2022-2023学年河北省衡水市第十三中学高二下学期质检数学试题含答案

2022-2023学年河北省衡水市第十三中学高二下学期质检数学试题

一、单选题

1．若，则（    ）

A．3 B．4 C． D．

【答案】C

【分析】由二项分布的方差公式求解即可.

【详解】因为，所以.

故选：C.

2．已知，则（    ）

A．0.99 B．0.01 C．0.09 D．0.9

【答案】A

【分析】利用对立事件的概率公式计算作答.

【详解】依题意，.

故选：A

3．已知变量关于的回归直线方程为，相关系数为，则下列选项正确的是（    ）

A．若，则与是正相关

B．若接近，则表示与的相关性很强

C．若，则

D．若变量增大一个单位，则变量就一定增加个单位

【答案】C

【分析】根据回归方程和相关系数的定义逐项判断即可．

【详解】对于A：若，则与是正相关，故A错误；

对于B：若接近，则表示与的相关性很强，故B错误；

对于C：若，则与是正相关，则，故C正确；

对于D：线性回归方程为估计值，不知准确值，故D错误．

故选：C．

4．已知随机变量的分布列为

若，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由概率和为1可确定，即可确定，后由方差性质可得答案.

【详解】由，得，则，．因为，所以．

故选：

5．公司要从3名男性员工和5名女性员工中随机选出3人去出差，设抽取的人中女性员工的人数为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式列式计算作答.

【详解】依题意，.

故选：A

6．预制菜指以各类农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等辅料经预选、调制等工艺加工而成的半成品．近几年预制菜市场规模快速增长，某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程．

按照这样的速度，预估第6个月的预制菜市场规模是（    ）

A．万元 B．万元 C．万元 D．万元

【答案】D

【分析】令，则，求出，，根据必过求出，再代入计算可得.

【详解】令，则，可得关于的数据如下：

所以，，

又必在回归方程上，所以，解得，

所以，当时，即预估第6个月的预制菜市场规模是万元.

故选：D

7．某班书法兴趣小组有6名男生和4名女生，美术兴趣小组有5名男生和5名女生．从书法兴趣小组中任选2人，与原来的美术兴趣小组成员组成新的美术兴趣小组，然后再从新的美术兴趣小组中任选1人，则选中的人是男生的概率为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设“从书法兴趣小组中任选的2人均是男生”，“从书法兴趣小组中任选的2人为1男1女”，“从书法兴趣小组中任选的2人均是女生”，由古典概率公式求出，再由条件概率和全概率公式求解即可.

【详解】记A＝“从新的美术兴趣小组中任选的1人为男生”，

“从书法兴趣小组中任选的2人均是男生”，

“从书法兴趣小组中任选的2人为1男1女”，

“从书法兴趣小组中任选的2人均是女生”，

则，，，

．

故选：C.

8．放假伊始，8名同学相约前往某门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中角色各1人，角色2人.已知这8名同学中有4名男生，4名女生，店主让他们8人分成两组先后参加游戏，其中角色不可同时为女生，角色至少有一名女生，则他们不同的选择方式共有（    ）

A．2376种 B．4752种 C．9504种 D．1584种

【答案】B

【分析】根据三个角色的要求进行分组，然后计算出他们不同的选择方式.

【详解】分组方法1：一组角色两个男生、角色男女；

另一组角色男女、角色女；

方法数有：.

分组方法2：一组男女；另一组男女；

方法数有：.

所以他们不同的选择方式共有.

故选：B

二、多选题

9．若，则，．已知，且，则（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】由正态分布的对称性求出，再由原则求解即可.

【详解】因为，且，

所以，解得．

．

故选：AC．

10．已知，则（    ）

A．

B．

C．展开式系数中最大

D．

【答案】AD

【分析】根据给定条件，利用赋值法计算判断ABD；求出展开式的通项公式，再建立不等式组求解判断C作答.

