2022-2023学年广东省东莞实验中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年广东省东莞实验中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．4名同学参加跑步、跳远、跳高三个项目，每人限报1项，共有（  ）种报名方法.

A．64种 B．81种 C．32种 D．12种

【答案】B

【分析】利用分步乘法原理即得解.

【详解】每名同学有3种选法，根据分步乘法原理得共有种报名方法.

故选：B

2．设，若，则（    ）

A．13 B．14 C．15 D．16

【答案】C

【分析】根据展开式的通项公式可得，根据题意结合组合数的性质运算求解.

【详解】因为的展开式的通项公式为，

可得，

又因为，即，所以.

故选：C.

3．函数的图象在处的切线斜率为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】求出函数的导函数，然后根据导数的几何意义可得切线的斜率．

【详解】∵，

∴，

∴，

∴函数的图象在处的切线斜率为1．

故选B．

【点睛】根据导数的几何意义可得导函数在时的函数值即为曲线在点处的切线的斜率，解题时注意对题意的理解，属于简单题．

4．设随机变量服从两点分布，若，则（    ）

A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7

【答案】D

【分析】由题意可得，再结合，可求出，从而可求出

【详解】由题意得，

因为，

所以解得，

所以，

故选：D

5．甲、乙两位游客慕名来到江城武汉旅游，准备分别从黄鹤楼、东湖、昙华林和欢乐谷4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择黄鹤楼，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据独立概率乘法公式结合条件概率公式运算求解.

【详解】设事件M：甲选择黄鹤楼，事件N：乙选择黄鹤楼，

可知，

因为事件：甲和乙均没有选择黄鹤楼，

可得，所以，

又因为事件：甲和乙至少一人选择黄鹤楼，且甲和乙选择的景点不同，

自然，

所以.

故选：A.

6．已知，，，则以下不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可

【详解】，，，

令，则，

当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

因为，

所以，，

因为，

所以，

所以

故选：C

7．四色定理又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”．某校数学兴趣小组在研究给四棱锥的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的面）不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂法有（    ）

A．36种 B．72种 C．48种 D．24种

【答案】B

【分析】利用分步乘法原理和分类加法原理分析求解

【详解】依次涂色，底面ABCD的涂色有4种选择，侧面PAB的涂色有3种选择，侧面PBC的涂色有2种选择．

①若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色相同，则侧面PAD的涂色有2种选择；

②若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色不同，则侧面PCD的涂色有1种选择，侧面PAD的涂色有1种选择．

综上，不同的涂法种数为．

故选：B．

8．已知函数，若函数有三个极值点，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】要使有三个极值点，则有三个变号实根，转化为方程有两个不等于1的变号实根，令，通过研究的最小值可得的取值范围.

【详解】，求导，得，

令，得，或.

要使有三个极值点，则有三个变号实根，

即方程有两个不等于1的变号实根.

，令，

则，令，得.

易知，且，；，.

所以，当时，方程即有两个变号实根，

又，所以，即.

综上，的取值范围是.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于把“有三个极值点”转化为方程“方程有两个不等于1的变号实根”.

二、多选题

9．已知二项式的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为32

C．展开式中的常数项为540

D．展开式中二项式系数最大的项是第四项

【答案】ABD

【分析】令，可求出，然后再结合组合的知识、二项式系数的性质、系数的变化规律逐项判断．

【详解】令，得，得，故A正确；

展开式中所有奇数项的二项式系数和为，故B正确，

由上得二项式为，常数项为，故C错误；

最大的二项式系数为，即第四项的二项式系数最大，故D正确；

故选：ABD．

10．已知函数，则下列选项正确的是（       ）

A．函数在处取得极小值

B．

C．若函数在上恒成立，则

D．函数有三个零点

【答案】AD

【分析】利用函数的极值与导数的关系可判断A选项；利用函数的单调性可判断B选项；求出函数在上的最大值，即可求出的取值范围，可判断C选项；数形结合可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为，该函数的定义域为，则，

