2022-2023学年上海市天山中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年上海市天山中学高二下学期期中数学试题

一、填空题

1．抛物线的准线方程是      ．

【答案】

【详解】由题意可得p=4,所以准线方程为,填

2．双曲线的渐近线方程是          ．

【答案】y=±

【分析】由双曲线的方程求得，再根据双曲线的几何性质，即可求解渐近线的方程，得到答案．

【详解】由双曲线的方程，可得，

又由焦点在轴上，故渐近线方程为，

故答案为．

【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单几何性质，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

3．记为等差数列的前n项和，若，，则          ．

【答案】6

【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出.

【详解】解：设等差数列的公差为，

，

，解得.

则.

故答案为：6.

【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

4．椭圆的离心率           

【答案】/

【分析】由椭圆方程直接求离心率即可.

【详解】由椭圆方程知：，则.

故答案为：

5．计算:          ;

【答案】

【分析】根据无穷等比数列的求和公式直接求出答案即可.

【详解】因为，所以是首项为，公比为的等比数列，

所以.

故答案为：.

6．已知圆和点，则过点的圆的切线方程为     

【答案】

【分析】先由题得到点A在圆上，再设出切线方程为利用直线和圆相切得到k的值，即得过点A的圆的切线方程.

【详解】因为，所以点在圆上，设切线方程为即kx-y-k+2=0,

因为直线和圆相切，所以，

所以切线方程为，

所以切线方程为，

故答案为

【点睛】（1）本题主要考查圆的切线方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 点到直线的距离.

7．已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为，则弦的长           

【答案】

【分析】根据题意设，联立抛物线及韦达定理，结合弦中点横坐标求参数，最后应用弦长公式求即可.

【详解】由题意抛物线焦点，且直线斜率不为0，设，

联立抛物线得，，故，，

所以，即，

则.

故答案为：

8．已知数列是等差数列，则下列数列中必为等差数列的序号是           

①   ②   ③   ④

【答案】① ② ③

【分析】根据等差数列的通项公式及单调性判断各项是否等差数列即可.

【详解】令的公差为，则，

，即是首项为，公差为的等差数列；

，即是首项为，公差为的等差数列；

，即是首项为，公差为的等差数列；

若，则先递减，后递增，不可能为等差数列.

故答案为：① ② ③

9．已知，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则               .

【答案】5

【详解】试题分析：由题意得，为等差数列时，一定为等差中项，即，为等比数列时，-2为等比中项，即，所以.

【解析】等差，等比数列的性质

10．如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.

【答案】2米

【详解】

如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，

将A（2，-2）代入，

得m=-2，

∴，代入B得，

故水面宽为米，故答案为米．

【解析】抛物线的应用

11．已知椭圆，点P是椭圆上的动点，定点A的坐标为，则的最小值为           

【答案】/

【分析】令且，应用两点距离公式及点在椭圆上得到关于的函数，即可求最值.

【详解】令且，则，

而，故，

所以，当时，.

故答案为：

12．在平面直角坐标系xOy中，当不是原点时，定义P的“伴随点”为，当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身．平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C＇定义为曲线C的“伴随曲线”，现有如下命题：

①若点A的“伴随点”是点A＇，则点A＇的“伴随点”是A；

②若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C＇关于y轴对称；

③单位圆的“伴随曲线”是它自身；

④一条直线的“伴随曲线”是一条直线

其中所有的真命题为            

【答案】②③

【分析】利用新定义，转化求解判断4个命题，是否满足新定义，推出结果即可．

【详解】对于①，若令，则其“伴随点”为，而的“伴随点”为，而不是，故①错误；

对于②，设曲线关于轴对称，则与方程表示同一曲线，其“伴随曲线”分别为与也表示同一曲线，又曲线与曲线的图象关于轴对称，所以②正确；

对于③,设单位圆上任一点的坐标为，其“伴随点”为仍在单位圆上，故③正确；

对于④,直线上任一点的“伴随点”为，的轨迹是圆，故④错误，所以正确的为序号为②③．

故答案为：②③.

二、单选题

13．圆心为且过原点的圆的方程是

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【详解】试题分析：设圆的方程为，且圆过原点，即，得，所以圆的方程为.故选D.

【解析】圆的一般方程.

14．设表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为（   ）.

A． B．2k C． D．

【答案】C

【分析】先整理双曲线方程，得到，，从而求出双曲线的虚轴长.

【详解】整理为：，

由题意得：，故焦点在轴上，，

所以，该双曲线的虚轴长为

故选：C

15．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢?”两鼠相逢需要的最少天数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】求得前几天两只老鼠打洞长度的和，由此确定需要的天数.

【详解】依题意可知，大老鼠每天打洞的长度是首项，公比为的等比数列；大小老鼠每天打洞的长度是首项，公比为的等比数列.设是前天两只老鼠打洞长度的和.