【详解】令，

当时，，A正确；

当时，，当时，，

因此，B错误；

展开式的通项为，

设第项的系数最大，显然且，于是，

即，整理得，解得，

而为整数，则，所以展开式系数中最大，C错误；

当时，，D正确.

故选：AD

11．如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华，小齐分别在道路网臂的A，B，C的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往B地和A地，小齐保持原地不动，则下列说法正确的有（    ）

A．小明可以选择的不同路径共有20种 B．小明与小齐能相遇的不同路径共有12种

C．小明与小华能相遇的不同路径共有164种 D．小明、小华、小齐三人能相遇的概率为

【答案】ACD

【分析】对于A：分析从A到B的路径组成，结合组合数运算求解；对于B：分析小明与小齐能相遇的路径组成，结合组合数运算求解；对于C：讨论小明与小华相遇的点，根据对称性结合组合数运算求解；对于D：根据对称性结合古典概型运算求解.

【详解】对于选项A：小明从A到B需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，

小明可以选择的不同路径共有种，故A正确；

对于选项B：小明与小齐相遇，则小明经过C，

小明从A经过C需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法数为，

再从C到B需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法数为，

所以小明与小齐能相遇的不同路径共有种，B不正确；

对于选项C：小明与小华的速度相同，故双方相遇时都走了3步，

则小明与小华相遇的点为正方形过点C的对角线上的四个点，

不同路径共有种，C正确；

对于选项D：小明从A到B的不同路径共有种，小华从B到A的不同路径共有种，

所以一共有400种，

则小明、小华、小齐三人相遇的概率，D正确．

故选：ACD.

12．若不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则的值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】将不等式变形为，然后由指数切线不等式得，再构造函数求出其最小值即可求解.

【详解】因为，所以，则．

令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．故，即，

从而，当且仅当时，等号成立．

又，所以，则，所以．

令，则．

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．故，

且当时，.

故选：ABD．

三、填空题

13．已知与独立，且，则      .

【答案】0.35/

【分析】利用独立事件的概率公式计算作答.

【详解】因为与独立，，所以.

故答案为：0.35

14．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后秒内列车前进的距离为米，若列车刹车后30秒车停下来，则刹车过程中列车前进了        米．

【答案】405

【分析】求的导数，即得速度v的表达式，令即可求得m的值，即可求得答案.

【详解】由题意得，即，

故令，

故（米），

故答案为：405

15．设为两个事件，若事件和事件同时发生的概率为，在事件发生的前提下，事件发生的概率为，则事件发生的概率为      .

【答案】/0.625

【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算作答.

【详解】因为，而，所以.

故答案为：

四、双空题

16．《夺冠》这部影片讲述的是中国女排从1981年首夺世界冠军到2016年里约奥运会生死攸关的中巴大战，诠释了几代女排人历经浮沉却始终不屈不挠、不断拼搏的精神．某排球赛采用五局三胜制（先胜三局者获胜），前4局每局25分，第5局15分．在每局的每一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于得分方．经过统计，甲、乙两支球队在前4局比赛中，甲每局获胜的概率为，各局相互独立且互不影响，在第5局每一个回合中，输赢的情祝如下：当甲队拥有发球权时，甲队该回合获胜的概率为，当乙队拥有发球权时，甲队该回合获胜的概率为，那么在第5局开始之前甲队不输的概率为       ；若两支球队比拼到第5局时，甲队拥有发球权，则甲队在前3个回合中至少获得2分的概率为       

【答案】         

【分析】在第5局开始之前甲队不输的情况包括了甲胜，甲胜，甲平，再由分类法计算原理和分步乘法计数原理即可求出甲队不输的概率；在前3个回合中，甲队至少获得2分对应的胜负情况为:胜胜负，胜负胜，负胜胜，胜胜胜，共4种情况，再由分类法计算原理和分步乘法计数原理即可求出甲队不输的概率.

【详解】因为在第5局开始之前甲队不输的情况包括了甲胜，甲胜，甲平，

所以甲队不输的概率．

在前3个回合中，甲队至少获得2分对应的胜负情况为:胜胜负，胜负胜，负胜胜，胜胜胜，共4种情况，

对应的概率分别记为，

则，，，

所以甲队在前3个回合中至少获得2分的概率．

故答案为：；.

