2022-2023学年辽宁省阜新市第二高级中学高二下学期第一次阶段考试数学试题含答案

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2022-2023学年辽宁省阜新市第二高级中学高二下学期第一次阶段考试数学试题 一、单选题1．现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ）A．7种 B．9种 C．14种 D．70种【答案】C【分析】根据分类加法计数原理求解即可【详解】分为三类:从国画中选，有2种不同的选法;从油画中选，有5种不同的选法;从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有5+2+7= 14(种)不同的选法;故选：C2．在等差数列中，，则（    ）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【分析】根据等差数列的等差中项计算即可.【详解】由题意，数列为等差数列，结合等差数列的性质得，，则，所以.故选：B.3．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据组合的基本概念求解.【详解】在50件产品中含有3件次品,所以有47件不是次品,任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有.故选:A.4．的展开式中的常数项为（    ）．A．－120 B．120 C．－60 D．60【答案】D【分析】先求出展开式的通项，令即得解.【详解】的展开式中的项为，令，解得，所以的展开式中的常数项为.故选：D．5．盒中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球．甲从中随机取出两个球，在已知甲取出的有红球的条件下，他取出两个红球的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设事件A为“甲取出的有红球”，事件B为“取出两个红球”，求出，，由条件概率公式可求.【详解】设事件A为“甲取出的有红球”，事件B为“取出两个红球”，则，,则.故选：B.6．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】把汽车在三处遇两次绿灯的事件M分拆成三个互斥事件的和，再利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式计算得解.【详解】汽车在甲、乙、丙三处遇绿灯的事件分别记为A，B，C，则，汽车在三处遇两次绿灯的事件M，则，且，，互斥，而事件A，B，C相互独立，则，所以汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为.故选：D7．已知随机变量服从二项分布，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由二项分布的概率公式计算．【详解】．故选：D．8．一个盒子里装有大小、材质均相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则等于的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由古典概型概率公式分别求得和，即可判断等式表示的意义．【详解】由条件，知随机变量X服从参数为，，的超几何分布，其中X的取值范围为，且，，，.故选：B. 二、多选题9．（多选）下列数列是等差数列的是（    ）A．0，0，0，0，0，… B．1，l，111，111l，…C．－5，－3，－1，1，3，… D．1，2，3，5，8，…【答案】AC【分析】利用等差数列的定义判断即可【详解】根据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，而BD中，从第2项起，后一项与前一项的差不是同一个常数，故选：AC．10．下列说法正确的是（    ）A．某班4位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中各任选一类，不同的结果共有64种B．用1，2，3三个数字可以组成9个三位奇数C．从集合中任取2个元素组成集合，则集合中含有元素的概率为D．两个男生和两个女生随机排成一列，则两个女生不相邻的概率是【答案】CD【分析】根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理依次计算每个选线的结果即可得到最后的答案【详解】对于A，第1位同学可以从三类不同的图书中任选一类，有3种选法，同理，其他的3位同学也都各有3种选法，则不同的选书方法有种，故A错误；对于B，个位可以放1，3，十位和百位都可以放1，2，3，所以有个奇数，故B错误；对于C，从集合中任取2个元素可得到集合的个数为，含有的个数为，其概率，故C正确；对于D，两个女生和两个男生随机排成一列，总的排法有种，两个女生不相邻的排法有种，所以两个女生不相邻的概率，故D正确故选：CD．11．下列关于正态分布的命题正确的是（    ）A．正态曲线关于轴对称B．当一定时，越大，正态曲线越“矮胖”，越小，正态曲线越“瘦高”C．设随机变量，则等于2D．当一定时，正态曲线的位置由确定，随着的变化曲线沿轴平移【答案】BD【解析】根据正态分布曲线的定义与性质，判断ABD选项的正误；根据方差的性质，计算即可判断C是否正确.【详解】正态曲线关于直线对称，故A不正确；当一定时，越大，正态曲线越“矮胖”，越小，正态曲线越“瘦高”，故B正确；随机变量，则的值等于1，故C不正确；当一定时，正态曲线的位置由确定，随着的变化曲线沿轴平移，D正确．故选：BD．12．关于及其展开式，下列说法正确的是（    ）A．该二项展开式中非常数项的系数和是B．该二项展开式中第六项为C．该二项展开式中不含有理项D．当时，除以100的余数是1【答案】AD【分析】根据赋值法即可判断A，根据通项特征即可判断BC，根据二项式展开式的特征即可求解D.【详解】展开式的第项为.对于A，当时，得到常数项为.又的展开式的各项系数和为，所以该二项展开式中非常数项的系数和是，故A正确.对于B，该二项展开式中第六项为，故B错误.对于C，当时，对应的各项均为有理项，故C错误.对于D，当时，，因为，显然是100的倍数，即能被100整除，所以当时，除以100的余数是，故D正确.故选:AD. 三、填空题13．在等差数列中，，公差，则的通项公式为          ．【答案】【分析】根据等差数列通项公式直接求解.【详解】根据等差数列通项公式可知.故答案为：14．已知数列满足，且，则           .【答案】【分析】根据递推式倒推即可解出．【详解】因为，且，所以，解得，，解得，，解得．故答案为：．15．的展开式中含项的系数为      ．（用数字作答）【答案】【分析】利用二项展开式的通项公式可求得结果.【详解】由题可知展开式的通项公式，令，此时，含的项为，所以含项的系数为．故答案为：16．已知的二项展开式中，偶数项的二项式系数之和为16，则展开式中的系数为      ．【答案】720【分析】由偶数项的二项式系数之和为16，计算出，然后利用二项式展开式求特定项即可.【详解】由偶数项的二项式系数之和为16，则有，所以展开式中的项为：，则展开式中的系数为：720.故答案为：720. 四、解答题17．已知函数，设数列的通项公式为.（1）求证.（2）是递增数列还是递减数列？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）递增数列，证明见解析.【分析】（1）结合指数函数的单调性以及不等式的性质即可证得；（2）证得，即可得出结论.【详解】（1）由题意得，因为为正整数，所以，所以；（2）是递增数列，证明：因为，所以，所以，所以是递增数列.18．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；(2)全体站成一排，女生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生互不相邻．