格的概率为，有且仅有一人检测不合格，重新检测后仍不合格的概率为，综上可知，每辆汽车被列为不合格汽车的概率为（2）设每辆汽车质量检测的费用为X元，则X的可能取值为60，100，由题意知，，．XP所以随机变量X的数学期望为（元），（3）所以此方案的费用为，综上可知，实际费用估计不会超过预算．19．如图，在多面体中，平面，，为的中点.，.  (1)证明：CD；(2)求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）通过线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直的性质定理证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，运用数量积求解二面角的平面角的余弦值.【详解】（1）因为，D为AB的中点，所以，又平面ABC，平面ABC，所以，又，AE，平面ABFE，所以平面ABFE，又平面ABFE，所以；（2）过D作交EF于M，则平面ABC，可得，，以D为坐标原点，向量，，的方向分别为x，y，z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系，  在中，，，所以，在中，，，所以，在直角梯形ABEF中，运用勾股定理可得，所以，所以，所以，又，CD，平面CDF，所以平面CDF，平面CDF的一个法向量为，则，，，所以，，设平面CEF的一个法向量为，由得，取，则，，所以.设二面角的平面角为，易知为锐角，则，综上，二面角的平面角的余弦值为.20．以椭圆的四个顶点所围成的四边形的面积为，一个焦点(1)求椭圆的标准方程(2)过F的直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在一条定直线：，使得上的任何一点P都满足PA，PF，PB的斜率成等差数列？若存在，求出直线的方程，若不存在说明理由【答案】(1)(2)存在直线 【分析】（1）由四个顶点所围成的四边形的面积，构建等式，求解椭圆方程;（2）可假设直线存在，然后按照上的任何一点P都满足PA，PF，PB的斜率成等差数列构建参数等式，讨论直线的存在与否.【详解】（1）椭圆的四个顶点所围成的四边形的面积为，，∴  ∴，  ∴椭圆方程（2）假设存在一条定直线，使得上的任何一点P都满足PA，PF，PB的斜率成等差数列，（Ⅰ）当AB斜率k不存在时， ，   ，，，故当斜率不存在时成立.（Ⅱ）当AB斜率k存在时，设AB直线方程，，,  联立，可得，由韦达定理可知，,又,,,,,,,,∴时，k，t任意值都成立,∴存在直线成立,综上，存在一条定直线，使得上的任何一点P都满足PA，PF，PB的斜率成等差数列.【点睛】方法点睛:解析几何探索类问题可先假设命题为真,然后据此推理或计算,直接得到存在的依据或导出矛盾,从而肯定或否定假设.21．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若有两个不同的零点，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.(2) 【分析】（1）通过分类讨论，利用导数求函数的单调区间；（2）有两个不同零点，构造函数，则有两个不等实根，令，设，由的值域可得的取值范围为．【详解】（1）函数，定义域为，，当时，恒成立，在上单调递增；当时，解得，解得，在上单调递增，在上单调递减.（2）有两个不同零点，，由，可得，构造函数，，所以为上的增函数，且，即有两个不等实根，，则，令，，由，可得，又， 所以，则，，故，而两边取对数，可转化为，即，设，则在上恒成立，，设，，在上恒成立，在递增，，在上恒成立，得在上恒成立，则在递减，所以的最小值接近极限值，设，则，，所以的最小值无限接近3，即得的取值范围为．【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.22．在平面直角坐标系中，直线参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，A为曲线C上一点.(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程.(2)若点B为直线与曲线C在第一象限的交点，且，求的面积.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）消参得出直线的普通方程，由得出曲线的普通方程；（2）联立直线与曲线的方程，求出，再由的几何意义，结合面积公式求出的面积.【详解】（1）因为直线l的参数方程为（t为参数），所以直线l的普通方程为，又曲线C的极坐标方程为，即，所以曲线C的普通方程为，即.（2）联立直线l与曲线C的方程，得，解得或，因为点B在第一象限，所以，则点B的极坐标为，因为，则可设点A的极坐标为，又因为点A在曲线C上，所以，所以.23．已知函数，不等式的解集为．(1)求的值；(2)若三个实数，，，满足．证明：【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，即可得到方程组，解得即可；（2）由（1）可知，则，利用柯西不等式即可证明.【详解】（1）∵不等式的解集为，∴，即，∴，经检验得符合题意.（2）∵，∴，由柯西不等式可知：，∴，即，当且仅当，，时等号成立.