2022-2023学年陕西省安康市石泉县江南中学高二下学期期中数学（文）试题含答案

这是一份2022-2023学年陕西省安康市石泉县江南中学高二下学期期中数学（文）试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省安康市石泉县江南中学高二下学期期中数学（文）试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式得到集合，，然后求交集即可.【详解】，.故选：A.2．已知复数满足，则的虚部为（    ）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】化简，再求出即得解.【详解】由，得，从而，所以的虚部为1．故选：A3．是直线与圆相切的（    ）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】判断“”和“直线与圆相切”之间的逻辑推理关系，可得答案.【详解】当时，直线为，则的圆心到直线的距离为，故此时直线和圆相切；当直线与圆相切时，则，解得或，推不出一定是，故是直线与圆相切的充分不必要条件，故选：B4．将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据三角函数图象变换规律求解即可【详解】将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，所得图象表示的函数是，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是.故选：D5．函数的大致图象为A． B．C． D．【答案】D【解析】根据函数奇偶性排除A、C.当时排除B【详解】解：由可得所以函数为偶函数，排除A、C.因为时，，排除B.故选：D.6．甲､乙､丙､丁4名学生参加数学竞赛，在成绩公布前，4人作出如下预测：甲说：乙第一；乙说：丁第一；丙说：我不是第一；丁说：乙第二.公布的成绩表明，4名学生的成绩互不相同，并且有且只有1名学生预测错误，则预测错误的学生是（    ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【分析】分别假设甲､乙､丙､丁的预测错误，看能否推出与题意相矛盾的情况，即可判断答案.【详解】若甲预测错误，则其余三人预测正确，即丁第一，乙第二，丙第三或第四，甲第四或第三，符合题意；若乙预测错误，则其余三人预测正确，则甲和丁的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；若丙预测错误，则其余三人预测正确，则甲和丁的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；若丁预测错误，则其余三人预测正确，则甲和乙的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；故选：A7．如图，在直棱柱中，，，E为BC的中点，F为的中点，则异面直线AF与所成角的正弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接BF，证明，在中计算即可作答.【详解】在直棱柱中，连接BF，如图，因E为BC的中点，F为的中点，则，则四边形为平行四边形，即有，因此是异面直线AF与所成角或其补角，因平面，平面，则，又，，平面，即有平面，平面，即，令，则，所以异面直线AF与所成角的正弦值为.故选：B8．设，分别是双曲线的左、右焦点．为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为（    ）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】利用双曲线的定义及标准方程，得到，，结合勾股定理表示出和 的关系即可.【详解】利用双曲线的定义及标准方程，得到,又，因为，所以；故，即故答案为：9．若某程序框图如图所示，已知该程序运行后输出的值是，则判断框的条件可能是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据程序框图与数列裂项求和，即可得出判断框的条件.【详解】由题意，假设先执行若干次循环：，；，；，，…，，；，；结束循环，再分析选项，只有B符合题意，故选：B.10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2023这2023个数中，能被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（    ）A．56 B．57 C．58 D．59【答案】C【分析】由题意能被5除余1且被7除余1，即能被35除余1的数，从而可得数列的通项，再结合条件列不等式，即可得到结果.【详解】因为能被5除余1且被7除余1，即能被35除余1的数，所以，，，即是以1为首项，35为公差的等差数列，即.由题意知且，得，解得，，所以此数列的项数为58项.故选：C.11．若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（    ）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】先分析出当切线与直线平行时，点到直线距离最小，设出切点，求导后利用斜率得到切点坐标，求出答案.【详解】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离最小.设切点为，所以切线斜率为，由题知，解得或（舍），，此时点到直线距离.故选：D12．已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，是边长为的等边三角形，若三棱锥体积的最大值是，则球的表面积是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设球O的半径为R，的外心为，由题意可得外接圆的半径及面积，高的最大值为，代入体积公式，结合题意可求得R值，代入球的表面积公式即可得答案.【详解】设外接圆的半径为，则，设球的半径为，当三棱锥的高最大时，体积取最大值，高的最大值.所以，即，解得.故球的表面积是．故选：A. 二、填空题13．设满足约束条件，则的最小值为          .【答案】【分析】根据约束条件，画出可行域，由目标函数求出最小值．【详解】画出，满足约束条件的可行域如下图：，可得点，当直线过点时，取最小值．故答案为：．  14．已知向量与的夹角为，则          .【答案】【分析】由向量的模长公式和数量积的定义求解即可.【详解】因为向量与的夹角为，所以，.故答案为：.15．记为数列的前项和.若，则          .【答案】【分析】根据数列通项和前项和之间的关系判断出数列为等比数列，即可求得答案．【详解】，令得当时，，两式相减可得数列是首项为，公比为2的等比数列，.故答案为：.16．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值          .