2022-2023学年上海市莘庄中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年上海市莘庄中学高二下学期期中数学试题

一、填空题

1．已知函数，则     .

【答案】2

【分析】先求出，结合导数的定义，即可求出的值.

【详解】解：∵，∴，

故答案为：2.

【点睛】本题考查了导数的定义，考查了导数的计算，本题的关键是求出函数的导数.

2．已知函数，则的导数       .

【答案】

【分析】直接利用导数运算法则求导即可.

【详解】因为

.

故答案为：.

3．在报名的3名男教师和3名女教师中，选取3人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法数为          . (结果用数值表示)

【答案】18

【分析】由题设，选取方式有两男教师一女教师或两女教师一男教师，应用组合数求出选取方法数.

【详解】选取方式有：选两男教师一女教师或选两女教师一男教师，

∴不同的选取方法有：种.

故答案为：18.

4．的二项展开式中的系数为      .

【答案】80

【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】的二项展开式中含的项为，

所以的系数为.

故答案为：

5．若，则      .

【答案】

【分析】利用赋值法令及计算可得；

【详解】因为，

令，则，

令，则，于是.

故答案为：

6．除以17的余数为      .

【答案】16

【分析】由题得，根据二项式展开解决即可.

【详解】由题知，

，

因为是17的倍数，只有最后一项不能被17整除，

所以除以17的余数为16，

所以除以17的余数为：16

故答案为：16

7．若函数满足，则            

【答案】1

【分析】对求导，求出，即可求出，再将代入即可得出答案.

【详解】因为，

所以，则，解得：，

则，则.

故答案为：1.

8．在二项式的展开式中任取两项，则所取两项中至少有一项的系数为偶数的概率是     ．

【答案】

【分析】先求得展开式中6项的系数，共有2个偶数，4个奇数，再根据古典概型计算公式，即可求得答案.

【详解】解：∵二项式的展开式的通项公式为，

共有6项，它们的系数分别为

整理为1,5,10,10,5,1，共计2个偶数，4个奇数，

∴所取两项中至少有一项的系数为偶数的概率为，

故答案为：．

9．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现同时从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入对方口袋，共进行了2次这样的操作后，甲口袋中恰有2个黑球的概率为                  .

【答案】

【分析】分两类：两次都互相交换白球的概率和第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率求和可得答案.

【详解】分两类：①两次都互相交换白球的概率为；

②第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率为

.

故答案为：.

10．设定义在上的奇函数的导函数为，已知，当时，，则不等式的解集为        ．

【答案】

【分析】令，函数为偶函数，当时，，确定函数单调性，，等价于或，解得答案.

【详解】令，取，则函数为偶函数，

当时，，故，即，

由偶函数性质知，函数在是严格减函数，在是严格增函数，

又，故等价于或，

解得．

故答案为：

11．若函数与的图像恰有一个公共点，则实数a的取值范围是        ．

【答案】

【分析】求出在原点的切线的方程，数形结合得到实数a的取值范围.

【详解】因为，所以过原点，

，且，

所以函数在原点的切线的斜率为，

则函数在原点的切线的方程为，此时与只有1个公共点，

结合函数图像易知，当时，此时与只有1个公共点，

故．

故答案为：

12．已知，是函数，的两个极值点，若，则的取值范围为      ．

【答案】

【分析】先由题得所以，.化简得=，再构造函数，利用导数求函数的值域即得解.

【详解】由题得函数的定义域为，

，

所以是方程的两个实数根，

所以，

因为，，

所以，

所以.

所以

=

记，

所以

由，

所以在单调递减，

又由洛必达法则得当时，，即，

所以函数g(x)的值域为.

即的取值范围为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和取值范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

二、单选题

13．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先求解的定义域并判断奇偶性，然后根据的值以及在上的单调性选择合适图象.

【详解】定义域为，，

则，为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；

，故排除A；

∵，当时，可得，当时，，单调递增，故排除D.

故选：C.

14．已知是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据，可得，再根据并事件和交事件及对立事件的性质即可得解.

【详解】因为，所以，

所以，故A错误；

，故B错误；

，故C正确；

，故D错误.

故选：C.

15．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法错误的是（    ）

A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法

B．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法

C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法

D．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法

【答案】D

【分析】根据给定条件利用组合知识可以判断A正确；利用特殊位置法可以判断B错误；相邻问题利用捆绑法可以判断C正确； 不相邻问题利用插空法可以判断D错误.

【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A正确；

对于B，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有种，B正确；

对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有种，C正确；

对于D，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有种，D错误.

故选： D.

16．如图所示，甲､乙两人同时出发，甲从点到，乙从点到，且每人每次都只能向上或向右走一格.则甲､乙的行走路线没有公共点的概率为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出甲从点到，乙从点到总的路径的对数，再计算甲从点到，乙从点到的相交路径的对数，其等于甲从点到，乙从点到相交路径的对数，进而可得甲､乙的行走路线没有公共点的路径的对数，再由古典概率公式即可求解.

