2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨德强高级中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨德强高级中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．等差数列中，，求（    ）

A．45 B．15 C．18 D．36

【答案】D

【分析】利用等差数列的性质求出，再利用等差数列的性质可得结果

【详解】因为是等差数列，所以，解得，

所以，

故选：D

2．已知定义在［0，3］上的函数的图像如图，则不等式＜0的解集为（    ）

A．(0，1) B．(1，2)

C．(2，3) D．(0，1)(2，3)

【答案】B

【分析】根据函数的导数与函数的单调性的关系即得结论．

【详解】由图象知在上是减函数，所以的解集是．

故选：B．

3．根据如下样本数据得到的回归方程为．若，则每增加个单位，就（    ）

A．增加个单位 B．减少个单位

C．增加个单位 D．减少个单位．

【答案】B

【分析】先根据数据求出，代入回归直线可得，根据的符号判定.

【详解】由题意可得，，

回归方程为．若，且回归直线过点，

，解得，

每增加1个单位，就减少1.4个单位，

故选：B．

4．设随机变量，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由二项分布的期望和方差公式求出，即可求解.

【详解】随机变量服从二项分布，，

解之得，所以．

故选：B.

【点睛】本题考查二项分布的期望、方差和独立重复试验的概率，熟记公式即可，属于基础题.

5．四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（    ）

A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数

B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数

C．样本中选择物理学科的人数较多

D．样本中男生人数少于女生人数

【答案】C

【分析】根据等高条形图的概念结合条件逐项分析即得.

【详解】根据等高条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多，故C正确；

根据等高条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数，故D错误；

样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女生比例低，

所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故A错误；

样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故B错误.

故选：C.

6．随机变量X的分布列如表所示，若，则（    ）

A．3 B． C．5 D．9

【答案】C

【分析】由，利用随机变量X的分布列列出方程组，求出，，由此能求出，再由，能求出结果．

【详解】，由随机变量X的分布列得：

，解得，

，

.

故选：C．

7．甲乙等5位同学去三个兴趣小组，每个小组至少安排1位同学，每个同学只能去一个小组，则不同方案有（    ）种

A．100 B．120 C．150 D．180

【答案】C

【分析】先将5人分为三组，每组的人数可能为1,1,3或者1,2,2，对应的可能情况分别为种和种，再将其分配到三个兴趣小组，进而根据排列知识求解即可.

【详解】先把5人分为三组，每组的人数可能为1,1,3或者1,2,2，

当每组的人数为1,1,3时，共有种情况，

当每组的人数为1,2,2时，共有种情况，

所以把5人分为三组共有种情况，

再将三组人员分配到三个兴趣小组，有种.

故选：C

8．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数，使得是素数．素数对称为孪生素数对．从8个数对，，，，，，，中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为，则（    ）

A． B． C． D．3

【答案】C

【分析】根据题意得随机变量服从超几何分布，进而根据超几何分布求概率，进而求期望.

【详解】解：由题知8个数对中有，，，共4对孪生素数对，

所以的可能取值为

故，，

，，

所以

故选：C

二、多选题

9．有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法中正确的是（    ）

A．残差平方和变小

B．相关系数变小

C．决定系数变小

D．解释变量与响应变量的相关性变强

【答案】AD

【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况．

【详解】解：从散点图可分析出，若去掉点，则解释变量与响应变量的线性相关性变强，且是正相关，

所以相关系数变大，决定系数变大，残差平方和变小.

故选：AD

10．若在和中间插入个数，使这个数成等比数列，则公比为（    ）

A．2 B．－2 C．4 D．－4

【答案】CD

【分析】由等比数列的性质，即可求解.

【详解】由条件可知，，，所以，解得：.

故选：CD

11．下列四个关系式中，一定成立的是（    ）

A．

B．

C．

D．若m，，且，则

【答案】AC

【分析】根据组合数性质与排列数性质判断.

【详解】由组合数性质知一定成立，A正确；

，B错；

，C正确；

由组合数性质知且，当时，递增，当时，递减，因此D错．

故选：AC．

12．甲、乙两盒中各放有除颜色外其余均相同的若干个球，其中甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出1球放入乙盒，再从乙盒中随机取出1球.记“从甲盒中取出的球是红球”为事件A，“从甲盒中取出的球是白球”为事件B，“从乙盒中取出的球是红球”为事件C，则（    ）

A．A与B互斥 B．A与C独立 C． D．

【答案】ACD

【分析】A与B是互斥事件，A正确，，B错误，利用公式计算CD正确，得到答案.

【详解】对选项A：A与B是互斥事件，正确；

对选项B：，，，

，错误；

对选项C：，正确；

对选项D：，正确.

故选：ACD

三、填空题

13．若服从正态分布，且，则的值为      .

【答案】8

【分析】由正态分布知和关于对称.

【详解】由题意知，解得.

故答案为：8.

14．若数列{}的前n项和为，则=           ．

【答案】8

【分析】通过Sn与的关系计算可得．

【详解】=

故答案为8

【点睛】本题考查数列的前n项和与通项公式的关系，注意解题方法的积累，属于基础题．

15．已知函数，则函数在处的切线方程是            ．

【答案】

【分析】求导，利用导数值求解斜率，再利用点斜式求解即可．

【详解】由，则，

所以，，

所以函数在处的切线方程为，即

故答案为：．

16．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，要求甲不当语文科代表，乙不当数学科代表，若丙当物理科代表则丁必须当化学科代表，则不同的选法共有     种

【答案】67

【分析】根据特殊元素特殊处理的原则，以丙进行分类，排完丙后，由甲不当语文科代表，乙不当数学科代表，还要进行分类，根据分类计数原理可得.