由可得或，由可得，

所以，函数的减区间为、，增区间为，

所以，函数在处取得极小值为，A对；

对于B选项，因为函数在区间上单调递减，且，则，B错；

对于C选项，因为函数在上递增，在上递减，

故当时，，

因为函数在上恒成立，则，C错；

对于D选项，由A选项可知，函数的极大值为，

由可得，

故函数的零点个数等于直线与函数图象的交点个数，如下图所示：

由图可知，直线与函数图象有三个交点，

因此，函数有三个零点，D对.

故选：AD.

11．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】根据题意，分别求出再根据离散型随机变量期望公式进行求解，求出，选出符合的选项即可.

【详解】由题可知，，

，

则

解得，由可得，

故选：AC

【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于中档题.

12．“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有．该结论可构造函数并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请根据以上材料，判断下列命题中正确的命题是（    ）

A．， B．，，

C．， D．，

【答案】ABD

【分析】利用可得，由知A正确；由知B正确；利用反例可说明C错误；令，利用导数可求得，知D正确.

【详解】对于A，当时，由得：，即；

，A正确；

对于B，由得：，即，，B正确；

对于C，由得：；

当时，，此时，

则，即不成立，C错误；

对于D，令，则，

令，则，在上单调递增，

又，，，使得，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，；

由得：，，，

，即，，D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．函数的单调递增区间为      .

【答案】

【分析】求出导函数，解不等式即可得到.

【详解】由题意知，定义域为R，，

且在R上恒成立，

所以，函数的单调递增区间为.

故答案为：

14．的展开式中含项的系数是       ．

【答案】3

【分析】根据分步计数乘法原理求解即可.

【详解】要得到项的系数，分成两类，

（1）两个二次项一个常数项，即，

（2）两个一次项一个二次项，即，

故含项的系数是.

故答案为：3

15．现有8道四选一的单选题，小明同学对其中6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率只有0.25，小明同学从这8道题这随机选择1题，则小明做对该题的概率为        ．

【答案】/

【分析】利用全概率公式求解即可.

【详解】设事件A表示“考生答对”,事件B表示“考生选到有思路的题”.

则该考生从这8道题中随机选1题,则他答对该题的概率为:

故答案为:

16．剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片，直径，需要剪去菱形，可以经过两次对折、沿裁剪、展开后得到若，要使镂空的菱形面积最大，则菱形的边长          ．

【答案】

【分析】设圆心为，结合已知条件，求出与的关系式，然后利用导函数即可求解菱形面积最大值，进而可得到答案.

【详解】设圆心为，由圆的性质可知，，，，，共线，，，，，共线，

由菱形性质可知，，

不妨令，，且半径为5，

则，即，，

故，

不妨令，，

则，

从而；，

故在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，在上取最大值，

从而要使镂空的菱形面积最大，则，

由可知，，

则此时.

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数．

(1)求函数的极值；

(2)求函数在区间上的最值．

【答案】(1)极大值是，极小值是0

(2)最大值为，最小值为0

【分析】（1）先求导，确定单调区间，即可求出极值；

（2）由（1）中极值和端点值比较即可求出最值.

【详解】（1）．

令，得或，

令，得，

所以的单调递增区间是，单调递减区间是．

所以的极大值是，的极小值是．

（2）因为，

由（1）知，的极大值是，的极小值是，

所以函数在区间上的最大值为，最小值为0．

18．不透明袋中装有质地，大小相同的个红球，个白球，若从中不放回地取出个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为．

(1)求白球的个数；

(2)若有放回的取出两个球，记取出的红球个数为，求的分布列、数学期望和方差．

【答案】(1)

(2)分布列答案见解析，，

【分析】（1）在第一个取出的球是红球的前提下，袋中还有个红球，个白球，然后利用古典概型的概率公式可得出关于的等式，即可解得的值；

（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得、的值.

