2022-2023学年福建省诏安县桥东中学高二下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年福建省诏安县桥东中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．函数在上是（    ）

A．增函数 B．减函数

C．先增后减 D．不确定

【答案】A

【分析】求函数的导函数，根据导函数与单调性的关系判断.

【详解】∵，

∴，

又，

∴在上恒成立．

∴在上是增函数，

故选：A．

2．曲线在点处的切线与y轴交点的纵坐标是（    ）

A．e B．1

C．－1 D．－e

【答案】B

【分析】求出导函数，令求出切线的斜率；利用点斜式写出直线的方程，令即可求解

【详解】

当得

所以曲线在处切线方程为

即，令可得

故选：B．

3．函数在上的最大值为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求函数在给定闭区间上的最大值，可先求导，利用导函数研究函数的单调性，然后在区间上求极值，再和区间端点上的函数值比较得出最大值．

【详解】由题可知，由解得或，

由，解得，且当或，单调递增，

时，单调递减，

所以，，，，所以最大值为

故选C

【点睛】本题考查利用导数求函数在闭区间上的最大值，属于一般题．

4．已知三棱锥中，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用空间向量线性运算计算即可.

【详解】

.

故选：D.

5．在长方体中，，则二面角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】画出长方体，为二面角所成的平面角，求出的值即可得出答案.

【详解】长方体中，，，

，平面,平面,,

又平面平面，

为二面角所成的平面角，

，

所以二面角的余弦值为.

故选：D.

6．如图，在正方体中，是底面正方形的中心，点为的中点，点在上，则直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】建系，利用空间向量可证，即可得结果.

【详解】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设，

则，

∵，则，

∴，即直线与所成的角为.

故选：D.

7．如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，

则，

，

设平面的法向量，

则，可取，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

故选：C.

8．已知是定义在上的函数，其导函数是，且当时总有，则下列各项表述正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设函数，根据题意，求得为单调递增函数，得到，进而得出答案.

【详解】由题意，设函数，则，

因为，可得，所以为单调递增函数，

可得，即，所以.

故选：D.

【点睛】本题考查了导数的四则运算，以及函数的单调性的应用，其中解答中根据题意，构造新函数，求得的单调性是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.

二、多选题

9．下列结论中不正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ACD

【解析】利用复合函数的求导法则可判断各选项的正误.

【详解】对于A，，则，故错误；

对于B，，则，故正确；

对于C，，则，故错误；

对于D，，则，故错误．

故选：ACD.

【点睛】本题考查复合函数导数正误的判断，考查计算能力，属于基础题.

10．若函数有两个极值点则的值可以为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】AB

【分析】求出函数的导函数为二次函数，由函数有两个极值点，则导函数与轴有两个交点，即可求出的范围，得解.

【详解】解：

因为函数有两个极值点

则与轴有两个交点，

即解得

故满足条件的有

故选：

【点睛】本题考查利用导数求函数的极值问题，属于基础题.

11．在正方体中，E，F分别为，的中点，则下列结论错误的是（    ）

A．平面 B．平面

C．平面 D．平面

【答案】BCD

【分析】以点为坐标原点，以，，方向为，，轴为正方向，建立空间直角坐标系，根据线与面的平行与垂直的向量求法对选项一一验证即可.

【详解】

以点为坐标原点，以，，方向为，，轴为正方向，建立如图所示空间直角坐标系，

设正方体的边长为2，

则，，，，，，，，，

则，，，

设平面的一个法向量为，

则，令，则，

则，则平面，故A正确；

，，

设平面的一个法向量为，

则，令，则，

，则与平面不平行，故B错误；

，，

设平面的一个法向量为，

则，令，则，

，则与平面不垂直，故C错误；

，，

设平面的一个法向量为，

则，令，则，

，则与平面不垂直，故D错误；

故选：BCD.

12．如图，在棱长为1的正方体中，点M为线段上的动点（含端点），则（    ）

A．存在点M，使得平面

B．存在点M，使得∥平面

C．不存在点M，使得直线与平面所成的角为

D．存在点M，使得平面与平面所成的锐角为

【答案】BCD

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式、法向量的性质逐一判断即可.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

，

设，

设平面的法向量为，

，

则有，

假设存在点M，使得平面，所以有，

所以有，因此假设不成立，因此选项A不正确；

假设存在点M，使得∥平面，

所以有，所以假设成立，因此选项B正确；

假设存在点M，使得直线与平面所成的角为，，

所以有，

解得，，所以假设不成立，故选项C正确；

假设存在点M，使得平面与平面所成的锐角为，

设平面、平面的法向量分别为、，

显然，

则有，

当时，有

，

所以有（舍去），或，假设成立，选项D正确，

故选：BCD

三、填空题

13．函数y＝ln在x＝0处的导数为        ．

【答案】/0.5

【分析】先化简函数解析式，再利用导数的运算法则和复合函数的导数法则求出导函数，将代入计算求解．

【详解】因为，

所以，

所以函数在处的导数值为．

故答案为：．

14．已知向量，，，则的坐标为      .

【答案】

【分析】直接利用向量的运算法则计算即可.

【详解】向量，，，则.

故答案为：.

15．已知空间中三点，则点A到直线的距离为          ．

【答案】

【分析】利用向量的模公式及向量的夹角公式，结合同角三角函数的平方关系及锐角三角函数的定义即可求解.

