2022-2023学年四川省成都东部新区养马高级中学高二下学期期中考试数学（理）试题含答案

这是一份2022-2023学年四川省成都东部新区养马高级中学高二下学期期中考试数学（理）试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年四川省成都东部新区养马高级中学高二下学期期中考试数学（理）试题

一、单选题
1．已知集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式得集合，再由交集定义求解．
【详解】，∴．
故选：B．
【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握一元二次不等式的解法是解题关键．本题属于基础题．
2．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是

A．甲所得分数的极差为22
B．乙所得分数的中位数为18
C．两人所得分数的众数相等
D．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数
【答案】D
【分析】根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.
【详解】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A正确；乙所得分数的中位数为18，B正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C正确；甲的平均分为，乙的平均分为
，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D错误，故选D.
【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型.
3．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（    ）
A． B． C．-1 D．1
【答案】A
【分析】根据投影的定义和向量的数量积求解即可．
【详解】解：∵，，
∴向量在向量方向上的投影，
故选：A．
【点睛】本题主要考查向量的数量积的定义及其坐标运算，属于基础题．
4．若实数满足约束条件，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出的最大值．
【详解】作出实数，满足约束条件表示的平面区域，如图所示．
由可得，则表示直线在轴上的截距，纵截距越大，越小．
作直线，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点时，最大，最小．
由可得，此时，
故选．

【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
5．若,且,,则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用两角和差的正弦公式将β＝α-(α﹣β)进行转化求解即可．
【详解】β＝α-(α﹣β)，
∵＜α，＜β，β＜，
∴α，
∵sin（）0，
∴＜0，则cos（），
∵sinα，
∴cosα，
则sinβ＝sin[α-(α﹣β)]＝sinαcos（α﹣β）-cosαsin（α﹣β）（），
故选B
【点睛】本题主要考查利用两角和差的正弦公式,同角三角函数基本关系，将β＝α-(α﹣β)进行转化是解决本题的关键，是基础题
6．已知函数则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．
【详解】解：，（1），
，
故选．
【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用代入法是解决本题的关键．属于基础题．
7．中，角，，的对边分别为．若向量，，且，则角的大小为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用数量积结合正弦定理转化为三角函数问题，通过两角和的公式化简得到角的方程，得解．
【详解】由得，
，
由正弦定理得，，
化为，
即，
由于，
，又
，
故选．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积和正弦定理，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算的值并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】模拟程序的运行，可得
开始


①


②


③


④


⑤


故选．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
9．若矩形的对角线交点为，周长为，四个顶点都在球的表面上，且，则球的表面积的最小值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用矩形求出外接圆的小圆半径，进一步利用基本不等式求出球的半径，进一步求出球的表面积的最小值．
【详解】如图，设矩形的两邻边分别为，，则，且外接圆的半径．

由球的性质得，平面，所以球的半径．
由均值不等式得，，所以，
所以，当且仅当时，等号成立．
所以球的表面积的最小值为，
故选．
【点睛】本题考查的知识要点：球的表面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
10．已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】对求导，分a＝0和a≠0讨论的单调性，即可求出a≠0时，在x＝－1处取得极小值，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】.
①当a＝0时，，故在R上单调递增，无最小值.
②当a≠0时，令，得x＝－1或.又，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故在x＝－1处取得极小值.
综上，函数在x＝－1处取得极小值.
所以“”是“函数在x＝－1处取得极小值”的充分不必要条件.
故选：A.
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点的坐标为．若双曲线左支上的任意一点均满足，则双曲线的离心率的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先根据双曲线的定义，，转化为，即，根据数形结合可知，当点三点共线时，最小，转化为不等式，最后求离心率的范围.
【详解】由已知可得，若，
即，左支上的点均满足，
如图所示，当点位于点时，最小，
故，即,
,
或或或或双曲线的离心率的取值范围为 .

【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关键是根据几何关系分析的最小值，转化为的代数关系，最后求的范围.
12．若关于的不等式在内恒成立，则满足条件的整数的最大值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】由题意知分离参数得到，通过研究的虚设零点，利用零点存在性定理得并回带零点得到的范围，进而得到对应整数的最大值．
【详解】解：根据题意，对于恒成立

令，只需即可

令

在递增，，
，故存在，使得，
即 ，而在递减，递增，
由，

故整数的最大值为2，
故选．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了零点存在性定理，属于中档题．

二、填空题
13．某公司一种新产品的销售额与宣传费用之间的关系如表：
（单位：万元）





（单位：万元）





已知销售额与宣传费用具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为，则的值为 ．
【答案】
【分析】由表中数据计算平均数，代入回归直线方程中求得回归系数．
【详解】由表中数据，计算，
，
又归直线方程为过样本中心点得，
，
解得．
故答案为6.5．
【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．
14．已知曲线：（为参数）．若点在曲线上运动，点为直线：上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先表示出曲线C上的点到直线距离，再利用三角函数的图像和性质求|PQ|的最小值.
【详解】表示曲线为参数）上任意点到直线的距离
，
当时，．
故答案为
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
15．已知是定义在上的奇函数，其导函数为，，且当 时，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】首先根据已知构造函数， ，根据导数可知函数单调递增，即，再结合奇偶性得到不等式的解集.
【详解】令，
则
当 时， 单调递增，且 .
因为等价于，即g(x) 又为偶函数，所以，
故，故不等式的解集为 .
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数与方程，函数与不等式，导数的应用，涉及函数与方程思想，数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力，等价转化能力，运算求解能力，综合性较强，本题的关键是构造函数，根据导数分析函数的单调性，并且判断是偶函数.
16．已知抛物线的焦点为，准线为．若位于轴上方的动点在准线上，线段与抛物线相交于点，且，则抛物线的标准方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用抛物线的定义和性质，根据直角三角形的边角关系求出的值，即可写出抛物线的标准方程．
【详解】解：如图所示，设，
过点作于点，
由抛物线的定义知，，，；

