2022-2023学年山东省新泰市第一中学（老校区）高二下学期第二次大单元测试数学试题含答案

2022-2023学年山东省新泰市第一中学（老校区）高二下学期第二次大单元测试数学试题

一、单选题

1．已知集合则A∩B=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别解一元二次不等式与分式不等式化简集合，再由集合交集的运算即可得答案.

【详解】，

.

故选：B.

2．若，则“”是“”的（     ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据不等式的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由不等式，可得，可得，即充分性成立；

反之：由，可得，又因为，所以，所以必要性不成立，

所以是的充分不必要条件.

故选：A.

3．回归直线方程的系数a，b的最小二乘法估计使函数最小，Q函数指（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由表示随机误差的平方和得出答案.

【详解】是指所求回归直线方程在各点的值与真实值的误差的平方和，

即.

故选：A

4．小王经营了一家小型餐馆，自去年疫情管控宣布结束后的第1天开始，经营状况逐步有了好转，该店第一周的营业收入数据（单位：百元）统计如下：

其中第4天和第6天的数据由于某种原因造成模糊，但知道7天的营业收入平均值是23，已知营业收入y与天数序号x可以用经验回归直线方程拟合，且第7天的残差是，则的值是（    ）

A．10.4 B．6.2 C．4.2 D．2

【答案】A

【分析】根据残差的定义求出，结合样本中心点满足回归方程，列方程组求出，，由此可得结论.

【详解】由残差得，即，

所以①，

又，，因为回归直线经过中心点，

所以②，

联立①②解得，,

所以，

故选：A.

5．若样本数据的标准差为10，则数据的方差为（    ）

A．30 B．90 C．300 D．900

【答案】D

【分析】的方差为，则的方差为.

【详解】已知样本数据的标准差为，则其方差，所以数据，的方差为.

故选：D

6．设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意和正态曲线即可求得，又根据正态曲线可得，进而即可求得．

【详解】根据题意，且，则，

由正态曲线得，所以．

故选：C．

7．已知不等式恰有1个整数解，则实数a的取值范围为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】不等式可转化为，设，，作出与的图像，结合图像分类讨论即可得解.

【详解】由不等式，可得，

设，，

则，

当时，，在上单调递增，

当时，，在上单调递减，

当时，取极大值1.

又，且时，，

直线恒过点，

当时，作出与的图像如下所示，

恰有1个整数解，只需要满足，解得，

当时，显然有无穷多个整数解，不满足条件，

所以的取值范围为.

故选:D.

8．函数在区间上的零点个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据导数与函数的单调性、最值的关系以及零点的存在性定理求解.

【详解】对函数求导可得，，

记,则，

当时，，则，

当时，，则，

所以在上，，所以，所以单调递增，

注意到，

所以必存在使得，

于是在上单调递减，在上单调递增，

又，

所以在区间上必存在一个零点.

综上，函数在区间上有两个零点.

故选:B.

二、多选题

9．下列四个命题中，为假命题的是（    ）

A．，

B．“，”的否定是“，”

C．“函数在内”是“在内单调递增”的充要条件

D．已知在处存在导数，则“”是“是函数的极值点”的必要不充分条件

【答案】BC

【分析】根据各命题对应的知识逐个判断即可解出．对于，利用导数判断其单调性，再根据零点存在性定理即可判断；对于，由全称命题的否定是特称命题即可判断；对于，根据函数的单调性与导数的关系即可判断；对于，根据极值存在的条件即可判断；

【详解】解：对于，设，，因为，所以在上单调递增，而，（1），（1），

即，使得，即，正确；

对于，“，”的否定是“，” 不正确；

对于，“函数在内”是“在内单调递增”的充分条件，不正确；

对于，因为在处存在导数，根据极值点的定义可知，“是函数的极值点”可以推出“”，但是“”不一定可以推出“是函数的极值点”，

比如函数在处有，但是不是函数的极值点，正确．

故选：BC．

【点睛】本题主要考查函数零点分布判断，全称命题的否定，以及导数与函数单调性，极值的关系应用，属于中档题．

10．若均为正数，且，则下列结论正确的是（    ）

A．的最大值为

B．的最小值为9

C．的最小值为

D．的最小值为

【答案】ABD

【分析】对于A，B，利用均值不等式或“1”的妙用计算判断；对于C，D化成关于b的二次函数即可判断作答.

