2022-2023学年云南省开远市第一中学校高二下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年云南省开远市第一中学校高二下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由函数值域和定义域的求法可求得集合，由交集定义可得结果.

【详解】，，即；

由对数函数定义域知：；.

故选：A.

2．已知复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算法则计算.

【详解】由题意，，

所以，

故选：A．

3．在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据三角函数特殊值求出点的坐标，由正弦函数定义即可求解.

【详解】依题意，

因为，所以终边经过的点为，

所以终边在第四象限，所以.

故选：B.

4．函数的图像大致为

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【详解】函数y=e|x|⋅sinx，函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B. C，

当x∈(0,π),函数y=e|x|⋅sinx>0，函数的图象在第一象限，排除D，

本题选择A选项.

点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用三角函数诱导公式，结合同角的三角函数关系将原式化简，即可求得答案.

【详解】因为，则

,

故选:D．

6．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（    ）

A．16 B． C． D．21

【答案】D

【分析】由祖暅原理知不规则几何体的体积与正六棱台体积相等即可求解.

【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，

故.

故选：D

7．已知，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】引入中间变量1，再利用作差法比较的大小，即可得答案；

【详解】，，

最大，

，，

，

故选：B

8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交于点D，且，则的最小值为（    ）

A．16 B．18 C．20 D．14

【答案】B

【分析】利用三角形的面积公式求得，然后利用“1”的变换方法利用基本不等式求解.

【详解】解：由题意得：

，即，得

所以

当且仅当，即时，取等号.

故选：B．

二、多选题

9．近年来，我国人口老龄化持续加剧，为改善人口结构，保障国民经济可持续发展，国家出台了一系列政策，如2016年起实施全面两孩生育政策，2021年起实施三孩生育政策等．根据下方的统计图，下列结论正确的是（    ）

2010至2022年我国新生儿数量折线图

A．2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万

B．2010至2022年每年新生儿数量的第一四分位数低于1400万

C．2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势

D．2010至2016年每年新生儿数量的方差大于2016至2022年每年新生儿数量的方差

【答案】AC

【分析】根据折线图逐项进行分析验证即可求解.

【详解】对于A，由折线图可知：2010至2022年每年新生儿数量13个数据中有2010至2018年的数量（9个）均高于1500万，3个数据低于1400万，根据数据之间的差距可得 2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万，故选项A正确；

对于B，由图可知共有13个数据，因为，所以第一四分位数是按照从小到大排列的数据的第4个数据，由折线图可知，第4个数据为2019年新生儿的数量，其值大于1400万，故选项B错误；

对于C，由折线图可知2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势，故选项C正确；

对于D，由折线图可知：2010至2016年每年新生儿数量的波动比2016至2022年每年新生儿数量的波动小，所以2010至2016年每年新生儿数量的方差小于2016至2022年每年新生儿数量的方差，故选项D错误，

故选：AC.

10．下列选项中正确的是（    ）

A．若向量，为单位向量，，则向量与向量的夹角为60°

B．设向量，，若，共线，则

C．若，，则在方向上的投影向量的坐标为

D．若平面向量，满足，则的最大值是5

【答案】BCD

【分析】对两边同时平方结合向量数量积的定义可判断A；由共线向量的坐标表示可判断B；由投影向量的定义可判断C；，结合余弦函数的值域可判断D.

【详解】解：A选项，由，以及，可得，

则，即，又，

所以夹角.

对于B，因为，，且，共线，

则解得.所以B正确.

C选项，在方向上的投影向量为

，故C正确，

对于D，因为，所以

所以的最大值是5，所以D正确.

故选：BCD.

11．已知函数，则（    ）

A．函数的图像可由的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到

B．函数的一个对称中心为

C．函数的最小值为

D．函数在区间单调递减

【答案】CD

【分析】化简得，逐项验证即可解决.

【详解】由题知，

，

对于A，的图像向左平移个单位长度，得，

再向下平移个单位长度得到，故A错误；

对于B，，

所以函数的一个对称中心为，故B错误；

对于C，，

当时，函数取最小值为，故C正确；

对于D，，

所以单调减区间应满足，解得，

所以单调减区间为，

因为，

所以函数在区间单调递减，故D正确.

故选：CD

12．函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据奇函数和偶函数定义可构造方程组求得，由此依次判断各个选项即可.

【详解】由得：，

又分别是定义在上的奇函数和偶函数，；

由得：，；

对于A，，A正确；

对于B，，B错误；

对于CD，，C正确，D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．在某次数学测验中，5位学生的成绩分别为：70，85，t，82，75，若他们的平均成绩为81，则他们成绩的分位数为        ．

【答案】85

【分析】根据百分位数的定义求解即可．

【详解】由题意知，

解得，

把这组数据按从小到大的顺序记为：70，75，82，85，93，

指数，这组数据的75%分位数为从小到大的顺序的第四个数，

因此，这组数据的75%分位数为85．

故答案为：85．

14．已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则            .

【答案】2

【分析】根据奇偶性推出周期，再利用周期性可求出结果.

【详解】∵，∴，即4为函数的周期，

∴.

故答案为：2

15．如图，在有五个正方形拼接而成的图形中，β﹣α＝      

【答案】

【分析】根据已知条件，结合正切函数的两角差公式，即可求解．

【详解】由图可得，且都为锐角，且，，

，

.

故答案为：

16．已知正方体的外接球的表面积为，点，分别是，的中点，过，，的截面最长边长为，最短边长为，则        .

【答案】

【分析】通过延长可得过，，的截面为五边形，利用正方体外接球的表面积求出正方体边长，然后五个边都求出，即可得出结果.