【详解】（1）解：因为第一个取出的球是红球的前提下，袋中还有个红球，个白球，

则第二个取出的球是白球的概率为，解得.

（2）解：由题意可知，袋中有个红球，个白球，

若有放回的取出两个球，记取出的红球个数为，则的可能取值有、、，

则，，，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

所以，，

.

19．已知函数.

(1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求实数a的值；

(2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围.

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）由题意，直线的斜率为，结合垂直直线斜率积为与导数的几何意义求解即可；

（2）由题意当时，，即恒成立，再构造函数，求导分析函数的最大值即可.

【详解】（1）由题意知，直线的斜率为 ，且，故切线斜率，故.

（2）由题意知，.因为函数在上单调递增，

所以当时，，即恒成立.

令，则，时，，时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，则，所以，即.

故实数a的取值范围．

20．某公司计划在年年初将万元用于投资，现有两个项目供选择．

项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；

项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、、．

针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.

【答案】选择项目一较好，理由见解析

【分析】设投资项目一、二获利分别为、万元，求出、、、，比较、的大小，以及、的大小，即可得出结论.

【详解】设投资项目一、二获利分别为、万元，

则的可能取值有、，且，，

的可能取值有、、，且，，，

所以，，，

所以，，

，

，则，

这说明虽然项目一、项目二获得利润的期望相等，但项目一更稳妥，因此，选择项目一较好.

21．已知函数．

(1)若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；

(2)设是函数的两个极值点，证明：．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）利用导数对在定义域上的零点分布进行分类讨论即可求解；

（2）将转化为，再根据，即证，构造函数，证明其小于0即可.

【详解】（1），     

∵函数存在单调递减区间，∴在上有解，

∵，设，则，

当时，显然在上有解；

当时，，，

由韦达定理知，，

所以必有一个正根，满足条件.

当时，有，解得，

综上：

故实数的取值范围为．

（2）由题意可知，，

∵有两个极值点，

∴是的两个根，则，   

∴

，

∴要证，即证，

即证，即证，即证，    

令，则证明，    

令，则，

∴在上单调递增，

则，即，    

所以原不等式成立．

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

22．某校在课外活动课上连续开展若干项体育游戏，其中一项为“扔沙包”的游戏．其规则是：将沙包扔向指定区域内，该区域共分为A，B，C三个部分．如果扔进A部分一次，或者扔进B部分两次，或者扔进C部分三次，即视为该项游戏过关，并进入下一项游戏．小杨每次都能将沙包扔进这块区域内，若他扔进A部分的概率为p，扔进B部分的概率是扔进A部分的概率的两倍，且每一次扔沙包相互独立．

(1)若小杨第二次扔完沙包后，游戏过关的概率为，求p；

(2)设小杨第二次扔完沙包后，游戏过关的概率为；设小杨第四次扔完沙包后，恰好游戏过关的概率为，试比较与的大小．

【答案】(1)

(2)当时，；

当时，；

当时，．

【分析】（1）由题意可知，恰好游戏过关包含“第一次未扔中A部分，第二次扔中A部分”和“第一次与第二次均扔中B部分”两个事件，然后求解即可;

（2）第四次扔完沙包后，恰好游戏过关后游戏过关需前三次扔完后有一次扔进B部分且有两次扔进C部分,根据独立重复事件的概率计算即可.

【详解】（1）解：扔进B部分的概率为，扔进C部分的概率为，且．

（1）小杨第二次扔完沙包后，恰好游戏过关包含“第一次未扔中A部分，第二次扔中A部分”和“第一次与第二次均扔中B部分”两个事件，则概率为，

由，得，解得或者，

又，

所以．

（2）第四次扔完沙包后，恰好游戏过关后游戏过关需前三次扔完后有一次扔进B部分且有两次扔进C部分，

因此，

又，

，又，所以，

当时，；

当时，；

当时，．