在中，，，
从而；
又，所以，
即，所以；
在中，，，
所以，
所以抛物线的标准方程为．
故答案为．
【点睛】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，属于中档题．

三、解答题
17．已知函数，曲线在处的切线方程为.
（Ⅰ）求实数，的值；
（Ⅱ）求在区间上的最值.
【答案】（Ⅰ）最大值为，最小值为.（Ⅱ）最大值为，最小值为.
【分析】（Ⅰ）切点在函数上，也在切线方程为上，得到一个式子，切线的斜率等于曲线在的导数，得到另外一个式子，联立可求实数，的值；（Ⅱ）函数在闭区间的最值在极值点或者端点处取得，通过比较大小可得最大值和最小值.
【详解】解：（Ⅰ），
∵曲线在处的切线方程为，
∴解得，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则，
令，解得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
∴在区间上的最大值为，最小值为.
【点睛】本题主要考查导函数与切线方程的关系以及利用导函数求最值的问题.
18．已知等比数列的前项和为,公比,且为的等差中项,.
（1）求数列的通项公式
（2）记,求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由a2+1是a1，a3的等差中项，可得=，又，解得，即可得出通项;（2），利用错位相减法即可得出．
【详解】（1）由题意，得.又，
∴，∴，                                                
∵，∴或，                                        
∵，∴.                                                            
∴.                                                    
（2）由（Ⅰ），知.∴.                                
∴.                            
∴.                            
∴                                    
.                                            
∴.
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点.
  
(1)证明：平面BMN∥平面PCD；
(2)若，求平面BMN与平面BCP所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）平面BMN∥平面PCD证明的关键就是证明平面BMN 中的两条相交直线BM，MN平行于平面PCD，按此则结论可证.
（2）以M为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系M﹣xyz，求出平面BMN与平面BCP的法向量以及他们的余弦值，再利用二面角与法向量角的关系求解即可.
【详解】（1）证明：连接BD，如图
  
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∵M为AD的中点，
∴BM⊥AD，
∵AD⊥CD，
又CD，BM⊂平面ABCD，
BM∥CD，
又BM平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴BM∥平面PCD，
∵M，N分别为AD，PA的中点，
∴MN∥PD，
又MN平面PCD，PD⊂平面PCD，
∴MN∥平面PCD.
又BM，MN⊂平面BMN，BM∩MN＝M，
∴平面BMN∥平面PCD.
（2）连接PM，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，PM⊂平面PAD，PM⊥AD，
∴PM⊥平面ABCD.又BM⊥AD，
∴MB，MD，MP两两互相垂直.
以M为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系M﹣xyz.
  
∵，
则
，
设平面BMN的一个法向量为，
平面BCP的一个法向量为，
∵，
∴由，得，∴取，
∵，
∴由，得，
∴取，
∴，
∴平面BMN与平面BCP所成的锐二面角的余弦值为.
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，且该椭圆过点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点作一条斜率不为0的直线，直线与椭圆相交于两点，记点关于轴对称的点为点，若直线与轴相交于点，求面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）根据，和计算椭圆的标准方程；（Ⅱ）题意可设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到，根据坐标设出的方程，并得到的面积，代入根与系数的关系，并求最大值.
【详解】（Ⅰ）由椭圆的定义可得，解得 .
又，
所以椭圆的标准方程为
（Ⅱ）由题意可设直线的方程为 .
设，则 .
由，消去可得

，
直线的方程为 .
令，
可得，


令，
则
当且仅当，即时等号成立，
面积的最大值为
【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.
21．已知函数．
(1)讨论在上的单调性；
(2)若时，方程有两个不等实根，，求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数，分类讨论函数在区间内的单调性；
（2）令，原不等式即证，通过构造函数法，利用导数通过单调性证明.
【详解】（1）由题意得．
因为，所以．
当时，，，所以在上单调递减．
当时，令，则．
①若，则，当时，，所以在上单调递增；
②若，则，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增．
综上，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：方程，即，
因为，则，
令，，所以函数在上单调递增，
因为方程有两个实根，，令，，则关于t的方程也有两个实根，，且，
要证，即证，即证，即证，
由已知，
所以，
整理可得，
不妨设，
即证，
即证，
令，即证，其中，
构造函数，，
所以函数在上单调递增，当时，，故原不等式成立．
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
22．在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，求的最小值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的方程，并整理得，再利用
直线参数方程t的几何意义求出的最小值．
【详解】解：（Ⅰ），.
由直角坐标与极坐标的互化关系，.
曲线的直角坐标方程为.
（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的方程，并整理得
.
，
可设是方程的两个实数根，
则，.

，当时，等号成立.
的最小值为.
【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，考查直线参数方程t的几何意义，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．