2022-2023学年辽宁省沈阳市第二十中学高二下学期第二次阶段测试（6月）数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省沈阳市第二十中学高二下学期第二次阶段测试（6月）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．（1，3）

C． D．

【答案】C

【分析】先求出集合B，然后再求两集合的并集即可.

【详解】由，得，解得或，

所以或，

因为，

所以，

故选：C

2．记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，

【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，

则，

因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；

反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，

即，则，有，

两式相减得：，即，对也成立，

因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，

则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；

反之，乙：为等差数列，即，

即，，

当时，上两式相减得：，当时，上式成立，

于是，又为常数，

因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

3．现有4道填空题，学生张三对其中3道题有思路，1道题思路不清晰．有思路的题做对的概率为，思路不清晰的题做对的概率为，张三从这4道填空题中随机选择1题，则他做对该题的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据全概率公式即可求得答案.

【详解】设张三从这4道填空题中随机选择1题，该题有思路为事件,

该题思路不清晰为事件,

张三从这4道填空题中随机选择1题，则他做对该题为事件B，

则,,

由全概率公式可得，张三做对该题的概率为

,

故选：C

4．对数的发明并非来源于指数，而是源于数学家对简化大数运算的有效工具的追求.其关键是利用对应关系：.观察下表：

已知299792.468是光在真空中的速度，3153600是一年的总秒数(假设一年365天)，根据表中数据，计算，则一定落在区间（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由对数运算性质及对数函数的性质进行判断．

【详解】解：根据表中数据，，

，

，

即

故选：C．

5．已知函数，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分和两种情况分别解不等式即可

【详解】当时，即时，，即，所以，即，所以无解．

当，即，所以，，，

又，所以．

故选B．

6．流感病毒分为甲、乙、丙三型，甲型流感病毒最容易发生变异，流感大流行就是甲型流感病毒出现新亚型或旧亚型重现引起的．根据以往的临床记录，某种诊断甲型流感病毒的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有甲型流感”，则有，．现对自然人群进行普查，设被试验的人患有甲型流感的概率为0.005，即，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出，,，，由条件概率公式和全概率公式可得答案.

【详解】因为，所以,

因为，所以，

所以,

．

故选：A.

7．已知函数的导函数，若在处取得极大值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】分四种情况讨论，分别判断两边导函数值的符号，判断在处是否取得极大值，即可筛选出的取值范围.

【详解】由在处取得极大值可知，当时，；

当时，，

其等价于①存在，使得，

且②存在，使得；

若时，的解集为，不满足②即不存在，使得，故时在不是极大值；

若时，的解集为，的解集为，满足①②，故时，在处取得极大值；

若，恒小于等于0，不满足①，故时，在取不到极大值；

若时，的解集为，不满足②，故时，在处取不到极大值.

综上，的取值范围是.

故选：A.

【点睛】求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4)检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.

8．记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）．

A．120 B．85 C． D．

【答案】C

【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；

方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．

【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，

若，则，与题意不符，所以；

若，则，与题意不符，所以；

由，可得，，①，

由①可得，，解得：，

所以．

故选：C．

方法二：设等比数列的公比为，

因为，，所以，否则，

从而，成等比数列，

所以有，，解得：或，

当时，，即为，

易知，，即；

当时，，

与矛盾，舍去．

故选：C．

【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．

二、多选题

9．在以下4幅散点图中，所对应的成对样本数据呈现出线性相关关系的是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】AB

【分析】根据数据点的分布情况直观判断是否有线性相关关系即可.

【详解】A、B中各点都有线性拟合趋势，其中A样本数据正相关，B样本数据负相关；

C中各点有非线性拟合趋势，D中各点分布比较分散，它们不具有线性相关.

故选：AB

10．已知函数，非零实数，，，满足，，，则下列结论可能成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用函数的定义域、特殊点的函数以及导数、零点存在定理研究函数的大致图象，根据已知结合图象进行判断.

【详解】因为f（x）的定义域为，，

所以f（x）在上单调递增，在上单调递增，

当时，f（x）>0，且，f（1）＝e－1>0，

所以存在，使得．故C错误．

f（x）的图象如图所示：

因为，所以或

或或．故ABD正确.

故选：ABD.

11．已知函数，则（    ）

A．为奇函数 B．为减函数

C．有且只有一个零点 D．的值域为

【答案】ACD

【分析】化简函数解析式，分析函数的奇偶性，单调性，值域，零点即可求解.

【详解】，，故为奇函数，

又，在上单调递增，

，，，

，，即函数值域为

令，即，解得，故函数有且只有一个零点0．

综上可知，ACD正确，B错误．

故选：ACD

12．已知定义在上的函数和的导函数分别为和，若，且为偶函数，为奇函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据，故，利用的对称性结合赋值法可求及，故可判断A的正误，又我们可以得到，赋值后可求，故可判断B的正误，最后再结合的对称性可得的值，故可判断CD的正误.

