2022-2023学年上海市高桥中学高二下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年上海市高桥中学高二下学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市高桥中学高二下学期期中数学试题 一、填空题1．函数的导函数为      【答案】【分析】根据余弦函数的导函数直接可得结果.【详解】由题意可得：.故答案为：.2．已知，则      【答案】【分析】根据导数的乘法求导法则求，进而可得结果.【详解】由题意可得：，所以.故答案为：.3．过点作曲线的切线，则切线方程是          ．【答案】【分析】求解导函数，设切点坐标，求解，从而设出切线方程，代入点计算，即可求出答案.【详解】函数定义域为，，设切点为，，所以切线方程为，代入，得，解得：，所以切线方程为，整理得：．故答案为：4．已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm）与时间（单位：mm）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为          mm/min.【答案】/【分析】将函数关于求导，再将代入上式的导函数，即可求解．【详解】解：因为，．故在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为mm/min.故答案为：5．若是函数的极值点，则实数        ．【答案】0【分析】根据极值点处导函数等于零求解.【详解】，由题意知，解得．经检验，时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是函数的极小值点，满足题意，故答案为：0.6．已知函数，若，则      .【答案】－1【分析】根据题意，由导数的定义可得，计算即可得出结果.【详解】根据题意，由导数的定义可得，.故答案为：－1.7．已知 ， 则                  .【答案】3或 1/1或 3.【分析】解方程或检验即得解.【详解】解：由题得或，所以或，所以或或或.时，满足题意；时，，不满足题意；时，，不满足题意. 满足题意.故答案为：3或1.8．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有          种.【答案】37【分析】按照所选得6人中所含会划左右桨的人数进行分类，即可得到答案.【详解】第一类：参加比赛的6人中没有会划左右桨的，共有种，第二类：参加比赛的6人中有1人会划左右桨的，共有种，第三类：参加比赛的6人中有2人会划左右桨的，共有种，则共有种.故答案为：379．投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件：蓝色骰子的点数为5或6；事件：两骰子的点数之和大于9，则在事件发生的条件下事件发生的概率      ．【答案】【分析】首先根据古典概型的概率计算公式，求得，再求，由即可得解.【详解】设红蓝两颗骰子的点数分别为，，基本事件用表示，共有种情况，事件包含基本事件，，，，，，共6种，则，事件和事件同时发生的基本事件为，，，，，共5种，则，故事件发生的条件下事件发生的概率．故答案为：．10．已知则     【答案】2187【分析】利用二项展开式的通项，可得展开式中奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，令即可求解.【详解】由二项展开式的通项，可知展开式中奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，所以，令展开式中的，可得，所以.故答案为：2187【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式、赋值法求二项式展开式的系数和，需熟记公式，属于基础题.11．若函数存在单调递增区间，则的取值范围是   .【答案】【分析】将题意转化为：，使得，利用参变量分离得到，转化为，结合导数求解即可．【详解】，其中，则．由于函数存在单调递增区间，则，使得，即，，构造函数，则．，令，得．当时，；当时，．所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，则，所以，，故答案为．【点睛】本题考查函数的单调性与导数，一般来讲，函数的单调性可以有如下的转化：（1）函数在区间上单调递增，；（2）函数在区间上单调递减，；（3）函数在区间上存在单调递增区间，；（4）函数在区间上存在单调递减区间，；（5）函数在区间上不单调函数在区间内存在极值点．12．设是定义在R上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为   ．【答案】．【分析】由＜0，构造函数，分析奇偶性，单调性，不等式等价于，即可得出答案.【详解】由，构造函数，因为是定义在R上的奇函数，所以为偶函数，又当时，为减函数，且，因为，解得，由，解得或，不等式等价于，即或，解得或，故答案为：． 二、单选题13．某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天开展优惠活动，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据古典概型结合组合数运算求解.【详解】在未来的连续10天中随机选择3天，共有种不同选法，选择的3天恰好为连续3天，共有种不同选法，所以选择的3天恰好为连续3天的概率.故选：B.14．已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列对函数表达不正确的是（    ）  A．在处取极小值 B．在处取极小值C．在上为减函数 D．在上为增函数【答案】A【分析】根据图象可得的符号，进而可得的单调性和极值，逐项分析判断即可.【详解】由导函数的图像可知：当或时，；当或时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减，故C、D正确；函数在处取到极大值，在处取到极小值，故A不正确，B正确；故选：A.15．