2022-2023学年福建省莆田市仙游县第二中学高二下学期期中测试数学试题含答案

2022-2023学年福建省莆田市仙游县第二中学高二下学期期中测试数学试题

一、单选题

1．设集合，则下列四个关系中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据描述法表示集合的含义，由元素集合的关系，即可判断结论.

【详解】由题意知，集合表示所有不小于的实数组成的集合，

所有，是集合中的元素，故.

故选：A.

2．“”是“”的（    ）条件．

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】B

【分析】先解一元二次方程，再根据必要不充分的定义确定选项.

【详解】由，

得或，

则由不一定推出，

但一定能推出，

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：B.

3．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】本题从存在量词的否定为全称量词出发即可得出答案.

【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，即先将量词“"改成量词“”,再将结论否定，该命题的否定是“”.

故选：B.

4．不等式的解集是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】由，可得，

所以或，所以不等式的解集为或.

故选：C.

5．设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】，，，

根据在上是增函数，所以，即.

故选：D.

6．函数（且）的图象经过定点

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，即可得到本题答案.

【详解】因为函数，且有 (且)，令，则，，所以函数的图象经过点.

故选：A

【点睛】本题主要考查对数函数(且)恒过定点，属基础题.

7．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用诱导公式以及两角差的正弦公式可求得所求代数式的值.

【详解】因为，

所以，

.

故选：C.

8．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】判断每个函数的奇偶性与单调性得答案.

【详解】，都是非奇非偶函数，排除A，B.

，都是偶函数，在上递增，在递减，

故选：D．

二、多选题

9．若直线与圆C：相交于A，B两点，则的长度可能等于（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】CD

【分析】首先找到直线所过定点，根据直线所截圆的弦长公式求出弦长的取值范围，进而求出的长度可能的取值.

【详解】已知直线恒过点，圆的圆心坐标为，半径.

当直线经过圆心时，所得弦长最大，；

当直线与所在直线垂直时，所得弦长最小，，

因此可得：，故的长度可能等于4或5.

故选：CD

10．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（    ）

A．事件，为互斥事件 B．事件B，C为独立事件

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB，由组合知识求得判断C，根据条件概率的定义求得判断D．

【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确；

由于是红球有3个，白球有2个，事件发生时，两球同为白色或同为红色，，事件不发生，则两球一白一红，，不独立，B错；

，C正确；

事件发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件才发生，所以，D正确．

故选：ACD．

11．已知随机变量X服从正态分布，密度函数，若，则（    ）

A． B．

C．在上是增函数 D．

【答案】ACD

【分析】根据正态曲线的性质，再结合正态分布的密度曲线定义，由此逐一分析四个选项从而得出答案.

【详解】随机变量服从正态分布，正态曲线关于直线对称，在上是增函数，选项C正确；

，根据正态曲线的对称性可得，选项A正确；

，选项B错误；

，选项D正确.

故选：ACD.

12．已知函数（）是奇函数，且，是的导函数，则（    ）

A． B．的一个周期是4 C．是偶函数 D．

【答案】BC

【分析】根据函数奇偶性与可得，根据导数的运算可得从而可判断B项，根据周期性与奇偶性可判断A项，根据奇偶性与导数运算可得，从而可判断C项，在中，令代入计算可判断D项.

【详解】因为函数是奇函数，，

所以，

所以，即：，故的周期为4，

所以，故的一个周期为4，故B项正确；

，故A项错误；

因为函数是奇函数，

所以，

所以，即：，

所以为偶函数，故C项正确；

因为，

所以，

令，可得，解得：，故D项错误.

故选：BC.

三、填空题

13．函数，则定义域是        ．

【答案】

【分析】根据解析式列出不等式组求解即可.

【详解】由可得，

，解得，

所以函数的定义域为.

故答案为： .

14．若正数a，b满足，则的最小值为           .

【答案】

【分析】利用基本不等式计算可得；

【详解】解：因为、且，

所以，当且仅当，即、时取等号；

故答案为：

15．已知函数，则      .

【答案】

【分析】利用辅助角公式将函数化简，再代入计算可得.

【详解】∵函数，

即，

∴.

故答案为：.

16．正四面体ABCD的棱长为3，P在棱AB上，且满足，记四面体ABCD的内切球为球，四面体PBCD的外接球为球，则         ．

【答案】

【分析】设点为的中心，连接，并延长交于点，则平面，点为的中点，，四面体ABCD的内切球的球心在上， 且四面体PBCD的外接球的球心在上，利用等体积法求出四面体ABCD的内切球的半径为，即，记的中点为，根据求出，即可得出，即可得解.

【详解】如图，设点为的中心，则平面，连接，并延长交于点，则点为的中点，，

则四面体ABCD的内切球的球心在上， 且四面体PBCD的外接球的球心在上，

设四面体ABCD的内切球的半径为，

，

则，

又，

则，解得，即，

由四面体PBCD的外接球的球心在上，得，

记的中点为，则，，

，所以，

则，所以.

故答案为：.

