2022-2023学年广东省广州知识城中学高二下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年广东省广州知识城中学高二下学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．用1，2，3，4组成没有重复数字的两位数，这样的两位数个数为（ ）
A．6B．12C．16D．24
【答案】B
【分析】先排个位，再排十位，利用分步乘法计数原理可得答案.
【详解】先排个位，有4种排法，再排十位，有3种排法，
因此共有种排法，
故选：B.
2．一质点A沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则质点A在s时的瞬时速度为（ ）
A．m/sB．5 m/sC．6 m/sD．8 m/s
【答案】C
【分析】求导，再根据导数的定义即可得出答案.
【详解】解：由，
得，
则，
即质点A在s时的瞬时速度为6 m/s.
故选：C.
3．在等差数列中，已知，那么等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】设首项为，公差为，由已知有，所以可得的值．
【详解】解：为等差数列，设首项为，公差为，
由已知有，，
即．
故选：A．
4．某班一天上午有语文、数学、政治、英语、体育5节课，现要安排该班上午的课程表，要求体育课不排在第一节，语文课和数学课相邻，不同的排法总数是（ ）
A．36B．32C．24D．18
【答案】A
【分析】先分体育课排在第二节、第三节、第四节、第五节，再排语文课数学课，最后排余下2门课可得答案.
【详解】体育课排在第二节时，语文课数学课可以排在第三四节或第四五节，余下2门课的没有限制的排法有种；
体育课排在第三节时，语文课数学课可以排在第一二节或第四五节，余下2门课的没有限制的排法有种；
体育课排在第四节时，语文课数学课可以排在第一二节或第二三节，余下2门课的没有限制的排法有种；
体育课排在第五节时，语文课数学课可以排在第一二节或第二三节或第三四节，余下2门课的没有限制的排法有种；
所以一共有.
故选：A.
5．已知的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则的展开式的各项系数之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知条件解出n，令x＝1即可得到答案﹒
【详解】由题知，由组合数性质解得n＝8，
∴＝
令x＝1，得展开式各项系数之和为，
故选：A﹒
6．函数的导函数为，函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．是的零点B．是的极大值点
C．是的极大值点D．是的极大值点
【答案】D
【分析】根据导数与原函数的关系逐个分析的正负，进而得到的正负，结合极值点与零点的定义判断即可
【详解】对A，是的零点，不一定为的零点，故A错误；
对B，因为，在左侧，，故，在右侧，，故，故两侧，故不是的极大值点，故B错误；
对C，因为，在左侧，，故，在右侧，，故，故是的极小值点，故C错误；
对D，因为，在左侧，，故，在右侧，，故，故是的极大值点，故D正确；
故选：D
7．如图，小明从街道的处出发，选择最短路径到达处参加志愿者活动，在小明从处到达处的过程中，途经处的路线有（ ）条
A．5B．6C．10D．18
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出从到的方法种数，从到的方法种数，再利用分步计数乘法原理求解作答.
【详解】小明从处到达处的过程中，途经处需要2步：从到处有种方法，再从到有种方法，
所以小明从处到达处的过程中，途经处的路线有（种）.
故选：D
8．已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=
A．B．7C．6D．
【答案】A
【详解】试题分析：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝
故答案为
【解析】等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想．
二、多选题
9．从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是（ ）
A．若4人中男生女生各选2人，则有18种选法
B．若男生甲和女生乙必须在内，则有12种选法
C．若男生甲和女生乙至少有1人在内，则有15种选法
D．若4人中既有男生又有女生，则有34种选法
【答案】AD
【分析】选项A、B根据组合及分步计数原理的知识可列出表达式，进行计算可得结果；选项C、D可采用间接的方法，先计算出反面一共有多少种，然后用总的种数减去反面的种数即可得到结果．
【详解】对选项A, 依题意，根据组合及分步计数原理，可知一共有种．所以该选项正确；
对选项B, 依题意，要从7名同学中选取4人，而甲乙必须在内，则相当于从5名同学中选取2人，一共有种．所以该选项不正确；
对选项C, 依题意，要从7名同学中选取4人，一共有种，而甲乙都不在内一共有种，
甲与乙至少要有1人在内有种．所以该选项错误；
对选项D, 依题意，假设全是男生一共有种，全是女生的情况没有，
既有男生又有女生一共有种．所以该选项正确.
故选：AD
10．定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）
A．-3是的一个极小值点；
B．-2和-1都是的极大值点；
C．的单调递增区间是；
D．的单调递减区间是．
【答案】ACD
【解析】由导函数与单调性、极值的关系判断．
【详解】当时，，时，
∴是极小值点，无极大值点，增区间是，减区间是．
故选：ACD.