【详解】，

,

，

，

设点A到直线的距离为，则

.

故答案为：.

16．已知函数在上的最大值为，则的值为      

【答案】

【分析】由，求导得到，根据定义域，分，和讨论求解.

【详解】由得，

当时， 若，则，单调递增，

若，则，单调递减，

故当时，函数有最大值，

解得，不符合题意，舍去;

当时，函数在上单调递减，最大值为，不符合题意;

当时，函数在上单调递减，此时最大值为，

解得，符合题意，

综上可知，的值为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查导数与函数的最值，还考查了讨论讨论思想，属于中档题.

四、解答题

17．已知空间三点，，，设，．

(1)若，，求；

(2)求，夹角的余弦值．

【答案】(1)或；

(2)

【分析】（1）根据已知条件，结合向量平行的性质，以及向量模公式，即可求解；

（2）根据已知条件，结合空间向量的夹角公式，即可求解．

【详解】（1），，则，

，可设，，

，，解得，

或；

（2），，，

，，

．

18．已知函数在处取得极值．

(1)求实数的值；

(2)若函数在内有零点，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据，求出的值，再验证即可；

（2）利用导数得出函数在是的最值，由求解即可.

【详解】（1）解： ∵,

所以，

又 在处取得极值，

∴，解得.

经验证时，，

当时，；当时，，

所以 在处取得极值.

所以；

（2）解：由（1）知，，

∴的极值点为，

将，，在内的取值列表如下：

∵在内有零点，

∴，

解得，

∴ 实数 的取值范围是.

19．如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，是棱的中点.

(1)证明：∥平面；

(2)求平面与平面所成的角的余弦值；

(3)求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，求出平面的一个法向量判断，

（2）求出平面与平面的法向量，利用空间向量求解，

（3）利用空间向量的距离公式求解.

【详解】（1）根据题意，建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，

因为侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，

所以，

因为是棱的中点，

所以，

所以，

设平面的一个法向量为，则

，令，得，

所以，因为，

所以，因为平面，所以∥平面.

（2）由（1）得平面的一个法向量为，

由题可设平面的一个法向量为，

所以，

所以平面与平面所成角的余弦值为.

（3）由（1）得平面的一个法向量为，

所以，所以点到平面的距离为.

所以点到平面的距离为.

20．已知函数.

(1)当时，求函数的单调递减区间；

(2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求定义域，求导后令，求出单调递减区间；

（2）根据题意得到在上恒成立，分离参数后，构造，，求出最值，得到答案.

【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，

当时，，

由得，故的单调递减区间是．

（2）由题意得，

，

因为在上单调递增，则在上恒成立，

即，故在上恒成立，

设，．

在恒成立，故在单调递减，

∴在上，，

∴，故实数a的取值范围是.

21．已知直角三角形ABC中，D、E分别是AC、BC边中点，将△CDE和△BAE分别沿着DE，AE翻折，形成三棱锥，M是AD中点．

(1)证明：PM⊥平面ADE；

(2)若直线PM上存在一点Q，使得QE与平面PAE所成角的正弦值为，求QM的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由题设有DE⊥AD、DE⊥PD，根据线面垂直的判定得DE⊥平面PAD，再由线面垂直、等腰三角形的性质有PM⊥DE、PM⊥AD，最后应用线面垂直的判定证结论；

（2）构建空间直角坐标系，确定相关点坐标并设，求出直线QE与平面PAE的方向向量、法向量，结合线面角的正弦值求参数，进而确定QM的值.

【详解】（1）因为D，E分别是AC，BC边中点，所以DEAB，

因为∠BAC＝90°，即，所以，

所以DE⊥AD，DE⊥CD，即DE⊥PD，

因为AD∩PD＝D，AD、PD⊂平面PAD，所以DE⊥平面PAD，

又PM⊂平面PAD，所以PM⊥DE，

由题意，，则，

又M为AD中点，所以PM⊥AD，

因为AD∩DE＝D，AD、DE⊂平面ADE，

所以PM⊥平面ADE．

（2）以M为原点，MD、MP分别为x，z轴，作MyDE，建立如图所示的空间直角坐标系，

由，，则，

所以，设面PAE的法向量为，

则，令，则，

设，则，

因为QE与平面PAE所成角的正弦值为，

所以，解得，则，故．

22．设函数，.

（1）当时，在上恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）(]

【详解】试题分析：（1）由 ，由 在（ 上恒成立，得到 ，即 在（1，+∞）上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可得到实数 的取值范围；

（2）当 时，易得函数 的解析式，由方程的根与对应函数零点的关系，易转化为 在上恰有两个相异实根，利用导数分析函数的单调性，然后根据零点存在定理，构造关于 的不等式组，解不等式组即可得到答案．

试题解析：（1）当时，由得，

∵，∴，∴有在上恒成立，

令，由得，

当，∴在上为减函数，在上为增函数，

∴，∴实数的取值范围为；

（2）当时，函数，

在上恰有两个不同的零点，即在上恰有两个不同的零点，

令，则，

当，；当，，

∴在上单减，在上单增，，

又，如图所示，所以实数的取值范围为(]

【点睛】本题以函数为载体，考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，具有一定的难度，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件．其中（1）的关键是构造函数，将问题转化为函数恒成立问题，（2）的关键是利用导数分析函数的单调性后，进而构造关于 的不等式组．