【答案】4【分析】由已知可得，利用基本不等式可求的最小值．【详解】设圆心为，则为抛物线的焦点．设，则，要使最小，则需最大，，且，，当且仅当，即时取等号，的最小值是4．故答案为：4．     三、解答题17．的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，求的面积.【答案】(1)(2) 【分析】（1）应用正弦定理边角关系及三角恒等变换得，再由三角形内角性质得，进而确定角的大小；（2）根据余弦定理求，再应用三角形面积公式求面积即可.【详解】（1）由结合正弦定理可得，整理得，，.（2），即，解得，的面积为.18．2023年春节期间，科幻电影《流浪地球2》上映，获得较好的评价，也取得了很好的票房成绩，某平台为了解观众对该影片的评价情况（评价结果仅有“好评”“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取400人进行调查，数据如下表所示（单位：人）： 好评差评合计男性 80200女性90  合计  400(1)把2×2列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？(2)从随机抽取的400人中所有给出“好评”的观众中采用按男女分层抽样的方法随机抽取7人参加平台和影片出品方组织的活动，为了方便活动，现从7人中随机选出2人作为正、副领队，求所选出的正、副领队是一男一女的概率．参考公式：，其中，参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，有99.5%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”(2) 【分析】（1）由题意进行数据分析，完善2×2列联表，套公式求出，对照参数下结论；（2）列举基本事件，利用古典概型的概率公式直接求解.【详解】（1）2×2列联表补充完整如下： 好评差评合计男性12080200女性90110200合计210190400，因此有99.5%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”.（2）采用分层抽样的方法从男性给出“好评”者中抽取的人数为人，记作a，b，c，d；从女性给出“好评”者中抽取的人数为 人，记作A，B，C，所以从7人中抽取2人包含的基本事件有ab，ac，ad，aA，aB，aC，bc，bd，bA，bB，bC，cd，cA，cB，cC，dA，dB，dC，AB，AC，BC，共21个，其中包含一男一女的基本事件有aA，aB，aC，bA，bB，bC，cA，cB，cC，dA，dB，dC，共12个，故所求概率．19．如图（1），在等腰梯形中，，，为中点.以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图（2）.（1）求证：；（2）若，求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）根据已知的长度和平行关系可证得均为等边三角形，取中点，根据等腰三角形三线合一性质可证得，，则根据线面垂直判定定理证得平面，由线面垂直性质定理可得结论；（2）利用体积桥的方式可构造出关于所求距离的方程，解方程求得结果.【详解】（1）在图中，，，为中点四边形是菱形，且是等边三角形，即图中是等边三角形连结，    四边形为平行四边形则，即是等边三角形设中点为，连结，，则，，平面    平面平面    （2）由（1）知：又        又，，平面平面，即为三棱锥的高设点到平面的距离为在中，，    由得：，解得：点到平面的距离为【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、点到平面距离的求解问题；证明线线垂直关系时，通常需要采用先证线面垂直的方式，再利用线面垂直性质证得结论；求解点到平面距离时，常采用体积桥的方式，构造出关于所求距离的方程来求得结果.20．已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)不过原点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.【答案】(1)(2)最大值为，方程为 【分析】（1）由焦点和离心率即可知，从而可得椭圆方程；（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，由点到直线的距离公式结合韦达定理，把面积表示为函数，再用基本不等式即可求解.【详解】（1）由已知得，由离心率，得，椭圆的方程为.（2）设，联立可得，，直线与椭圆交于两点，，解得，由韦达定理可得，由弦长公式可得，点到直线的距离为，，当且仅当，即时取等号，面积的最大值为，此时直线的方程为.21．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若恒成立，求的取值范围；(3)证明：.【答案】(1)答案见解析(2)(3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调性即可；（2）分离参数，令，只需，根据函数的单调性求出的范围即可；（3）问题转化为只需证明，由（2）可知在单调递减，，从而证明结论成立．【详解】（1）.若，则，此时在上单调递增；若，当时，；当时，，此时在上单调递增，在上单调递减.（2）的定义域为，若恒成立，则恒成立，即恒成立，令，只需，又，令得，当时，单调递增；当时，单调递减；，解得.（3）要证明，只需证明，即，即只需证明，由（2）可知在单调递减，，故，.22．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为且过点．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，且曲线的极坐标方程．（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于不同的两点，，求的最大值．【答案】（1）（为参数）；；（2）.【分析】（1）根据直线参数方程的定义求出直线的参数方程，再根据公式将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义计算可得；【详解】解：（1）直线的参数方程为（为参数）；曲线的极坐标方程，所以所以曲线的直线坐标方程为．（2）将代入，并整理得．设、对应的参数分别为，，则．因为在圆的内部，所以与异号，于是．考虑到，则当时，．23．已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据绝对值的几何意义分类讨论去绝对值符号，分别解不等式组，再将解集求并集即可；（2）利用绝对值三角不等式得，然后根据题意得，解含绝对值的不等式即可求出结果.【详解】（1）当时，，当时，，解得，此时；当时，，整理得，该式恒成立，此时；当时，，解得，此时，综上可知，不等式的解集为.（2）若满足题意，必须，等价转化为即解得，故的取值范围为.