五、解答题

17．已知的展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的和为275．

(1)求n的值；

(2)求展开式中含项的系数．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用赋值法与二项式系数的性质得到关于的方程，从而得解；

（2）利用二项式定理求得的展开通项公式，由此得解.

【详解】（1）令，则的展开式中各项的系数和为，

又的二项式系数和为，所以，

令，，易知单调递增，且，故．

（2）由（1）得，

又展开式的通项公式为，

令，得，

所以的展开式中含项的系数为．

18．某单位在当地定点帮扶某村种植一种草莓，并把这种原本露天种植的草莓搬到了大棚里，获得了很好的经济效益.根据资料显示，产出的草莓的箱数（单位：箱）与成本（单位：千元）的关系如下：

与可用回归方程（其中为常数）进行模拟.某农户种植的草莓主要以300元/箱的价格给当地大型商超供货，多余的草莓全部以200元/箱的价格销售给当地小商贩.

(1)若该农户1月份草莓的种植量为100箱，全部被当地大型商超收购，试预测该农户的利润是多少元（精确到个位）；

(2)据统计，往年1月份当地大型商超草莓的需求量为150箱，根据回归方程以及往年商超草莓的需求情况进行预测，求今年1月份农户草莓的种植量为200箱时所获得的利润.（最后结果精确到个位）

附：在线性回归直线中，.

【答案】(1)元；

(2)元.

【分析】（1）由表格中的数据，结合最小二乘法公式求出回归直线方程，再求出预测值作答.

（2）由（1）的回归方程求出成本价，再求出利润作答.

【详解】（1）依题意，，

则，

，

于是，，因此回归方程为，

当时，成本为，

所以预测该农户的利润是元.

（2）由（1）知，农户草莓的种植量为200箱的成本为，

所以所获利润为元.

19．某校为增强学生保护生态环境的意识，举行了以“要像保护眼睛一样保护自然和生态环境”为主题的知识竞赛．比赛分为三轮，每轮先朗诵一段爱护环境的知识，再答道试题，每答错一道题，用时额外加秒，最终规定用时最少者获胜．已知甲、乙两人参加比赛，甲每道试题答对的概率均为，乙每道试题答对的概率均为，甲每轮朗诵的时间均比乙少秒，假设甲、乙两人答题用时相同，且每道试题是否答对互不影响．

(1)若甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相等，求最终乙获胜的概率；

(2)请用统计学的知识解释甲和乙谁获胜的可能性更大．

【答案】(1)

(2)甲获胜的可能性更大，理由见解析

【分析】（1）分析可知第三轮答题中乙要比甲多答对道题以上才能获胜，对甲、乙答对试题的数量进行分类讨论，结合独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）设甲在比赛中答错的试题数量为，乙在比赛中答错的试题数量为，分析可知，，计算出两人因答错试题而额外增加的时间的期望值，并算比较两人所用的时间的期望的大小，即可得出结论.

【详解】（1）解：因为甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相同，

且甲每轮朗诵的时间均比乙少秒，

所以，第三轮答题中乙要比甲多答对道题以上才能获胜，

若乙答对道试题，甲答对道试题，概率为，

若乙答对道试题，甲答对道或道试题，概率为，

所以，乙获胜的概率为.

（2）解：设甲在比赛中答错的试题数量为，乙在比赛中答错的试题数量为，

则，，

由二项分布的期望公式可得，，

则因甲答错试题额外增加的时间的期望值为秒，

乙因答错试题额外增加的时间的期望值为秒，

因为三轮中，甲朗诵的时间比乙少秒，所以，甲最后所用的时间的期望比乙少秒，

所以，甲获胜的可能型更大.