已知，则被10除所得的余数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据题意得到，再利用二项式定理展开即可得到答案.【详解】，又因为，又因为都是10的倍数，所以被除所得的余数为.故选：B16．关于函数，下列判断正确的是（    ）①是的极大值点；②函数有且只有1个零点；③存在正实数k，使得成立；④对任意两个正实数，且，若，则．A．①④ B．②④ C．②③ D．③④【答案】B【分析】对于①：求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得极值点；对于②：构建，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断；对于③：整理得，构建，利用导数分析其单调性，进而可得结果；对于④：分析可得原题意等价于即证，令，利用导数判断其单调性，进而分析判断.【详解】对于①：由题意可得：函数的定义域为，且，当时，0；当时，；则在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，故①错误；对于②：令，则函数的定义域为，且恒成立，可知在上单调递减，且，函数有且只有1个零点，故②正确；对于③：若，整理得，令，则，令，则，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，可得，即，所以在上单调递减，且当趋近于时，趋近于，所以不存在正实数，使得恒成立，故③错误；对于④：由①可知：若，则，要证，即证，且在上单调递增，即证，又因为，所以证，即证.令，则，所以在上单调递减，所以，所以，④正确；故选：B.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解． 三、解答题17．已知m，n为正整数，的展开式中x项的系数为19．(1)求展开式中项的系数的最小值；(2)当展开式中项的系数取最小值时，求项的系数．【答案】(1)81(2)156 【分析】（1）根据x项的系数结合二项展开式可得，进而可得项的系数，结合组合数以及二次函数分析求解；（2）根据（1）中结果结合二项展开式可得项的系数为，运算求解即可.【详解】（1）由题意可知：的展开式为，的展开式为，令，则，由题意可得，即，令，则，可得项的系数，且，则当或时，项的系数取到最小值81.（2）令，则，由（1）可得：或，所以项的系数为.18．4男3女排队拍照．(1)女生不在两边的排法有多少种？(2)恰有3个男生连排的排法有多少种？(3)甲在乙的左边的排法有多少种？【答案】(1)(2)1728(3)2520 【分析】（1）先排两边，剩余位置全排列即可；（2）讨论3个男生连排看成整体M的位置，结合排列数运算求解；（3）先进行全排列，再结合对称性分析求解.【详解】（1）女生不在两边，则两边均为男生，有种不同排法，剩余的男、女生全排列，有种不同排法，所以共有种不同排法.（2）3个男生连排看成整体M，有种不同排法，相当于M，1男3女排队，且M与1男不能连排，先将3女进行排列，有种，再将M和1男插到3女所成的4个空中，有种，所以共有种排法.（3）4男3女的排法有种，根据对称可知：甲在乙的左边的排法有种.19．已知函数是函数的一个极值点.（1）求函数的单调递增区间；（2）当，求函数的最小值.【答案】（1）和；（2）.【解析】（1）由极值点求出参数，再代入，解不等式求递增区间（2）求在上的极值，与端点值比较得出最小值.【详解】（1）由题意 ，则  ，当时，；当时，；当时，.所以，函数的单调递增区间为和  （2）当时，的变化情况如下表x012 ＋0－0＋  增函数极大值减函数极小值增函数 当.当.所以当时，函数的最小值为.【点睛】用导数法求最值方法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；20．已知函数的图像在处的切线与直线平行．(1)求函数的极值；(2)若对任意的，且都有，求实数m的取值范围．【答案】(1)极大值为，无极小值(2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求得，再利用导数判断的单调性和极值；（2）由题意分析可得在为增函数，进而可得在恒成立，构建，利用导数判断其单调性和最值，即可得结果.【详解】（1）由题意可知的定义域为，且，可得的图象在处的切线斜率为，由切线与直线平行，可得，即，所以，，由，可得，由，可得，则在单调递增，在单调递减，可得在处取得极大值为，无极小值.（2）不妨设，则，若，，可得，即有，设在为增函数，即有对恒成立，可得在恒成立，令，则的定义域为，且，由，可得，由，可得，可得在递减，在递增，则在处取得极小值，且为最小值，可得，解得，所以实数的取值范围是.21．已知．(1)若，求在处的切线方程；(2)讨论的单调性；(3)设，求在上的零点个数．【答案】(1)(2)答案见详解(3)答案见详解 【分析】（1）根据导数的几何意义运算求解；（2）求导，分和两种情况，利用导数判断原函数的单调性；（3）原题意等价于与在上的交点个数，令，利用导数判断原函数的单调性和值域，进而可得结果.【详解】（1）当时，，则，所以在点处的切线斜率，所以所求切线方程为，即.（2）由，所以，当时，，所以函数在上单调递增；当时，由，则，若，则，所以在单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，函数在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减.（3）由，所以，今，由，所以，可得，原题意等价于与在上的交点个数，令，则，令，时，在上单调递增，所以，即，所以在上单调递增，由，所以在上单调递增，所以，即，当，即时，则与在只有一个交点，此时在上只有一个零点；当或，即或时，则与在无交点，此时在上没有零点；综上所述：当时，在上只有一个零点；当或时，在上没有零点.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．