【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，一定要注意极值点两侧导数的符号相反．
11．已知，下列结论正确的有（ ）
A．各项二项式系数和为128B．式子的值为2
C．式子的值为－1094D．式子的值为1093
【答案】ACD
【分析】由二项式系数的性质可判断A；用赋值法令，，可判断BCD
【详解】对于A：二项式的各项二项式系数和为，故A正确；
对于BCD：令，则，
即，
令，则，
即，
令，则，
所以，故B错误；
由，
解得，，故C正确，D正确；
故选：ACD
12．已知函数，则（ ）
A．是奇函数
B．的单调递增区间为和
C．的最大值为
D．的极值点为
【答案】AB
【分析】根据函数奇偶性定义即可判断是奇函数，利用导数研究函数的单调性可知，的单调递增区间为和，单调减区间为，所以无最大值，极大值点为，极小值点为.
【详解】因为对，根据奇函数定义可知函数是上的奇函数，即A正确；
令可得或，即的单调递增区间为和，故B正确；
由B可知，在单调递增，所以无最大值，即C错误；
由得，结合选项B可知，是函数的极大值点，是函数的极小值点，极值点不是点，所以错误.
故选：AB
三、填空题
13．曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【分析】求出导函数，从而可求出，即切线的斜率，从而可得出答案.
【详解】解：由得，，
，则，
即切线的斜率为2，
所以切线方程为，即.
故答案为：.
14．的展开式中的系数为 （用数字作答）．
【答案】-28
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
15．设，且，若能被13整除，则 .
【答案】
【分析】由于，利用二项展开式得能被整除，结合的范围求解作答.
【详解】依题意，，
显然是13的整数倍，则要使能被整除，
当且仅当能被整除，而，，则，解得，
所以.
故答案为：
16．从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中，若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有 个．（用数字作答）
【答案】60
【分析】1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类，分三种情况：没有数字1和3时，只有1和3中的一个时或同时有1和3时，利用排列、组合以及插空法即可求解.
【详解】1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类．
分三类：①没有数字1和3时，满足条件的三位数有个；
②只有1和3中的一个时，满足条件的三位数有2个；
③同时有1和3时，把3排在1的前面，
再从其余4个数字中选1个数字插入3个空中的1个即可，
满足条件的三位数有·个．
所以满足条件的三位数共有(个)．
故答案为：60
四、解答题
17．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)某女生一定担任语文课代表；
(2)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表.
【答案】(1)840种；
(2)3360种.
【分析】（1）除去一定担任语文科代表的女生后，选4人担任另4门课代表作答.
（2）先安排不担任数学科代表的男生，再选4人担任另4门课代表作答.
【详解】（1）除担任语文科代表的女生后，从余下7人中任取4人担任除语文课代表外的另4门课代表，
所以不同选法有（种）.
（2）依题意，排指定男生有种方法，再从余下7人中任取4人担任另4门课代表，有种方法，
所以不同选法有（种）.
18．已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56.
(1)求展开式中所有二项式系数的和；
(2)求展开式中的常数项.
【答案】(1)1024
(2)180
【分析】（1）根据前三项的二项式系数之和列出方程，求出，进而求出所有二项式系数的和；
（2）利用展开式的通项公式，令的次数为0，求出，得到答案.
【详解】（1）前三项的二项式系数和为，
解得或-11（舍去），
中，展开式中所有二项式系数的和为；
（2）的展开式通项公式为，
令得，故.
19．设函数.
(1)求在处的切线方程；
(2)求的单调区间.
【答案】(1)
(2)单调递增区间，，，单调递减区间
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导，结合导数与函数单调性的关系求解即可.
【详解】（1）解：函数，函数的导数为．
，，
在处的切线方程：，即．
（2）解：令，，解得，．
当时，可得，所以的单调递减区间，
或，可得，所以函数单调递增区间是，，．
综上，的单调递减区间，单调递增区间是，，
20．已知公差不为0的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，结合等差数列的性质与等比中项的性质求解即可；
（2）根据等差数列的前项和公式可得，再裂项求和求解即可
【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，即，由，，成等比数列，得，即，又得，所以，，故数列的通项公式为．
（2）由，得，所以，

．
21．已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)在内存在x，使不等式成立，求实数a的取值范围；
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
【分析】（1）求导，利用导数讨论函数的单调性，由单调性判断极值情况，然后可得；
（2）将问题转化为，结合（1）可知.
【详解】（1）∵，定义域为
∴
设，可得或（舍），
由，得；由，得，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
当x变化时，，的变化情况如下表：
当时，有极小值，并且极小值为，无极大值.
（2）在内存在x，使不等式成立
等价于，由（1）知
所以，即a的取值范围为
22．已知数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列及数列的前项和的定义，结合等差中项及等差数列的通项公式即可求解；
（2）利用（1）的结论及错位相减法即可求出数列的前项和.
【详解】（1）由，得，
所以数列是以为公差的等差数列，
又，
所以，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，
所以，
所以
由得
即
所以
1
-
0
+
单调递减
单调递增