2022-2023学年海南省陵水黎族自治县陵水中学高二下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年海南省陵水黎族自治县陵水中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.

【详解】由题意结合补集的定义可知：，则.

故选：C.

【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.

2．已知复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内对应点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的运算法则即可求解.

【详解】由题得所以.

所以在复平面内对应点在第一象限.

故选:A.

3．某影院有60排座位，每排70个座号，一次报告会坐满了听众，会后留下座号为15的所有听众60人进行座谈，这是运用了

A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法

【答案】C

【详解】由系统抽样的特点可知，

要求留下座位号为15的听众留下进行座谈，

这样选出的样本是符合系统抽样的特点的，

故选C.

4．圆与圆的位置关系是（    ）

A．相交 B．相离 C．内切 D．外切

【答案】C

【分析】先求得两圆的圆心和半径，然后再比较圆心距与两比较和与差的关系判断.

【详解】因为圆的圆心为半径为，

圆的圆心为半径为，

而

所以两圆相内切.

故选：C

【点睛】本题主要考查两圆的位置关系的判断，属于基础题.

5．若是等差数列的前n项和，有，，则（    ）．

A．230 B．420 C．450 D．540

【答案】B

【分析】由等差数列求和公式直接计算可得.

【详解】由等差数列的求和公式得：.

故选：B.

6．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】把曲线转化为，根据曲线表示焦点在轴上的双曲线，得到方程组，求得的取值范围即可.

【详解】解：把曲线转化为，

因为曲线表示焦点在轴上的双曲线，

所以，即，解得.

故选：B.

【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，属于基础题.

7．已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】先求导，进而求出，利用切线与直线平行即可求出.

【详解】由题意可得，

∴所求曲线在点处的切线的斜率为，又切线与直线平行，

∴.

故选：D.

8．下列关于求导叙述正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【解析】利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则可判断各选项的正误.

【详解】对于A选项，，则，A选项错误；

对于B选项，，则，B选项正确；

对于C选项，，则，C选项错误；

对于D选项，，则，，D选项错误.

故选：B.

【点睛】本题考查导数的计算，熟练利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.

二、多选题

9．已知，给出4个表达式，其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】根据数列的概念、通项公式的定义，逐项分析验证即可求解.

【详解】对于A，为奇数时，；为偶数时，，满足条件；

对于B，，为奇数时，；为偶数时，，满足条件；

对于C，，为奇数时，；为偶数时，，满足条件；

对于D，，时，；时，，依次类推，不满足条件.

故选ABC.

10．已知数列是首项为，公比为的等比数列，则（    ）

A．是等差数列 B．是等差数列

C．是等比数列 D．是等比数列

【答案】AD

【分析】由题意得数列的通项公式，然后写出每个选项中对应的数列的通项公式，再判断是等差数列还是等比数列.

【详解】由题意得，所以数列是常数列，故A正确；数列的通项公式为，则，所以数列是公比为的等比数列，B错误；，所以数列是公差为的等差数列，C错误；，所以数列是公比为的等比数列，D正确.

故选：AD

11．如图为函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ）

A．在上单调递增

B．是的极小值点

C．在上单调递减，在上单调递增

D．是的极小值点

【答案】BC

【分析】根据导函数图象与原函数图象的关系，逐一分析选项，即可得答案.

【详解】当时，，当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴是的极小值点，故A错误，B正确；

当时，，在上单调递减，

∴是的极大值点，故C正确，D错误．

故选：BC．

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．函数在处取得极大值

B．方程有两个不同的实数根

C．

D．若不等式在上恒成立，则

【答案】AC

【分析】当时，函数有极大值，故选项A正确；方程不可能有两个不同的实数根，选项B错误；，选项Ｃ正确；，选项D错误.

【详解】易知函数的定义域为，，

令，则，解得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

所以当时，函数有极大值，故选项A正确；

因为，且当时，，当时，，

所以方程不可能有两个不同的实数根，选项B错误；

因为函数在上单调递增，且，

所以，选项Ｃ正确；

不等式在上恒成立即不等式在上恒成立，

令，则，令，

则，解得，

当时，，单调递增；当时，，单调递减.

所以当时，函数有最大值，所以，选项D错误.

故选：AC

【点睛】方法点睛：零点问题的求解常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令得，分析的图象得解）.

三、填空题

13．是等差数列，…的第     项.