【点睛】方法定睛：多面体与球切、接问题的求解方法

(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解．

(2)若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解．

(3)正方体的内切球的直径为正方体的棱长．

(4)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．

(5)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．

四、解答题

17．已知函数．

(1)求函数的最小正周期；

(2)求函数的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化简的解析式，进而求得的最小正周期.

（2）根据的解析式求得的最大值.

【详解】（1）依题意，，

所以的最小正周期为.

（2）由于，

所以当时，

取得最大值为.

18．已知函数

(1)若，求其值域；

(2)当时，求x的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由一次函数和二次函数的性质，分别求在两段定义区间内的值域，取并集得的值域；

（2）根据定义区间，分段求不等式的解集.

【详解】（1）由二次函数性质可知，当时，单调递减，；

由一次函数性质可知，当时，单调递减，，

综上：函数的值域为；

（2）当时，有或，

解得或，

所以实数x的取值范围是．

19．某品牌推出2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同单品，且必包含隐藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同单品，有50%的可能性出现隐藏款X．为避免盲目购买与黄牛囤积，每人每天只能购买1件盲盒套餐．开售第二日，销售门店对80名购买了套餐的消费者进行了问卷调查，得到如下列联表：

(1)根据2×2列联表，判断是否有99%的把握认为A，B款盲盒套餐的选择与年龄有关；

(2)甲、乙、丙三人每人购买1件B款盲盒套餐，记随机变量为其中隐藏款X的个数，求的分布列和数学期望；

附：，其中，

【答案】(1)有的把握认为A，B款盲盒套餐的选择与年龄有关；

(2)分布列见解析，

【分析】（1）计算，与临界值比较得到结论；

（2）根据的所有可能取值，计算相应的概率，列分布列，利用公式求数学期望

【详解】（1）假设为：A，B款盲盒套餐的选择与年龄之间无关联．

根据列联表中数据，经的所有可能计算得，

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，

即有的把握认为A，B款盲盒套餐的选择与年龄有关．

（2）的所有可能取值为0，1，2，3，

，，，，

所以的分布列为：

（或，）．

20．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，平面平面ABCD．

(1)求证：平面ABCD；

(2)设，，，平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为，求BC的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)BC的长为．

【分析】（1）在平面ABCD中取一点E，并过点E作直线，，利用面面垂直的性质可证，，再根据线面垂直的判定定理，即可证明平面ABCD；

（2）以A为原点，AD，AB，AP方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，设，利用向量法求出平面PBC与平面PCD的法向量，即可利用二面角的公式求出t，即为BC的长.

【详解】（1）证明：如图，在平面ABCD中取一点E，并过点E作直线，

因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，

所以平面PAD，因为平面PAD，所以；

同理，过点E作直线，

因为平面平面ABCD，平面平面，

平面ABCD，所以平面PAB，

因为平面PAB，所以；

因为，平面ABCD，所以平面ABCD．

（2）由（1）知，如图，

以A为原点，AD，AB，AP方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，

设，则，，，，

所以， ，，，

设平面PBC的法向量为，

则，令，得，

设平面PCD的法向量为，

则，令，得，

由题知，即，解得，

所以BC的长为．

21．工厂污水排放量y（吨）与产品年产量x（吨）的折线图：

(1)依据折线图计算相关系数r（精确到0.01），并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（）

(2)若可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程，预测年产量为10吨时污水排放量．，，，

【答案】(1)，可用线性回归模型拟合y与x的关系

(2)，5.5吨

【分析】（1）根据题目数据及相关系数公式计算并判断即可；

（2）利用最小二乘法求解线性回归直线方程，代入即可求解预报值.

【详解】（1）由折线图计算得如下数据：，，

，，，

所以相关系数，

因为，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.

（2）由题意，，，

所以回归方程为，

当时，，所以预测年产量为10吨时的污水排放量为5.5吨.

22．已知函数.

(1)讨论函数的单调性：

(2)若是方程的两不等实根，求证：；

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的定义域和导数，再根据和分类讨论，即可得出函数的单调性；

（2）由可得，是方程的两不等实根，从而可将问题转化为是方程的两不等实根，即可得到和的范围，原不等式等价于，即极值点偏移问题，根据对称化构造（解法1）或对数均值不等式（解法2）等方法即可证出．

【详解】（1）由题意得，函数的定义域为.

由得：，

当时，在上单调递增；

当时，由得，由得，

所以在上单调递增，在上单调递减.

（2）因为是方程的两不等实根，，

即是方程的两不等实根，

令，则，即是方程的两不等实根.

令，则，所以在上递增，在上递减，，

当时，；当时，且.

所以0，即0.

令，要证，只需证，

解法1（对称化构造）：令，

则，

令，

则，

所以在上递增，，

所以h，所以，

所以，所以，

即，所以.

解法2（对数均值不等式）：先证，令，

只需证，只需证，

令，

所以在上单调递减，所以.

因为，所以，

所以，即，所以.

【点睛】方法点睛：本题第二问解题关键是合理转化，将问题变成熟悉的极值点偏移问题，从而根据对称化构造及对数均值不等式等方法证出．