2022-2023学年辽宁省六校协作体高二下学期6月联合考试数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省六校协作体高二下学期6月联合考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别求出集合A、B，即可求出结果.

【详解】因为，

，

所以.

故选：D.

2．下列各命题的否定为真命题的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据全称命题与特称命题的否定，结合二次不等式以及举反例的方法，可得答案.

【详解】对于A，命题“，”的否定为“，”，

由恒成立，则命题“，”是假命题，故A错误；

对于B，命题“，”的否定为“，”，

当时，，则命题“，”是假命题，故B错误；

对于C，命题“，”的否定为“，”，

当时，，则命题“，”为假命题，故C错误；

对于D，命题“，”的否定为“，”，

当时，，则命题“，”是真命题，故D正确.

故选：D.

3．“”是”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要分件

【答案】A

【分析】根据不等式的解法，求得不等式的解决，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由不等式，可得，解得或，

因为“”是“或”充分不必要条件，

所以“”是“”充分不必要条件.

故选：A.

4．已知函数（且），若，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据条件判断函数为偶函数，同时，再利用单调性即可求出结果.

【详解】因为函数定义域为，且，

所以函数为偶函数，

则，

因为，则，即，

所以，

所以可以转化为，

则，

所以，

故选：B.

5．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用数形结合计算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得结论．

【详解】设，可得圆的半径为，

又由，

在中，可得，

因为，所以，当且仅当时取等号．

故选：D.

6．设，，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．

详解：.

,即

又

即

故选B.

点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．

7．已知定义在上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（    ）

A．的一个周期为6 B．在区间上单调递增

C．的图像关于直线对称 D．在区间上共有100个零点

【答案】C

【分析】由条件结合周期函数定义可证明为周期函数，可判断A；再根据奇偶性、周期性、单调性判断BC；再结合函数零点的定义判断D.

【详解】因为，所以令，得，故，

又为偶函数，所以，所以，即，

故，所以的一个周期为12，故A错误；

又在区间上是增函数，所以在区间上是减函数，

由周期性可知在区间上单调递减，故B错误；

因为为偶函数，所以图像关于y轴对称，

由周期性可知图像关于直线对称，故C正确；

因为在区间上是增函数，所以在区间上是减函数，

又，所以由周期性可知，在区间上，，

而区间上有168个周期，故在区间上有336个零点，

又，所以在区间上有337个零点，

由于为偶函数，所以在区间上有674个零点，故D错误；

故选：C.

8．已知数列的各项均为正数，记数列的前项和，且满足，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据求出，判断是等差数列，求出的通项公式，再求出，逐个判断即可.

【详解】当时，，解得；

当时，因为，代入得：

，化简得：，

所以是首项为，公差为的等差数列.

所以，因为，所以

所以，，

，经检验也成立，

所以，

对于B：，

所以B正确.

对于D：

，

所以D错误.

故选：B

二、多选题

9．已知函数，则（    ）

A．的定义域为 B．的图像关于对称

C． D．的值域是

【答案】AC

【分析】对于A，根据函数解析式，建立不等式，求得定义域，可得答案；

对于B，取关于直线对称的点，求函数值，可得答案；

对于C，根据函数解析式，代入值，可得答案；

对于D，利用不等式性质，可得答案.

【详解】对于A，由，则，解得，其定义域为，故A正确；

对于A，因为函数在无定义，，由，

所以的图象不关于对称，故B错误；

对于C，，，故C正确；

对于D，由，，或，

解得或，函数的值域为，故D错误.

故选：AC.

10．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合，逐项判断即可.

【详解】因为是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且两函数在上单调递减，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，

所以，，

所以，，，

所以BD正确，C错误；

若，则，A错误.

故选：BD

11．已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则是等差数列

B．若，，则是等比数列

C．若是等差数列，则，，成等差数列

D．若是等比数列，则，，成等比数列

【答案】ABC

【分析】求出通项公式判断AB；利用数列前n项和的意义、结合等差数列推理判断C；举例说明判断D作答.

【详解】对于A，，时，，解得，因此，，是等差数列，A正确；

对于B，，，则，而，是等比数列，B正确；

对于C，设等差数列的公差为，首项是，

，

，

因此，则 ，成等差数列，C正确；

对于D，若等比数列的公比，则 不成等比数列，D错误.

故选：ABC

12．下列不等关系中成立的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】对于A，先分析当和2时，不等式显然成立，然后结合当时，得当时，，从而判断A选项．对于B，利用对数的运算及基本不等式证明当且时，，得到，从而判断B选项．对于C，根据不等式的结构特征构造函数，利用函数的单调性即可判断C选项．对于D，根据常见不等式，并结合放缩法即可判断D选项．

【详解】对于A：当和2时，显然成立；因为当时，

，

所以函数此时是减函数，故当时，有

所以当时，，，即．综上，，所以A正确．

对于B：当且时，，所以，

所以当且时，，所以

，所以，所以B正确．

对于C：令，

则，易知当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，则，所以，故C不正确．

对于D：易知，设，

当时，单调递增，当时，单调递减，

当时函数有最小值，即有，

所以，即．因为，所以，

所以，所以，所以D正确．

故选：ABD

【点睛】关键点睛：根据不等式的形式构造合适的函数，利用导数的性质是解题的关键.

三、填空题

13．已知函数，则曲线所有的切线中斜率最小的切线方程为      ．

【答案】

【分析】由函数解析式求其导函数，利用基本不等式求得斜率最小值以及切点，结合点斜式方程，可得答案.

【详解】由，，由，当且仅当时，等号成立，

曲线所有的切线中斜率最小的切线的斜率，切点为，

所以切线方程为，整理可得.

故答案为：.