【详解】首先考虑甲从点到，乙从点到总的路径的对数，

甲从点到，需要向上走步，向右走步，共步，所以甲从点到有种方法；

乙从点到，需要向上走步，向右走步，共步，所以乙从点到有种方法；

由分步乘法计数原理可知：甲从点到，乙从点到，有种方法；

下面计算甲从点到，乙从点到的相交路径的对数，

证明：甲从点到，乙从点到相交路径的对数等于甲从点到，乙从点到相交路径的对数，

事实上，对于甲从点到，乙从点到的每一组相交路径，他们至少有一个交点，如图，设从左到右，从下到上的第一个交点为点，如图，实线路径表示甲从到的路径，虚线路径表示乙从点到的路径，将点以后的实线路径改为虚线，虚线路径改为实线，就得到一组甲从点到，乙从点到相关路径，如图，

反之，对于甲从点到，乙从点到的任意一组相交路径，也都可以用同样的方法将之变换成甲从到，乙从点到的一组相交路径，即这两者之间的相交路径是一一对应的，又因为甲从点到，乙从点到的任意一组路径都是相交路径，所以甲从点到，乙从点到共有种方法；

所以甲､乙的行走路线没有公共点的有种方法；

甲､乙的行走路线没有公共点的概率为，

故选：C

三、解答题

17．已知的二项展开式中所有项的二项式系数之和为1024.

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式的所有有理项，并指明是第几项.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二项式系数之和求出，再由二项式系数的性质确定所求项求解即可；

（2）由通项公式可确定时，展开式中项为有理项即可得解.

【详解】（1）由题意：解得；

由二项式系数性质知最大，

故二项式系数最大的项为.

（2），

因此时，有理项为.

18．已知函数，其中b，d为常数，函数是其导函数，且满足

(1)求函数的解析式；

(2)若函数在某点处的切线过点，求切线的一般式方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求解即可；

（2）根据题意先判断点不是切点，再设切点为，再根据切线的斜率与函数导数的关系即可求得或，从而即可求解切线方程．

【详解】（1）由，则，

所以，解得，

所以，

函数的解析式为．

（2）由，

则点不在函数上，即其不是切点，

则设切点为，

结合（1）有，

则切线的斜率为，

又切线过点，

则，解得或，

当时，，此时切线方程为；

当时，，此时切线方程为，即，

综上所述，所求的切线的一般式方程为或．

19．设甲、乙两射手独立地射击同一目标，甲的命中率为，乙的命中率为，求：

(1)在甲、乙各一次的射击中，目标被击中的概率；

(2)在甲、乙各两次的射击中，甲比乙多击中目标的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得；

（2）依题意分甲击中次、乙击中次或甲击中次、乙击中次或甲击中次、乙击中次种情况讨论，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.

【详解】（1）解：甲、乙各一次的射击中目标被击中的对立事件为甲、乙均没有射击中目标，

所以目标被击中的概率.

（2）解：依题意可得甲击中次，乙击中次或甲击中次，乙击中次或甲击中次，乙击中次，

当甲击中次，乙击中次时概率，

当甲击中次，乙击中次时概率，

当甲击中次，乙击中次时概率，

所以在甲、乙各两次的射击中，甲比乙多击中目标的概率.

20．12月31日是某校艺术节总汇演之日，当天会进行隆重的文艺演出，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，现回答以下问题：（用排列组合数列式，并计算出结果）

(1)为了活跃气氛，学校会把20个荧光手环发给台下的12名家长代表，每位家长至少一根，共计有多少种分配方案；

(2)若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有多少种出场顺序；

(3)演出结束后，学校安排甲、乙等9位志愿者打扫A，B，C三个区域的卫生，每个区域至少需要2名志愿者，则共有多少种安排方式？甲、乙打扫同一个区域的概率是多少？

【答案】(1)

(2)

(3)11508，

【分析】（1）由题意根据隔板法求解；

（2）根据相邻与不相邻问题可用捆绑法与插空法求解；

（3）分别按分类求解，再按不同分组求出甲乙在一组的种数，由古典概型求解.

【详解】（1）利用隔板法：.

（2）根据捆绑、插空：高三2个节目视作1个节目，与高二3个节目全排列，

再把高一的4个节目插入所成的5个空中的4个，所以共有 .

（3）①.若按2，2，5分组，则有：种，

②.若按2，3，4分组，则有：种，

③.若按3，3，3分组，则有：种，

故共有种安排方式.

若按2，2，5分组，甲、乙在同一组的安排方式有种，

若按2，3，4分组，甲、乙在同一组的安排方式有    种，

若按3，3，3分组，甲、乙在同一组的安排方式有=420种，

故甲、乙在同一组的概率为.

21．已知函数，.

(1)判断函数的奇偶性；

(2)若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围；

(3)记（是自然对数的底数）.若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)时，为偶函数；时，为非奇非偶函数

(2)；

(3).

【分析】（1）根据二次函数的性质以及奇偶函数的定义，即可判断；

（2）根据极值，求出，得到，利用导数的性质，判断有3个不同的实根时，的取值范围；

（3）根据的单调性，问题转化为，整理得，，分别判断函数和函数在上的单调性，根据不等式恒成立的性质，分离参数，即可求出的取值范围.

【详解】（1），因为的对称轴为，故当时，的对称轴为轴，此时为偶函数；时，为非奇非偶函数.

（2）在处有极值，因为，则，故，得；

，此时，，

故和上，单调递增，上，单调递减，

因为关于x的方程有3个不同的实根，根据导数的性质，当时，满足题意，得，故

（3），单调递减，对任意、且时，

，，

则对任意、且时，均有成立，

转化为，对任意、且时，均有成立，即

，

所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增，

①函数在上单调递减，即在上恒成立，

又因为，，，故，

得在上恒成立，令，，令，得，所以，在上单调递增，在上单调递减，故，故；

②函数在上单调递增，即在上恒成立，

又因为，，，故，得

在上恒成立，因为函数在上为单调递增函数，故，此时，；

综上所述，实数的取值范围为：.