20．为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日继续在全省实施景区门票减免，全省国有A级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A级旅游景区首道门票至少半价优惠．某机构为了了解游客对全省实施景区门票减免活动的满意度，从游客中按年龄40周岁及以下和40周岁以上随机抽取100人，其中年龄在40周岁及以下的有40人，且有的游客表示满意，年龄在40周岁以上的游客中表示满意的人数与年龄在40周岁及以下的游客中表示满意的人数相同．

(1)根据统计数据完成以下2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联？

(2)按照年龄和满意与否采用分层抽样从这100名游客中随机抽取10名，进一步了解游客对本次活动的看法，再从这10名游客中随机选取3名作为代表对本次活动提出改进措施，记选取的3名代表中“40周岁及以下表示满意”与“40周岁以上表示满意”的人数差的绝对值为，求随机变量的分布列和数学期望．

参考公式及数据：，其中．

【答案】(1)列联表见解析，能认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据题干数据完善列联表，计算出卡方，即可判断；

（2）利用分层抽样求出各组的人数，则的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.

【详解】（1）依题意年龄在周岁及以下且满意的有人，则不满意的有人，

年龄在周岁以上且满意的有人，不满意的有人，

所以列联表如下：

所以，

所以根据小概率值的独立性检验，能认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联.

（2）依题意周岁及以下表示满意的抽取人，表示不满意的抽取人，

周岁以上表示满意的抽取人，表示不满意的抽取人，

则的可能取值为、、、，

所以，，

，，

所以的分布列为：

所以.

21．如图，一个仓库由上部屋顶和下部主体两部分组成，上部屋顶的形状为正四棱锥，，下部主体的形状为正四棱柱．已知上部屋顶的造价与屋顶面积成正比，比例系数为，下部主体的造价与高度成正比，比例系数为．欲建造一个上、下总高度为，的仓库．现存两个求总造价的方案：

(1)设，将总造价表示为的函数；

(2)设屋顶侧面与底面所成的二面角为，将总造价表示为的函数．

请从上述两个方案中任选一个，求出总造价的最小值．

【答案】(1)①；②.

(2)

【分析】（1）①求出得出上部屋顶造价，由得出下部主体造价，进而得出总造价；②由二面角的定义结合直角三角形的边角关系得出总造价；

（2）选择①：令，利用导数得出总造价的最小值；选择②：令，由导数得出总造价的最小值.

【详解】（1）解：①由题意可知，，

则，

取的中点，连接、，

因为，为的中点，则，

所以，，

所以，

故上部屋顶造价为.

因为，所以下部主体造价为.

故总造价为.

②如图，设的中点为，连接，则.

由于平面，平面，则有，

因为，为的中点，则，

因为，、分别为、的中点，则，则，

在中，由二面角的定义可知，则有，，

所以上部屋顶面积为，下部主体的高度为，

所以仓库的总造价为，其中.

（2）解：选择①：总造价为，

令，.

当时，；当时，.

即函数在上单调递减，在上单调递增.

故总造价取最小值为.

选择②：设，所以.

令，得，令，，则.

则当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

所以当时，有最小值，

此时总造价取最小值为.

22．甲，乙两人进行了一次羽毛球比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利比赛结束．假设在一局比赛中若甲先发球，则这局甲获胜的概率是；若乙先发球，则这局比赛甲获胜的概率是．已知第1局比赛甲先发球，以后每局比赛由前1局获胜的一方先发球，且各局比赛结果相互独立．每局比赛都分出胜负．

(1)求比赛只进行3局就结束的概率；

(2)记比赛结束后，甲获胜的局数为X，求X的分布列及期望．

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，期望为.

【分析】（1）分两种情况（甲获胜和乙获胜）讨论，利用独立事件的概率公式求解；

（2）由题意可知X的所有可能取值是0，1，2，3，再求出对应的概率即得解.

【详解】（1）比赛只进行3局就结束的情况有两种：

第一种情况是甲3：0获胜，其概率，             

第二种情况是乙3：0获胜，其概率，       

故比赛只进行3局就结束的概率.

（2）由题意可知X的所有可能取值是0，1，2，3．

，            

，            

，

，           

，                   

则X的分布列为

故