【详解】  

如图，延长，交于点，连接交于点，

延长，交于点，连接交于点，

连接，，则过，，的截面为五边形，

设正方体的棱长为，

由正方体外接球的表面积为，

可得其外接球的半径为，直径为体对角线，

则，故，

在中，由勾股定理得，

易得，，

故，，，

故，故，，

所以最长边为，最短边为，故.

故答案为：

四、解答题

17．已知函数

(1)求函数的对称轴及对称中心；

(2)将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域.

【答案】(1)的对称轴为，对称中心为

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再利用正弦函数的性质即可得解；

（2）先利用三角函数图象平移的公式得到，再利用正弦函数的性质即可得解．

【详解】（1）因为

，

令，得，所以的对称轴为，

令，得，所以的对称中心为.

（2）因为将左移个单位得到，

再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的，得到，

由，得，故，

所以，故在上的值域为.

18．某市政府为了节约生活用水，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定每户月人均用水量标准M（单位：立方米），月人均用水量不超过M的部分按平价收费，超出M的部分按议价收费．现随机抽取200户进行调查，抽取的用户月人均用水量的频率分布直方图如图所示．

(1)求频率分布直方图中的值；

(2)如果希望的用户月人均用水量不超过标准M，那么标准M定为多少比较合理？

(3)若从月人均用水量在，，三组的用户中采用按比例分层抽样的方法选取6户参加节水座谈会，再从6户中随机地抽2户发言，求发言的2户来自不同组的概率．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据小矩形面积之和为1，列出方程，求解即可得出答案；

（2）由图象，结合分位数的概念可得，然后列出方程，求解即可得出答案；

（3）根据图象求出3个区间内的频率，根据分层抽样得出每个区间应该抽取的人数，编好号.然后列举出所有的样本点，找出满足条件的样本点，根据古典概型概率公式，即可得出答案.

【详解】（1）因为图中所有矩形面积之和为1，

所以，

解得.

（2）由图象可知，月人均用水量低于2立方米的居民占比为

，

月人均用水量低于立方米的居民占比为

，

根据分位数的含义可知，，

且，解得.

（3）由图象可知，内的频率为，内的频率为，内的频率为，

所以，根据分层抽样知，应从中抽3户，记作，中抽2户，记作，中抽1户，记作.

则从这6户中抽取2户有，，，，，，，，，，，，，，，共包含个等可能的样本点，

满足发言的2户来自不同组的有，，，，，，，，，，共包含个样本点，

根据古典概型可知，发言的2户来自不同组的概率.

19．在，角，，的对边分别为，，.且.

(1)求B；

(2)若点D在AC边上，满足，且，，求BC边的长度.

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，再由两角和的正弦定理化简可得，结合辅助角公式求得B；

（2）法一：由可得，对两边同时平方化简即可得出答案；

法二：由已知得，设，.因为，由余弦定理代入化简即可得出答案.

【详解】（1）因为，由正弦定理，

可得，

即，

所以.

因为，所以，即.

因为，所以，

所以，即

（2）法一：因为点D在AC边上，满足，

所以，

所以，

因为，，，

所以，

即，解得，即.

法二：由已知得，设，.

∵

∴

∴，即①

又∵∴，

即②

由方程①②解得，即.

20．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且.

(1)证明：平面平面；

(2)求平面与平面夹角的大小.

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）利用面面平行判定定理即可证明平面平面；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量的方法即可求得平面与平面夹角的大小.

【详解】（1）四边形是正方形，可得，

又平面，平面，则有平面，

四边形是梯形，且，

又平面，平面，则有平面，

又平面，故平面平面.

（2）依题意知两两垂直，故以D为原点，

所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，

可得，

设平面的一个法向量，

则，取，可得，

设平面的一个法向量，

则，取，可得，

设平面与平面的夹角为，则

因为，

所以平面与平面夹角的大小为.

21．溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概㘶分别为，，，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响.

(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；

(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.

【答案】(1)甲队得3分、1分的概率分别为

(2)

【分析】（1）根据独立事件同时发生的概率公式求解；

（2）由题意分析相互独立事件同时发生的概率公式分别求解即可.

【详解】（1）记“甲队总得分为3分”为事件A，记“甲队总得分为1分”为事件B，

甲队得3分，即三人都回答正确，则概率.

甲队得1分，即三人中只有一人回答正确，其余两人都答错，则其概率

.

（2）记“甲队总得分为2分”为事件C，记“乙队总得分为1分”为事件D，

事件C即甲队三人中只有2人答对，其余1人答错，则其概率.

事件D即乙队3人中只有1人答对，其余两人都答错，则其概率.

由题意可知，事件C和事件D相互独立，故甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为.

22．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且

(1)求角B的大小；

(2)若，求面积的最大值；

(3)若，且外接圆半径为2，圆心为O，P为⊙O上的一动点，试求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由正弦定理和化简得到，从而得到角B的大小；

（2）由余弦定理和基本不等式得到，从而利用三角形面积公式求出面积最大值；

（3）由正弦定理，余弦定理及，求出，利用极化恒等式求出的取值范围.

【详解】（1）由及正弦定理可得：

又∵，

∴，

整理可得：，

可得，

可得：，

∵，

∴，

∵，

∴．

（2）若，根据余弦定理得：，化简，

又∵，

∴，即：当且仅当时，有最大值6，

∵的面积．

∴当且仅当时，面积有最大值，最大值等于

（3）由正弦定理，则，则，

由，可得，则，

则三角形ABC为等边三角形，取AB中点M，如图所示：

则

由OP=2，OM=1，则，则．

【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：

①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；

②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.