2022-2023学年福建省莆田锦江中学高二下学期期中质检数学试题含答案

2022-2023学年福建省莆田锦江中学高二下学期期中质检数学试题

一、单选题

1．一个质点M沿直线运动，位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系，则质点M在时的瞬时速度为（    ）

A．7.25m/s B．5m/s C．6m/s D．5.1m/s

【答案】B

【分析】利用导数的实际意义求解

【详解】由，有，则时，.

质点M在时的瞬时速度为5m/s.

故选：B

2．已知函数的图象在点处的切线方程是，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．

【答案】A

【分析】根据导数的几何意义结合函数的图象在点处的切线方程即可求得答案.

【详解】由于函数的图象在点处的切线方程是，

故，，

故，

故选：A.

3．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的导数，再求导函数值即可.

【详解】因，所以.

故选：C

4．已知向量，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据空间向量的坐标运算可得，结合空间向量数量积的坐标表示计算即可求解.

【详解】由题意知，

由，得，

解得.

故选：B.

5．两平面的法向量分别为，若，则的值是（    ）

A．－3 B．6

C．－6 D．－12

【答案】B

【分析】由，可得，则，从而可求得结果.

【详解】因为两平面的法向量分别为，且，

所以，所以，

故选：B

6．如图，在四面体中，是的中点，，设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由空间向量的线性运算求解.

【详解】

故选：B

7．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造，利用导数可知函数在单调递减，又，，，根据单调性即可得到结果.

【详解】设，则，

令，则，

所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；

又，，，

所以，即.

故选：D.

8．桁架桥指的是以桁架作为上部结构主要承重构件的桥梁．桁架桥一般由主桥架、上下水平纵向联结系、桥门架和中间横撑架以及桥面系组成．下面是某桁架桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成．其中，那么直线AH与直线IG所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值.

【详解】以E为坐标原点，EB，ED，EI所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

设，

则，

，

设直线AH与直线IG所成角为，

则，

故直线AH与直线IG所成角的余弦值为.

故选：D

二、多选题

9．下列结论中正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据基本初等函数的求导公式逐个计算即可.

【详解】，故A正确；

，故B错误；

，故C正确；

，故D正确.

故选：ACD.

10．已知向量，，则下列结论正确的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】利用向量线性关系、数量积、模长的坐标运算判断各项正误.

【详解】由题设，，A错误；

，B正确；

，C正确；

，D错误.

故选：BC

11．如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则下列结论正确的为（    ）

A． B．

C． D．为平面的一个法向量

【答案】BC

【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算可判断各项的正误.

【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、

、、、.

对于A选项，，，则，A错；

对于B选项，，，则，B对；

对于C选项，，故，C对；

对于D选项，，故不是平面的一个法向量，D错.

故选：BC.

12．已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．在上单调递增 B．在上单调递减

C．在处取得极小值 D．在处取得极大值

【答案】ACD

【分析】根据导函数与函数的单调性和极值的关系求解.

【详解】当时，单调递增，

由图可知时，，单调递增，故A正确；

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，故B错误；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以在处取得极小值，故C正确；

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以在处取得极大值，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知函数的导函数，满足，则           .

【答案】

【分析】先对求导，求出，代入可求答案.

【详解】因为，所以，

所以，得，即，

所以.

故答案为：.

14．设平面的一个法向量分别为，则的位置关系为        ．

【答案】平行

【分析】利用向量的共线定理及平面与平面平行的法向量的关系即可求解.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以，

故答案为：平行

15．如图，在正方体中，是棱的中点，是棱的中点，则异面直线与所成的角为      .

【答案】

【分析】直接建立空间直角坐标系，由两向量的夹角公式，可得两条异面直线所成角的余弦值。

【详解】设正方体棱长为，建立空间直角坐标系如图所示，

，，，，

则，，

设两向量夹角为，则=0，

即，所以直线与直线的夹角为。

故答案为：

【点睛】本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，属于基础题。

16．已知函数的极小值小于0，则实数取值范围为       .