【答案】

【解析】求出首项，公差，从而，由此能求出结果．

【详解】解：等差数列，，中，

首项，公差，

，

，．

故是等差数列，，的第100项．

故答案为：．

【点睛】本题考查等差数列的某一项的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．

14．在等比数列中，记前n项和为，且，，则公比          ．

【答案】

【分析】根据等比数列前项和公式列出方程组，解之即可得解.

【详解】依题意，等比数列公比为，首项为，

当时，，即，则，矛盾，故，

所以，两式相除得，即，

所以，则.

故答案为：.

15．已知函数，则          ．

【答案】

【分析】求导后，代入即可.

【详解】，.

故答案为：.

16．若函数有两个不同的极值点，则a的取值范围为          ．

【答案】

【分析】结合已知条件可知有两个不同的实数根，从而利用一元二次函数的判别式即可得解.

【详解】因为，所以，

因为有两个不同的极值点，

所以有两个不同的实数根，

故，即.

从而实数取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

17．在等差数列中，，，，求n及公差d．

【答案】

【分析】利用基本量法得到关于的方程组，解之即可得解.

【详解】因为是等差数列，，，，

所以，则，故，

所以，则，

故.

18．已知函数.

（1）求的最小正周期和单调递减区间.

（2）若，求的值域.

【答案】（1）； ，.（2）

【解析】（1）由得到最小正周期，由，，得到的单调递减区间；（2）由得到，从而得到的值域.

【详解】（1）函数，

最小正周期为，

由，，

得，，

所以的单调递减区间为，.

（2）因为，

所以，

所以，

，

即的值域为.

【点睛】本题考查求正弦型函数的周期，单调区间和值域，属于简单题.

19．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；

(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.

【详解】（1）因为，O是中点，所以，

因为平面，平面平面，

且平面平面，所以平面．

因为平面，所以.

（2）[方法一]：通性通法—坐标法

如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，

则，设,

所以，

设为平面的法向量，

则由可求得平面的一个法向量为．

又平面的一个法向量为，

所以，解得．

又点C到平面的距离为，所以，

所以三棱锥的体积为．

[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角

如图所示，作，垂足为点G．

作，垂足为点F，连结，则．

因为平面，所以平面，

为二面角的平面角．

因为，所以．

由已知得，故．

又，所以．

因为，

．

[方法三]：三面角公式

考虑三面角，记为，为，，

记二面角为．据题意，得．

对使用三面角的余弦公式，可得，

化简可得．①

使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②

将①②两式平方后相加，可得，

由此得，从而可得．

如图可知，即有，

根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，

结合的正切值，

可得从而可得三棱锥的体积为．

【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；

方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.

方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.

20．已知数列为单调递增的等比数列，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合等比数列性质可构造方程组求得，由此可得公比，由等比数列通项公式可求得；

（2）由（1）可得，采用错位相减法可求得结果.

【详解】（1）数列为单调递增的等比数列，，或（舍），

数列的公比，.

（2）由（1）得：，

，，

两式作差得：.

21．已知椭圆的两焦点分别为、，长轴长为6．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若以椭圆的右顶点为焦点的抛物线与过点且斜率为的直线交于两点，求线段的长度．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用椭圆的性质得到，从而求得椭圆C的标准方程；

（2）由（1）可得抛物线的方程，联立直线与抛物线的方程，由韦达定理结合弦长公式即可求得线段的长度.

【详解】（1）因为椭圆的两焦点分别为、，长轴长为6，

所以椭圆的焦点在轴上，，

则，，

则椭圆的标准方程为.

（2）由（1）得，椭圆的右顶点为，则抛物线的方程为，

设，由题意知，直线的方程为，

联立，消去，得，

易得，则，，

故

22．设，曲线在点处取得极值．

(1)求a的值：

(2)求函数的单调区间、极值；并求其区间上的最值．（）

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）依题意得到，从而求得，再进行检验即可得解；

（2）结合（1）中结论，易得的单调区间和极值，进而可得其区间上的最值，由此得解.

【详解】（1）因为，

所以，

因为在点处取得极值，

所以，则，解得，

当时，，

令，得或；令，得；

所以在和上单调递减，在上单调递增，

故在处取得极大值，满足要求，

所以.

（2）由（1）可知，，

且在和上单调递减，在上单调递增，

故的极大值为，

的极小值为，

所以在上单调递增，上单调递减，

因为，，，

又，

所以在上的最大值为，最小值为.

【点睛】易错点睛：本题第1小题非常容易犯的错误是求得参数后，没有进行检验，这样并不能保证求得的参数一定满足条件.