2022-2023学年广东省佛山市南海区高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年广东省佛山市南海区高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．在等差数列中，若，则（    ）

A．10 B．15 C．20 D．25

【答案】B

【分析】利用等差数列的性质及等差数列求和公式即可求解.

【详解】等差数列中，，所以

故选：B

2．设曲线在点P(3，2)处的切线与直线平行，则=

A．2 B．－2 C． D．

【答案】D

【分析】根据除法求导运算，求得曲线的导函数，进而得到直线的斜率．由两条直线平行，可得两条直线斜率相等，因而求得a的值．

【详解】对曲线求导，可得 ，在点P处切线的斜率为

直线方程可化为y＝ ax＋1

若与直线平行，则两条直线的斜率相等

所以

所以选D

【点睛】本题考查了曲线求导的基本运算，求过曲线上一点的切线方程求法，属于基础题．

3．已知数列满足，若，则（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】根据递推关系分别求出，故可得数列的周期，从而可求解.

【详解】因为，，

所以，，，

所以数列的周期为3.

所以.

故选:D.

4．已知，则x的值是（    ）

A．3 B．6 C．9 D．3或9

【答案】A

【分析】根据组合数的性质求解即可.

【详解】由，

得或，

解得或，

当时，，不符合组合数的定义，所以舍去.

故选：A.

5．数列中，，（为正整数），则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】结合递推式特征，利用累乘法算出，进而可得答案.

【详解】因为，

所以，

所以，

故选：A

6．若5名学生要去两个地方参加志愿者活动，每人只能去一个地方，每个地方至少要有一人前往，则不同的分配方案有（    ）种.

A．10 B．15 C．30 D．60

【答案】C

【分析】把5名同学分成2组，再安排到两个地方，按照分步计数相乘即可求解.

【详解】把5名同学分成2组有种方法，

再把每一种分组安排到两个地方，分配方式有种，

所以不同的分配方案有30种，

故选：C

7．设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】Sn＝＝＝＝3－2an.

8．拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】求导，设为“拉格朗日中值点”，由题意得到，构造，研究其单调性，结合零点存在性定理得到答案.

【详解】，令为函数在上的“拉格朗日中值点”，

则，

令，则在上恒成立，

故在上单调递增，

又，，

由零点存在性定理可得：存在唯一的，使得.

故选：B

二、多选题

9．下列各式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据求导公式即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A，由于为常数，所以，故A错误，

对于B，，B正确，

对于C, ,C错误 ，

对于D，，D正确，

故选：BD

10．在的展开式中，下列叙述中正确的是（    ）

A．二项式系数之和为128

B．各项系数之和为1

C．常数项为15

D．二项式系数最大的项是第3项和第4项

【答案】AB

【分析】根据展开式的二项式系数的性质，可判定A，令，求得展开式的各项系数和，可判定B，求得展开式的通项可判定C，利用二项式系数最大为中间项可判断D.

【详解】对于A，的展开式中，二项式系数的和为，故A正确；

对于B，令，可得展开式的各项系数的和为，故B正确；

对于C，展开式的通项为，

因为，所以，所以展开式没有常数项，故C错误；

对于D，的展开式共有8项，二项式系数最大的项是第4项和第5项，故D错误.

故选：AB

11．已知等比数则的公比为，前项积为，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】利用数列的基本性质可得出，，求出的取值范围，可判断AB选项；利用等比数列的性质可判断CD选项.

【详解】因为数列等比数则的公比为且，则，

所以，，，

又因为，则，所以，，从而，

故对任意的，，由可得，A对B错；

，，即，C对D错.

故选：AC.

12．（多选）已知函数，则以下结论正确的是（    ）

A．函数的单调减区间是

B．函数有且只有1个零点

C．存在正实数，使得成立

D．对任意两个正实数，，且，若则

【答案】ABD

【分析】先求导数,再解不等式,即可判断A;先构造函数，再利用导数研究其单调性，最后结合零点存在定理判断B;先分离，再利用导数研究函数最值，即可判断C; 先构造函数，再利用导数研究其单调性，最后利用单调性证不等式，即可判断D.

【详解】A选项，因为，所以，

由得，；由得，，

因此函数在上单调递减，在上单调递增；故A正确；

B选项，令，

则显然恒成立；

所以函数在上单调递减；

又，，

所以函数有且仅有一个零点；故B正确；

C选项，若，可得，

令，则，

令，则，

由得；由得；

所以函数在上单调递增，在上单调递减；

因此；所以恒成立，即函数在上单调递减，

所以函数无最小值；

因此，不存在正实数，使得成立；故C错；

D选项，令，则，则；

令，

则，

所以在上单调递减，则，即，

令，由，得，则，

当时，显然成立，

所以对任意两个正实数，，且，若则.故D正确.

故选：ABD

【点睛】本题考查利用导数研究函数单调区间、利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式能成立问题，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.

三、填空题

13．已知一物体的运动方程是s＝24t－3t2(s的单位为m， t的单位为s)，则物体在t＝       s时的瞬时速度为12 m/s.

【答案】2

【分析】由平均速度的概念求得瞬时速度，代入已知可得，

【详解】在t到t＋Δt这段时间内，物体的平均速度为＝＝＝24－6t－3Δt.当Δt无限趋近于0时，无限趋近于24－6t，由题意得24－6t＝12，解得t＝2s.

