2022-2023学年甘肃省武威市古浪县第一中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省武威市古浪县第一中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知函数在处的导数为，则（    ）

A．1 B．2 C． D．6

【答案】B

【分析】先对进行化简变形，转化成导数的定义式，即可解得.

【详解】在处的导数为，

，

则.

故选：B

2．曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出导数，得切线斜率，从而可得切线方程．

【详解】由已知，所以，即，

所以切线方程为，即．

故选：C．

【点睛】本题考查导数的几何意义，解题关键是掌握导数的运算，求出导函数．

3．设随机变量，则（    ）

A．10 B．30 C．15 D．5

【答案】A

【分析】根据二项分布的方差公式进行计算即可.

【详解】由随机变量满足二项分布，

所以，

所以.

故选：A.

4．已知平面外的直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（    ）

A． B． C．与相交但不垂直 D．或

【答案】B

【分析】由确定正确答案.

【详解】由于，即，

由于，所以.

故选：B

5．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．函数在区间上单调递增

B．函数在区间上单调递减

C．函数在处取得极大值

D．函数在处取得极大值

【答案】A

【分析】根据函数的单调性和导数值的正负的关系，可判断A、B；根据函数的极值点和导数的关系可判断C、D的结论．

【详解】在区间上，故函数在区间上单调递增，故A正确；

在区间上，故函数在区间上单调递增，故B错误；

当时，，可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故C错误；

当时，，单调递减；当时，，单调递增，故函数在处取得极小值，故D错误，

故选：A.

6．如图，在四面体中，，，，点在上，点在上，且，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.

【详解】连接，如图所示：

.

故选：A

7．如图，正方体中，，分别是和的中点，则平面与平面所成的角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】以点为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.

【详解】以点为坐标原点，，，的方向

分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为2，则，，，，

∴，.

∴平面的一个法向量为.

设平面与平面的夹角为.

∵是平面的一个法向量，

∴.

故选：B

【点睛】本题考查了空间向量法求二面角，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

8．若函数在区间上不是单调函数，则函数在R上的极小值为（    ）.

A． B． C．0 D．

【答案】A

【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性，求出b的范围，从而求出函数的单调区间，得到是函数的极小值即可．

【详解】解：，

∵函数在区间上不是单调函数，

，

由，解得：或，

由，解得：，

的极小值为，

故选：A.

【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题.

二、多选题

9．下列求导运算正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】直接利用导数的运算性质计算即可.

【详解】，，，.

故选：BCD.

10．如图，在正方体中，、、分别为、、的中点，则（    ）

A． B．平面

C． D．向量与向量的夹角是

【答案】BC

【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算以及空间向量法可判断各选项的正误.

【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则、、、、、、、、、、.

对于A选项，，，则，故A选项错误；

对于B选项，设平面的法向量为，，，

由，可得，取，可得，，

，，平面，平面，故B选项正确；

对于C选项，，，，故C选项正确；

对于D选项，，，，

所以，向量与向量的夹角是，故D选项错误.

故选：BC.

【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：

（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；

（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.

11．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C．事件与事件相互独立 D．，，两两互斥

【答案】AD

【分析】首先由互斥事件的定义，可知D正确，再结合条件概率公式，全概率公式及独立事件的定义判断即可.

【详解】由题意知，，两两互斥，故D正确；

又，，，，

，，故A正确；

，故B错误；

因为，

所以与不是相互独立事件，故C错误．

故选：AD．

12．已知随机变量的取值为不大于的非负整数，它的概率分布列为

其中满足，且．定义由生成的函数，为函数的导函数，为随机变量的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为，此时由生成的函数为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】先求出和，并判断，则排除选项A，判断选项C正确；

再求出的分布列和的解析式，最后求出，则排除选项B；判断选项D正确.

【详解】解：因为，

则，

，

令时，，

故选项A错误，选项C正确；

连续抛掷两次骰子，向下点数之和为，则的分布列为：

故选项B错误；选项D正确.

故选：CD.

【点睛】本题考查导数的运算、由生成的函数求数学期望、求随机变量生成的函数与函数值，是基础题.

三、填空题

13．设随机变量X服从正态分布N(2,9)若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c等于        ．

【答案】2

【详解】∵μ＝2，由正态分布的定义知其图象关于直线x＝2对称，于是＝2，∴c＝2.

14．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是     

【答案】

【分析】由向量在向量上的投影向量为,，计算即可求出答案．

【详解】向量，，

则，，，

所以向量在向量上的投影向量为

,,0,,0,，

故答案为：．

15．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P（X<2）等于        ．

【答案】

【分析】由题意分析X服从超几何分布，直接求概率即可.