【详解】因均为正数，且，

则有，当且仅当时取“=”，即的最大值为，A正确；

，当且仅当时取“=”，即的最小值为9，B正确；

显然，在上单调递减，无最小值，C不正确；

，当且仅当时取“=”，即的最小值为，D正确.

故选：ABD

11．下列命题中，正确的是（    ）．

A．随机变量X服从二项分布，若，，则

B．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为

C．从3个红球2个白球中，一次摸出3个球，则摸出红球的个数X服从超几何分布，

D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当且仅当时概率最大

【答案】BCD

【分析】利用二项分布的期望方差公式计算，求得p,q的值，从而判断A；

利用间接法计算，可以判定B；

利用超几何分布，写出分布列，计算期望，可以判定C；

利用二项分布的性质可以判定D.

【详解】A：，可得，A错；

B：利用间接法有，B对；

C：，，，

，则期望,故C正确；

D：，所以，当时概率最大，所以D对.

故选：BCD.

12．已知函数，下述结论正确的是（    ）

A．存在唯一极值点，且

B．存在实数，使得

C．方程有且仅有两个实数根，且两根互为倒数

D．当时，函数与的图象有两个交点

【答案】ACD

【分析】对进行求导可得，利用导数研究函数的单调性和极值，逐个判断即可得解.

【详解】对进行求导可得：

，显然为减函数，

，

故存在，使得，

并且，，为增函数，

， ，为减函数，

故为极大值点，所以A正确；

所以，

可得：，

因为，所以，故B错误，

若是的一解，即，

则，

故和都是的解，故C正确，

由，可得，

令，

，

令 ，

因为，所以，

故为减函数，

而，

所以当，，即，为增函数

，，即，为减函数，

所以，

故当，有两个解，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了方程双根问题，同时考查了虚设零点问题以及二次求导问题，是导数作为选择题压轴题的典型题型，对思路要求和计算能力要求非常高，属于难题.

三、填空题

13．某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物四个学科辅导课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名辅导课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的辅导课程，则恰有两位同学选择数学辅导课程的报名方法数为           ．

【答案】54

【分析】先安排两人选择数学，再安排另外两人选择其他课程，结合分步乘法计数原理运算求解.

【详解】安排两人选择数学，共有种不同的安排方法，

另外两人选择其他课程（剩余3个课程），共有种不同的安排方法，

所以共有种不同的安排方法.

故答案为：54.

14．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为          ．

【答案】

【分析】由全概率公式即可处理.

【详解】设=“任取一个X光片为次品”，=“X光片为某厂生产”（甲、乙、丙厂依次对应

）则,且两两互斥.

由题意可得：,

15．某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设，与的数据如表格所示：

得到与的线性回归方程，则           .

【答案】

【分析】根据已知求得，，进而代入回归方程可求得，从而得出.然后代入，根据指对互化，即可得出答案.

【详解】由已知可得，，，

所以，有，解得，

所以.

由，得，

所以，

所以.

故答案为：.

16．已知是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是      ．

【答案】

【分析】令函数，根据题意得到，得出为单调递增函数，把不等式，转化为，结合单调性，即可求解.

【详解】由题意，令，可得，

因为，所以，为单调递增函数，

又由，且，即，

所以，即不等式的解集为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合.

(1)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围；

(2)若成立，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据充分不必要条件得出集合的包含关系，根据包含关系可求答案；

（2）根据二次函数区间最值，及二次不等式恒成立可求答案.

【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，

则B是A的真子集，而不为空集，

则（等号不同时成立），解得，

即m的取值范围是.

（2）设，

则，

∵，

∴，

由题意得，即，

即a的取值范围为.

18．若，．

(1)求的大小（用指数式表示）；

(2)求除以所得的余数．

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）分别令、，求出、的值，再两式相减除以即得；

（2）由（1）知，再由利用二项式定理展开，即可得解.

【详解】（1）因为，

令，得①，

令，得②，

①减②的差除以，得．

（2）由（1）知，

因为，

所以，

因为为整数，

所以被除的余数为，即除以的余数为.