【答案】（1）3600（2）576（3）1440【详解】分析：（1）根据特殊元素“优先法”，由分步计数原理计算可得答案；(2) 根据“捆绑法”将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列即可；(3）利用“插空法”，先将4名女生全排列5个空位中任选3个空位排男生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.详解：(1)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有A种方法，故共有5×A＝3 600种方法．(2)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A种方法，再将4名女生进行全排列，有A种方法，故共有A×A＝576种方法．(3)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A种方法，故共有A×A＝1 440种方法．点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.19．已知，求：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）求展开式各项系数和，一般用赋值法．令得结果；（2）由于展开式中的奇次幂的系数为负数，偶次幂的系数为正数，即求：，令得结果；（3）结合（1）（2）可得结果．【详解】（1）令，得；（2）令，得∵展开式中的奇次幂的系数为负数，偶次幂的系数为正数，∴；（3）＝．20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品．（1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数的分布列；（2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张．①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为元，求的分布列．【答案】（1）答案见解析；（2）①；②答案见解析．【分析】（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，则X的取值只有0，1两种，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列；（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖，由此利用互斥事件概率加法公式能求出顾客乙中奖的概率；②由题意Y的可能取值为0，10，20，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量Y的概率分布列.【详解】（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故的取值只有0和1两种情况，，，因此随机变量的分布列为：01（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖，故所求概率；②随机变量的所有可能取值为0，10，20，50，60，且，，，，，因此随机变量的分布列为：01020506021．景泰蓝（），中国的著名特种金属工艺品之一，到明代景泰年间这种工艺技术制作达到了最巅峰，因制作出的工艺品最为精美而闻名，故后人称这种瓷器为“景泰蓝”．其制作过程中有“掐丝”这一环节，某大型景泰蓝掐丝车间共有员工10000人，现从中随机抽取100名对他们每月完成合格品的件数进行统计．得到如下统计表：每月完成合格品的件数频数10453564女员工人数3221753（1）若每月完成合格品的件数超过18件，则车间授予“工艺标兵”称号，由以上统计表填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为“工艺标兵”称号与性别有关； 非“工艺标兵”“工艺标兵”总计男员工人数   女员工人数   合计   （2）为提高员工的工作积极性，该车间实行计件工资制：每月完成合格品的件数在12件以内（包括12件），每件支付员工200元，超出的部分，每件支付员工220元，超出的部分，每件支付员工240元，超出4件以上的部分，每件支付员工260元，将这4段频率视为相应的概率，在该车间男员工中随机抽取2人，女员工中随机抽取1人进行工资调查，设实得计件工资超过3320元的人数为，求的分布列和数学期望．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）表格见解析，有95%的把握认为“工艺标兵”称号与性别有关；（2）分布列见解析，.【解析】（1）根据统计表可得列联表，根据公式计算出，结合临界值表可得答案；（2）根据统计表数据可得男员工实得计件工资超过3320元的概率，女员工实得计件工资超过3320元的概率．设随机抽取的男员工中实得计件工资超过3320元的人数为，随机抽取的女员工中实得计件工资超过3320元的人数为，则，由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3，根据概率公式求得取各个值的概率，可得分布列和数学期望.【详解】（1）列联表如下： 非“工艺标兵”“工艺标兵”总计男员工人数48250女员工人数42850合计9010100， 所以有95%的把握认为“工艺标兵”称号与性别有关．        （2）若员工实得计件工资超过3320元，则每月完成合格品的件数需超过16件，由题中统计表数据可得，男员工实得计件工资超过3320元的概率，女员工实得计件工资超过3320元的概率．设随机抽取的男员工中实得计件工资超过3320元的人数为，随机抽取的女员工中实得计件工资超过3320元的人数为，则．        由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，        所以随机变量的分布列为0123所以.【点睛】关键点点睛：掌握独立性检验的原理、分布列的定义和离散型随机变量的数学期望公式是解题关键.22．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）写出a的值；（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）a＝0.03；（2）870人；（3）分布列见解析，.【分析】（1）根据频率频率直方图的性质，可求得a的值；（2）由分层抽样，求得初中生有60名，高中有40名，分别求得初高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率及人数，求和；（3）分别求得初高中生中阅读时间不足10个小时的学生人数，写出X的取值及概率，写出分布列和数学期望.【详解】解：（1）由频率直方图的性质，（0.005+0.02+a+0.04+0.005）×10＝1，解得a＝0.03，（2）由分层抽样可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，∵初中生中，阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10＝0.25，∴所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有0.25×1800＝450人，同理，高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10＝0.035，学生人数约为0.35×1200＝420人，所有的学生阅读时间不小于30小时的学生约有450+420＝870，（3）初中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10＝0.05，样本人数为0.05×60＝3人，同理，高中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10×40＝2，故X的可能取值为：1，2，3，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为： X 1 2 3 P  ∴E（X）＝1×+2×+3×＝.