【答案】

【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对进行分类讨论，进而确定函数的极值，结合已知建立关于的不等式即可求解．

【详解】由题意得，，

当时，，函数在上单调递增，没有极值，

故，易得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，

故当时，函数取得极小值，解得，

所以．

故答案为：

四、解答题

17．已知函数在处取得极大值.

(1)求的值；

(2)当时，求的最大值.

【答案】(1)

(2)5

【分析】（1）求导得，根据函数极值与导数的关系得到关于方程组，解出并检验即可；

（2）直接求导，列出函数与导函数变化的表格，通过表格即可求出最大值.

【详解】（1），且函数在处有极值1，

，解得.                             

又当时，

当或时，，

当时，，

故在处取得极大值，满足题意.

综上，.

（2）当，时，．则．

当变化时，与的变化情况如下表：

所以时，的最大值为.

18．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求的极值.

【答案】(1)

(2)极小值为2，无极大值.

【分析】（1）求导，利用导数值求解斜率，由点斜式即可求解直线方程，

（2）由导数确定单调性即可解极值.

【详解】（1），则，

又，

所求切线方程为：，即.

（2），

令，得；令，得，

函数在上单调递减，在上单调递增，

函数的极小值为，无极大值.

19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，M为PC中点．

(1)求证：平面MBD；

(2)若，求直线BM与平面AMD所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线的性质即可得证；

（2）根据题意，建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，求得和平面AMD的法向量，由向量夹角的计算公式，可得答案.

【详解】（1）连接AC交BD于点O，连接OM，

由四边形ABCD为矩形，

可知O为AC中点，M为PC中点，

所以，

又平面，平面，

所以平面MBD.

（2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则 ，

所以，

设平面的法向量为，

则，

令，则，

设直线与平面所成角为，则

，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

20．如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点.

(1)求证：平面PBD；

(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；

(3)求D到平面APM的距离.

【答案】(1)证明过程见解析

(2)

(3)

【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；

（3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可.

【详解】（1）因为，M为BC的中点，

所以，

因为四棱锥的底面是矩形，

所以，

所以，所以，

而，即，

因为底面ABCD，底面ABCD，

所以，而平面PBD，

所以平面PBD；

（2）因为平面ABCD，平面ABCD，

所以，

因为因为四棱锥的底面是矩形，

所以，建立如下图所示的空间直角坐标系，

，

因为平面ABCD，

所以平面ABCD的法向量为，

设平面APM的法向量为，

，，

于是有，

平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为；

（3）由（2）可知平面APM的法向量为，，

所以D到平面APM的距离为

21．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为菱形，，△PAC为等边三角形，点Q为棱PB上的动点．

(1)求证：；

(2)若PD⊥平面ABCD，问动点Q在何处时，使得平面AQD与平面CQD的夹角的余弦值为？

【答案】(1)见解析

(2)点是的中点

【分析】（1）通过证明平面，即可根据定义证出；

（2）以O为原点，以OB所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴，以过点O垂直平面ABCD所在直线为z轴，建系，根据平面AQD与平面CQD的夹角公式列方程，化简求得.

【详解】（1）连接BD交AC于点O，连接．

是的中点，所以，

由于平面，

所以平面，由于平面，所以.

（2）因为平面ABCD，平面，所以平面平面，

以O为原点，以OB所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴，以过点O垂直平面ABCD所在直线为z轴，建立如图所示坐标系．设OB＝1．

，，，，，

设，则，

，

则，

，，

，

设平面AQD的法向量为，

，

故可设，

同理可求得平面的法向量为，

设平面AQD与平面CQD的夹角为，

，则．

即，

即点是的中点.

22．设函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若恒成立，求a的值．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）利用导数的性质分类讨论进行求解即可；

（2）根据（1）的结论，结合构造函数法进行求解即可.

【详解】（1）的定义域为．．

若，则，在上单调递增．

若，则当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

（2）由（1）知，若，则当时，，矛盾．

因此．由（1）知此时．

恒成立等价于恒成立．

设，即恒成立，

则，

当时，单调递增，

当时，单调递减，所以，

显然函数在处有唯一零点，且．

而恒成立，所以，

所以．