19．已知函数，.

（1）若，求的最值；

（2）若存在，使得，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）求得的定义域和导数，利用导数研究在区间上的最大值和最小值.

（2）将问题转化为，.对分成，两种情况进行分类讨论，结合导数进行分析，由此求得的取值范围.

【详解】（1）的定义域为，，

令，得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增

又，.

所以，

(2)由题意知：只需，，

由（1）知在单调递减，单调递增，

①若，则在单减，则只需，

即，

记，，

因为，所以在减，增，

而，，所以在恒成立，

又因为，所以对任意恒成立.

②若，，只需，

即，解得，

综上，.

【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查利用导数研究不等式成立的存在性问题，属于中档题.

20．五一假期来临，某商场拟通过摸球兑奖的方式回馈顾客．规定：每位购物金额超过千元的顾客从一个装有5个标有面值的球(大小质地均相同)的袋中随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的购物减免额．若袋中所装的5个球中有1个标的面值为50元，2个标的面值为10元，其余2个标的面值均为5元：

（1）求顾客获得的购物减免额为60元的概率；

（2）若已知顾客摸到的一个球所标的面值为10元，求顾客获得购物减免额为15元的概率；

（3）求顾客获得的购物减免额的分布列．

【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析．

【分析】（1）直接利用古典概型的概率公式求概率即可；

（2）设A=“摸到的一个球所标的面值为10元”，B=“获得购物减免额为15元”，先分别计算和，利用条件概率的计算公式即可求解；

所以

（3）依题意，列举的所有可能取值，分别求概率，写出分布列.

【详解】（1）设顾客所获得的奖励额为(单位：元)．

依题意，得，即顾客所获得的奖励额为60元的概率为．

（2）设A=“摸到的一个球所标的面值为10元”，B=“获得购物减免额为15元”

因为，

所以

（3）依题意，得的所有可能取值为60，55，20，15，10

所以的分布列为

21．某网站统计了某网红螺蛳粉在2022年9月至2023年2月（月份代码为1~6）的销售量y（单位：万份），得到以下数据：

(1)由表中所给数据求出关于的经验回归方程；

(2)为调查顾客对该网红螺蛳粉的喜欢情况，随机抽查了200名顾客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，并判断依据的独立性检验，能否认为“顾客是否喜欢该网红螺蛳粉与性别有关”．

（参考公式：经验回归方程：，其中，）

，其中．

临界值表：

【答案】(1)

(2)列联表见解析；能认为“顾客是否喜欢该网红螺蛳粉与性别有关”

【分析】（1）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.

（2）根据已知条件填写列联表，计算的值，由此作出判断.

【详解】（1）依题意可得，

，

，

，

所以，

所以，

所以.

（2）依题意可得列联表如下：

所以，

依据的独立性检验，能认为“顾客是否喜欢该网红螺蛳粉与性别有关”．

22．已知函数，．

（1）讨论函数极值点的个数；

（2）若函数有两个极值点，，证明：．

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）求出导函数，研究在上解的个数，由的正负确定的单调性，确定极值点个数；

（2）由（1）知，当时，函数有两个极值点，，且，．计算并转化为关于的函数，然后求出函数的单调性证明结论成立．

【详解】解：（1），．

当时，，

在单调递增，没有极值点；

当时，令，时，或，

设当时，方程的两根为，，且．

若，则，注意到，，

知的两根，满足．

当，，，单增；

当，，，单减，

所以只有一个极值点；

若，则，，

即恒成立，

在单调递增，所以没有极值点；

若，则，注意到，，

知的两根，满足．

当，，，单增；

当，，，单减；

当，，，单增；

所以有两个极值点．

综上：当时，有一个极值点；

当时，没有极值点；

当时，有两个极值点．

（2）由（1）知，当时，函数有两个极值点，，

且，．

所以

，，

令，．

则，

所以在单调递减，

所以，所以．

【点睛】本题考查用导数研究函数的极值问题，证明有关极值点的不等式，证明有关极值点不等式的关键是问题的转化，利用极值点与题中参数关系，把问题转化为关于参数的函数，转化为确定函数的单调性．