【详解】因为丙当物理课代表则丁必须当化学课代表，以丙进行分类：

第一类，当丙当物理课代表时，丁必须当化学课代表，再根据甲当数学课代表，乙戊可以当英语和语文中的任一课，有种，当甲不当数学课代表，甲只能当英语课代表，乙只能当语文课代表，戊当数学课代表，有种，

共计种；

第二类，当丙不当物理课代表时，分四类：

①丙为语文课代表时，乙只能从英语、物理和化学中选择一课，剩下的甲丁戊任意排给剩下的三课，有种种，

②丙为数学课代表时，甲只能从英语、物理和化学中选择一课，剩下的乙丁戊任意排给剩下的三课，有种，

③丙为英语课代表时，继续分类，甲当数学课代表时，其他三位同学任意当有种，当甲不当数学课代表，甲只能从物理和化学课中选一课,乙只能从语文和甲选完后的剰下的一课中选一课，丁和戊做剰下的两课，有种，共计种，

④丙为化学课代表时，同③的选法一样有种，

根据分类计数原理得，不同的选法共有种.

故答案为：67.

四、解答题

17．已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32.

(1)求的值；

(2)求展开式中含项的系数.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）通过即可求出的值；

（2）写出二项展开式的通项并整理，然后令的次数为即可求出，进而可得项的系数.

【详解】（1）由二项式系数之和为得，

所以；

（2）由（1）可得二项式为，

其展开式的通项为，

令，得，

所以展开式中含项的系数为.

18．已知等差数列的前项和为，，，，成等比数列.

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）应用等比中项及等差数列通项公式求基本量，即可得通项公式；

（2）公式法求，再由裂项相消法求.

【详解】（1）由题设且，则，，

令公差为，所以，可得，

所以.

（2）由，则，

所以

.

19．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者：

(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；

(2)从被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的分布列和期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）由题意易知，通过手机收看的概率为，则至少有1人通过手机收看的对立事件为3人都没有通过手机收看，即可较易得出结论；

（2）首先得出服从二项分布，然后求出对应取值的概率，即可得出分布列，同时也能得出期望.

【详解】（1）记事件为至少有1人通过手机收看，

由题意知，通过手机收看的概率为，没有通过手机收看的概率为，

则；

（2）由题意知：，则的可能取值为0，1，2，3，

；

；

；

；

所以的分布列为：

所以.

20．已知函数．

(1)求函数的单调区间与极值；

(2)求函数在区间上的最值．

【答案】(1)单调增区间为，，单调减区间为，的极大值为，的极小值为

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）求得，分别令，，解得范围，即可得出的单调区间与极值；

（2）求出区间端点的函数值与极值，比较即可得出函数在区间，上的最值．

【详解】（1）（1）因为，

令，可得或，

和随的变化情况如下：

函数的单调增区间为，，单调减区间为，

的极大值为，的极小值为；

（2）由（1）可知函数在，单调递增，在单调递减，

，，，．

函数在区间，上的最大值为，最小值为．

21．某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：

(1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？

(2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值.

(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望.

附：

【答案】(1)认为数学成绩与语文成绩有关；

(2)；

(3)分布列见解析，.

【分析】（1）零假设后，计算的值与比较即可；

（2）根据条件概率公式计算即可；

（3）分层抽样后运用超几何分布求解.

【详解】（1）零假设：数学成绩与语文成绩无关.

据表中数据计算得：

根据小概率值的的独立性检验，我们推断不成立，而认为数学成绩与语文成绩有关；

（2）∵，

∴估计的值为；

（3）按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量的所有可能取值为.

，，

，，

∴的概率分布列为：

∴数学期望.

22．第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球，MIKSA-V200W，已知这种球的质量指标ξ（单位：g）服从正态分布N（270，52）.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛（采取5局3胜制），最后靠积分取得最后冠军，积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为

（1）若比赛准备了1000个排球，请估计质量指标在（260，265]内的排球个数（计算结果取整数）.

（2）第10轮比赛中，记中国队3：1取胜的概率为.

（i）求出的最大值点；

（ii）若以作为p的值，记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列及数学期望.

参考数据：若，则，

【答案】（1）136个；（2）（i）；（ii）分布列见解析，.

【分析】（1）首先由正态分布求出一个排球质量在指标（260，265]内的概率值，再根据二项分布的均值求出估计结果即可；（2）先分析得到的表达式，再求导判断单调性，进而求出最大值点，接着分析随机变量X的可能取值，分别计算对应的概率值，最后写出随机变量的分布列，然后计算均值即可.

【详解】解：（1）

所以质量指标在（260，265]内的排球个数约个

（2）（i）前三场赢两场，第四场必赢，

则，

，

令，得，（舍去）

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以的最大值点.

（ii）X可能取的值为0、1、2、3，

，表示前三场均全赢，或者前三场赢两场，第四场必赢，

，

，表示前四场赢两场，第五场必赢，

，

，表示前四场赢两场，第五场必输，

，

，表示前三场全输，或者前三场赢一场，第四场必输

X的分布列为：

则.

【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法

①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．

②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.