第天，；

第天，；

第天，；

第天，，显然大于.

所以两鼠相逢需要的最少天数为天.

故选：B

【点睛】本小题主要考查等比数列，考查中国古代数学文化，属于基础题.

16．已知数列为等差数列,若,且其前项和有最大值,则使得的最大值为

A．11 B．19 C．20 D．21

【答案】B

【详解】因为,所以一正一负,又因为其前项和有最大值,所以,则数列的前10项均为正数,从第11项开始都是负数,所以又因为,所以,即,所以使得的最大值为19.选B.

三、解答题

17．在等比数列中，.

(1)求；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1) .（2）.

【详解】试题分析：(1)设的公比为q，依题意得方程组，

解得，即可写出通项公式.

（2）因为，利用等差数列的求和公式即得.

试题解析：(1)设的公比为q，依题意得

，

解得，

因此，.

（2）因为，

所以数列的前n项和.

【解析】等比数列、等差数列.

18．已知直线与曲线只有一个公共点，求实数a的值；

【答案】

【分析】联立方程，讨论二次项系数，为时，方程有一解，不为时，利用求解即可.

【详解】联立，

当即时，方程是一元一次方程，有唯一解；

当时，方程为一元二次方程，方程有唯一解时，

，

解得，

故直线与曲线只有一个公共点时，的值为

19．已知直线为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在原点处发现了北偏东 海面上处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮航行，以便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，且两者都是沿直线航行，但走私船可能向任一方向逃窜.

（1）如果走私船和巡逻船相距6海里，求走私船能被截获的点的轨迹；

（2）若与公海的最近距离20海里，要保证在领海内捕获走私船，则，之间的最远距离是多少海里？

【答案】（1）以为圆心，以4为半径的圆；（2）海里

【分析】（1）在平面直角坐标系中，设走私船能被截获的点的坐标为，根据可得的轨迹.

（2）先求出的值，再设，类似于（1）中求轨迹的方法可求的轨迹，该轨迹与直线至多有一个公共点，从而可得的取值范围.

【详解】（1）如图，

因为，故，设走私船能被截获的点的坐标为，

则，所以，

整理得到，所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆.

（2）因为与公海的最近距离20海里，故，因，故.

故直线，

设，故，设走私船能被截获的点的坐标为，

则，故，

整理得到，

故的轨迹是以为圆心，为半径的圆.

由题设可知，该圆的圆心在直线下方且圆与直线至多有一个公共点，

故 ，解得，

故，之间的最远距离是海里.

【点睛】本题考查圆中的轨迹问题-阿波罗尼斯圆以及直线与圆的位置关系，所谓阿波罗尼斯圆，即平面中到两个定点的距离之比为的动点的轨迹，解题中注意“两定一动比确定”的特征，本题为综合题，有一定的难度.

20．已知椭圆经过点，其左焦点为；过F点的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴的正半轴于点M；

(1)求椭圆E的方程；

(2)若直线l过点F且斜率存在，设斜率为k，求弦长关于k的函数解析式；

(3)过点F且与l垂直的直线交椭圆于C，D两点，若四边形的面积为，求直线l的方程；

【答案】(1)

(2)

(3)直线为或或或.

【分析】（1）根据焦点坐标、椭圆所过的点及参数关系求椭圆参数，即得方程；

（2）设直线方程，联立椭圆并整理为一元二次方程形式，应用韦达定理及弦长公式写出弦长关于k的函数解析式；

（3）由两直线垂直，结合（2）所得写出关于k的表达式，再由列方程求参数k，即可得直线方程.

【详解】（1）由题意，且，又，可得，

所以.

（2）由（1）知：直线为，联立椭圆整理得，

由题意，则，，

.

（3）由（2）易知，则，

所以，

整理得：，即，

所以或，

所以直线为或或或.

21．已知数列的前n项和为，已知数列的各项均为正数，，且；

(1)求数列的通项公式；

(2)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；

(3)若，求对所有的正整数n都有成立的实数k的取值范围？

【答案】(1)

(2)证明见解析，

(3)

【分析】（1）利用求数列通项公式即可；

（2）由题设得，即可证结论，进而写出的通项公式；

（3）由（1）（2）得，作差法判断单调性，结合已知不等式知在上恒成立，结合二次函数性质求参数范围.

【详解】（1）时，则，故，

而，则，所以是以为首项，公比为的等比数列，

所以.

（2）由，则，即，而，

所以是首项为3，公差为2的等差数列，且，即.

（3）由（1）（2）知：，而，

所以为递减数列，要使对所有的正整数n都有成立，

则，即在上恒成立，

当，即时，在上恒成立；

当，即时，只需，可得；

综上，.