故答案为：2.

14．的展开式中的系数为      .（用数字作答）

【答案】25

【分析】把按照二项式定理展开，可得展开式中的系数．

【详解】的展开式中的系数为，

故答案为：25

15．记为等差数列的前n项和．若，则          ．

【答案】

【分析】因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案.

【详解】是等差数列，且，

设等差数列的公差

根据等差数列通项公式：

可得

即：

整理可得：

解得：

根据等差数列前项和公式：

可得：

.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

16．已知函数写出一组满足的，的整数值      .

【答案】（答案不唯一）

【分析】利用导数研究函数的单调性，极值，最值即可求解.

【详解】当时，，求导，

令，求导

所以在上单调递增，且，

故有唯一的零点，即有唯一的零点，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，即成立.

故答案为：（答案不唯一）

四、解答题

17．已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

【答案】(1)单调递减区间为，；单调递增区间为．

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，解出函数的零点，由导函数的零点对函数的定义域分段，判断导函数在各区间段内的符号，从而得出原函数的单调区间；

（2）由（1）求出的函数的单调区间，分析函数在区间,上的单调性，从而求出函数在区间,上的最大值，即可求解，进而可求解最小值.

【详解】（1）由，得：．

令，即．解得：或．

再令，即．解得．

所以该函数的单调递减区间为，；

单调递增区间为．

（2）令，得到或（舍．

由（1）知该函数在,上递减，在,上递增，

所以最大值为，

所以．

故最小值为，

所以函数的最小值为．

18．有2名男生和3名女生排成一排进行拍照，根据下列不同的要求，求不同的排队方法总数.

(1)其中甲一定要站在最左边；

(2)其中甲不在最左边，乙不在最右边；

(3)其中2名男生要相邻，女生甲、乙不相邻；

【答案】(1)24

(2)78

(3)24

【分析】（1）根据特殊元素优先安排法即可求解，

（2）根据间接法，先任意排，在排除不符合要求的即可，

（3）根据相邻捆绑和不相邻插空法即可求解.

【详解】（1）甲在最左边，则剩下的4个人全排列即可，共有种方法，

（2）其中甲在最左边时，有种排法，乙在最右边有，

5个人全排列有，甲在最左边且乙在最右边时有

所以甲不在最左边，乙不在最右边的排队方法一共有；

（3）将两名男生捆绑成一个整体和第三个女生全排列，此时形成3个空，

将女生甲乙安排在这3个空中，有，两个男生解绑，有，

所以总的排法为

19．在单调递增的等差数列中，，，成等比数列，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前项和为，，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）设等差数列的公差为，结合题意求得，进而求得，即可求解；

（2）结合（1）求得，从而求得的通项公式，再根据裂项相消即可证明结论．

【详解】（1）设等差数列的公差为，由已知得，

即，即

化简得，又，解得，

又，所以，，

所以．

（2）结合（1）得，

则，

所以.

20．为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.

(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.）

(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？

【答案】(1)；

(2)当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.

【分析】（1）分以及，分别求解得出表达式，写成分段函数即可；

（2）当时，求导得出.然后根据基本不等式求出时，的最值，比较即可得出答案.

【详解】（1）由题意，当时，；当时，.

所以.

（2）当时，，令，解得.

易得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，

.

当时，，

当且仅当，即时取等号.

综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.

21．已知数列的首项.

(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①；②是等差数列；③；

(2)利用（1）中的条件，设，，求数列的前项和.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）选①②作条件，③作为结论：由已知求得公差，进而得到通项公式，即可证得结论；

选①③作条件，②作为结论，由已知可求得，即可证得是等差数列；

选②③作条件，①作为结论，由已知可求得，代入求得，即可证得；

（2）利用错位相减法可求和.

【详解】（1）选①②作条件，③作为结论；

设等差数列的公差为，所以，所以

又，所以，所以

所以.

选①③作条件，②作为结论；

因为，

两式相减可得，即

因为，所以是等差数列.

选②③作条件，①作为结论；

设等差数列的公差为，，所以，

所以，即

解得，所以

（2）由（1）知，

两式相减得：

所以

22．已知函数.

(1)证明：函数在定义域内存在唯一零点；

(2)设，试比较与的大小，并说明理由：

(3)若数列的通项，求证.

【答案】(1)证明见解析

(2)，理由见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）求出导函数，分析函数的单调性，结合零点存在性定理即可得证；

（2）先判断出，分析即证.

令，则，设，结合（1），即可证明；

（3）由（2）知，若，总有成立.

不妨令，得到.利用累加法即可证明.

【详解】（1）函数，定义域为

求导得，所以函数在上单调递增，

当时，，所以函数在定义域内存在唯一零点.

（2），理由如下：

要证，只需证，

即证，即证.

令，则，从而即证.

设，由（1）知以函数在区间上单调递增.

所以，即成立.

故有.

（3）由（2）知，若，总有成立.

不妨令，则有.

由于，所以，

所以，

所以，

即有成立.

【点睛】思路点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；

（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；

（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；

（4）利用导数证明不等式．