【详解】由题意可得： X服从超几何分布，X可取0，1，2.它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，

即，

，

，

于是．

故答案为：.

16．设定义域为的函数满足，则不等式的解集为          ．

【答案】

【分析】根据条件构造函数F（x），求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．

【详解】设F（x），

则F′（x），

∵，

∴F′（x）＞0，即函数F（x）在定义域上单调递增．

∵

∴，即F（x）＜F（2x）

∴，即x＞1

∴不等式的解为

故答案为

【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．

四、解答题

17．已知函数.

(1)求单调区间；

(2)求在区间上的最值.

【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；

(2)最小值为，最大值为4

【分析】（1）先求定义域，再求导，利用导函数的正负求出单调区间；（2）结合第一问求出最小值，再比较端点值求出最大值.

【详解】（1）定义域为R，

，

令得：或，

令得：，

所以单调递增区间为，单调递减区间为

（2）由（1）可知：在处取得极小值，且为最小值，故，

又因为，而，

所以，

所以在区间上的最小值为，最大值为4

18．已知10件产品中有7件正品，3件次品，按不放回抽样，每次抽一个，抽取两次.

（1）求两次都取到次品的概率；

（2）求第二次才取到次品的概率.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）分别求出两次均抽到次品的概率，然后相乘即可得解；

（2）由题意可知第一次抽到次品，从而可得第二次才取到次品的概率.

【详解】（1）设表示第一次取到次品，表示第二次取到次品，则，，

所以.

（2）由（1）知，，所以.

19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，.

(1)求与平面所成角的正弦；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出与平面所成角的正弦；

（2）先求出平面的法向量，再利用点到平面距离的向量求法即可求解.

【详解】（1）解：由题意，底面是矩形，平面

可得：、、两两垂直

所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系

，，是的中点

，，，，

，，

设平面的法向量

则，

令，即

设与平面所成角为，则

（2）解：由（1）知，，，

，

设平面的法向量为，则

，

令，即

设点到面的距离为，则

20．甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛，比赛采取五局三胜制，约定先胜三局者获胜，比赛结束．假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立．

（1）求甲获胜的概率；

（2）设比赛结束时甲和乙共进行了局比赛，求随机变量的分布列及数学期望．

【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为．

【分析】（1）根据题意，结合五局三胜制规则，分别求得比赛三、四和五局且甲获胜的概率进而求得甲获胜的概率；

（2）随机变量的取值为3，4，5，求得相应的概率，得出分布列，利用公式求得期望.

【详解】（1）由题意知，比赛三局且甲获胜的概率，

比赛四局且甲获胜的概率为，

比赛五局且甲获胜的概率为，

所以甲获胜的概率为．

（2）随机变量的取值为3，4，5，

则，，

，

所以随机变量的分布列为

所以．

【点睛】求随机变量的期望与方差的方法及步骤：

1、理解随机变量的意义，写出可能的全部值；

2、求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；

3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望；

4、若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.

21．如图所示的几何体中，是菱形，，平面，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面构成的二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）取中点，连结，设交于，连结，，先证明，

，可证得平面，又，故平面，即得证.

（2）如图所示的空间直角坐标系，求解平面与平面的法向量，利用二面角的向量公式即得解.

【详解】（1）证明：取中点，连结，设交于，连结，，

在菱形中，，

∵平面，平面，∴，

又，，平面，∴平面，

∵，分别是，的中点，∴，，

又，，∴，且，

∴四边形是平行四边形，则，∴平面，

又平面，∴平面平面.

（2）由（1）中证明知，平面，则，，两两垂直，以，

，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.

由及是菱形，

得，，，则，

，，，

，，，

设平面的一个法向量为，

则，即，

取，求得，所以，

同理，可求得平面的一个法向量为，

设平面与平面构成的二面角的平面角为，则

，又，，

∴，

∴平面与平面构成的二面角的正弦值为.

【点睛】本题考查了空间向量和立体几何综合，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

22．已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，证明: （其中e为自然对数的底数）.

【答案】（1）的单调递增区间是，；单调递减区间是；（2）证明见解析.

【分析】由函数确定其定义域为，将代入得到解析式，再求导可得单调区间；（2）当时，根据，即证即可，令，求的导数，利用导数求在定义域上的最小值，若最小值大于零，即得证。

【详解】（1）由题意，函数的定义域为,

当时，，

则                                    

由解得或；

由解得，

所以的单调递增区间是，；单调递减区间是.   

（2）当时，由,只需证明，

令 ，

设，则.

当时，单调递减;

当时，单调递增,

∴当时，取得唯一的极小值，也是最小值，

的最小值是成立.

故成立 .

【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，以及证明不等式成立，在证明不等式成立时，通常都需要整理构造新的函数，便于后续分析证明。