14．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则      ．

【答案】

【分析】计算出，，倒序相加得到答案.

【详解】

，，

因为①，

所以②，

两式相加得

，

所以.

故答案为：

15．已知，，则的最小值为          ．

【答案】3

【详解】分析：先讨论的符号，再利用基本不等式进行求解．

详解：显然，当时，

（当且仅当，即时取等号）；

当时，

（当且仅当，即时取等号）；

综上所述，的最小值为3．

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号成立的条件）的条件，否则会出现错误．

16．若存在实数（），使得关于x的不等式对恒成立，则b的最大值是         .

【答案】

【分析】先考虑恒成立，得到.再考虑恒成立，得到，再解不等式即得解.

【详解】当，且时，由，得.

设，则.

当时，，在上单调递增，

当时，，在上单调递减.

所以，得，

等价于，而，

当且仅当时等号成立.

所以，则，

所以，

解得，所以b的最大值是.

故答案为：

【点睛】方法点睛：求解不等式的恒成立问题，常用的方法有：（1）分离参数求最值；（2）直接求函数的最值；（3）端点优先法.要根据已知条件灵活选择方法求解.

四、解答题

17．如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的两条公路（长度均超过4千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米．若要求观景台与两接送点所成角与互补，且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路和，求观光线路之和最长是多少千米，此时为多少千米？

【答案】观光线路之和最长是4千米，此时为4千米

【分析】由余弦定理结合基本不等式可求得，取等号时，是直角三角形，从而求出的长.

【详解】在中，因为，，所以，

又与互补，所以，

在中，由余弦定理得，

即，即，

又因为，所以，

当且仅当时取等号，

此时由于，，，所以≌，

又与互补，所以，所以.

所以观光线路之和最长是4千米，此时为4千米.

18．已知函数为偶函数，为奇函数，且.

(1)求函数和的解析式；

(2)若在恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)，

(2).

【分析】（1）根据函数的奇偶性，为题干条件可以新加入一个方程，联立解出和；

（2）利用指数函数的性质，换元后，参变分离来解决.

【详解】（1）为偶函数，为奇函数，，

由得：，.

（2）由（1）得：，由得：，根据指数函数性质，，在上单调递增，故在上单调递增，故，令，则，

，即对恒成立，即上恒成立，根据对勾函数性质，在时单调递增，所以，于是，即实数的取值范围为.

19．记数列的前n项和为，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)设m为整数，且对任意，，求m的最小值．

【答案】(1)

(2)7

【分析】（1）由数列与的关系可得，再结合等比数列的通项可得解；

（2）利用错位相减法求出，结合范围即可得解.

【详解】（1）因为，所以，

当时，，故，

且不满足上式，

故数列的通项公式为

（2）设，则，

当时，，

故，

于是．

整理可得，所以，

又，所以符合题设条件的m的最小值为7．

20．已知函数（，）．

(1)求函数的单调区间；

(2)若对任意的，都有成立，求的取值范围．

【答案】(1)当时，的递增区间为；当时，的递增区间为，递减区间为

(2)

【分析】（1）求导可得，再分与两种情况讨论，分析导函数的正负与原函数的单调性即可；

（2）将题意转化为对任意的，，先讨论的情况，当再根据与1的关系，结合函数的单调性与最值求解即可.

【详解】（1）

①当时，恒成立，函数的递增区间为．

②当时，令，解得或．

所以函数的递增区间为，递减区间为．

（2）对任意的，使恒成立，只需对任意的，．

①当时，在上是增函数，所以只需，

而，所以满足题意；

②当时，，在上是增函数，

所以只需，而，所以满足题意；

③当时，，在上是减函数，上是增函数，

所以只需即可,而，从而不满足题意；

综上可知，实数的取值范围为．

21．已知数列的各项均为正数，其前项和满足，．

(1)证明：数列是等比数列；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据，得到，整理得到，证明出结论；

（2）先求出，结合第一问可得到等比数列的公比及，进而变形得到，利用裂项相消法求和.

【详解】（1）因为，，

所以    ①，

当时，   ②，

则①－②得：，

因为，所以

整理得：，即，所以数列是等比数列；

（2）中，令得，，

因为，所以，解得，

故等比数列的公比，

所以；，

故，

则

22．已知定义域均为的两个函数，．

(1)若函数，且在处的切线与轴平行，求的值；

(2)若函数，讨论函数的单调性和极值；

(3)设，是两个不相等的正数，且，证明：．

【答案】(1)；

(2)在(−∞,0),(0,1) 上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,的极小值为，无极大值；

(3)证明见详解.

【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；

（2）根据导数与函数单调性的关系，确定单调性进而可得极值；

（3）根据同构和函数的单调性以及二次求导即可求解.

【详解】（1）因为，所以，

所以，

又在处的切线与轴平行，

所以，

所以，

所以，

即，

所以；

（2）因为,

所以的定义域为 ,

，令,得,

当 变化时 的关系如下表:

所以在(−∞,0),(0,1) 上单调递减; 在 (1,+∞)上单调递增.

所以的极小值为，为极大值；

（3）证明：要证,

只需证，根据,

只需证，又，是两个不相等的正数，不妨设 ,

由得,

两边取指数,, 化简得: ，

令，所以

，

根据（2）得在上单调递减，在上单调递增（如图所示),

由于在上单调递减,在上单调递增,

要使且相等,

则必有 , 即,

由得.

要证, 只需证,

由于在上单调递增, 要证,

只需证,

又, 只需证,

只需证，

只需证，

只需证,

只需证，即证,

令

,

只需证,

则

所以在 上单调递减,

所以,

所以，所以在上单调递减,

所以，所以,

所以: .

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.