【详解】因为为奇函数，所以 ①，

的图象关于点对称，则．

而，则，A正确．

因为为偶函数，所以，则，即，

故的图象关于原点对称，．

因为，所以，

，B错误．

因为的图象关于点对称，所以，C正确．

又，

故的图象关于点对称，所以 ②．

由①②可得即，

所以，D正确．

故选：ACD.

三、填空题

13．的最小值为      ．

【答案】

【分析】整理式子利用基本不等式求解即可.

【详解】因，

，

当且仅当a＝1时，等号成立．

故答案为：

14．已知等比数列满足，等差数列满足，则           ．

【答案】10

【分析】由已知结合等比数列的性质可求，然后结合等差数列的性质即可求解．

【详解】因为等比数列中，，

所以，

因为，

则由等差数列的性质得．

故答案为：10．

15．已知奇函数，则      .

【答案】7

【分析】结合分段函数以及函数的奇偶性，求出时，的解析式即可求出结果.

【详解】当时，，，又因为函数是奇函数，所以.

所以.

故答案为：7

16．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是      .

【答案】

【分析】设由题可知，当时，可得适合题意，当时，可求函数的最小值即得，当时不合题意，即得.

【详解】设，由题可知，

∴，

当时，，适合题意，所以，

当时，令，则，

此时时，，单调递减，，，单调递增，

∴，又，

∴，

∴，即，

解得，

当时，时，，，故的值有正有负，不合题意；

综上，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，设由题可知，当时，利用导数可求函数的最小值，结合，可得，进而通过解，即得.

四、解答题

17．设不等式的解集为，关于的不等式的解集为.

（1）求集合；

（2）条件：，条件：，是的充分条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）解一元二次不等式即可求解.

（2）解一元二次不等式求出，根据充分条件可得，再由集合的包含关系即可求解.

【详解】解：（1）因为，即，所以.

（2）因为不等式，所以，

得，所以.

因为：，：，是的充分条件，所以.

因为，所以且，

所以实数的取值范围是

18．保护知识产权需要将科技成果转化为科技专利，这样就需要大量的专利代理人员从事专利书写工作，而物理方向的研究生更受专利代理公司青睐．通过培训物理方向的研究生，他们可以书写化学、生物、医学等方面的专利，而其他方向的研究生只能写本专业方面的专利．某大型专利代理公司为了更好、更多地招收研究生来书写专利，通过随机问卷调查的方式对物理方向的研究生进行了专利代理方向就业意向的调查，得到的数据如下表：

(1)用频率近似概率，估计从物理方向的研究生中任选人，求至少有人喜欢专利代理方向就业的概率；

(2)根据的独立性检验，能否认为物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别有关联？

附临界值表及参考公式：

，．

【答案】(1)

(2)物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别有关联

【分析】（1）计算出物理方向的研究生中每人喜欢专利代理方向就业的概率，再结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）提出零假设为物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别没有关联，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.

【详解】（1）解：由调查问卷知，名物理方向的研究生中有名喜欢专利代理方向就业，

所以估计物理方向的研究生喜欢专利代理方向就业的概率为．

从物理方向的研究生中任选人，设喜欢专利代理方向就业的人数为，

则，

即估计从物理方向的研究生中任选人，至少有人喜欢专利代理方向就业的概率为．

（2）解：零假设为物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别没有关联．

，

所以根据的独立性检验，可以推断不成立，

所以物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于．

19．已知函数．

(1)求曲线y＝f（x）在点处的切线方程；

(2)若恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)7x－4y－20＝0

(2)．

【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率即可得解；

（2）利用导数求出函数的单调性得出最小值，即可求出的取值范围.

【详解】（1），

，f（4）＝2．

则曲线y＝f（x）在点处的切线方程为，

即7x－4y－20＝0．

（2），

令函数，．

所以g（x）在上单调递增．

因为，所以当时，，即，

当时，，即，

所以f（x）在上单调递减，在上单调递增，

则．

因为恒成立，所以．

故a的取值范围为．

20．某商家为了促销某商品，制作了一些卡片，卡片共有3种不同的颜色，顾客每次消费满额都随机赠送1张某种颜色的卡片，集齐3张相同颜色的卡片即可兑换该商品一件．

(1)求某顾客消费满额4次后仍未集齐3张相同颜色的卡片的概率；

(2)设某顾客消费满额次后刚好集齐3张相同颜色的卡片，求的分布列及期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）用古典概型的方法求解；

（2）按求分布列的步骤进行求解，进而可求期望.

【详解】（1）顾客消费满额4次后仍未集齐3张相同颜色的卡片包括两种情况：

①4张卡片中有两张同颜色，另外两张各一种颜色；

②4张卡片中有两张同颜色，另外两张也同另一种颜色，

故所求概率为．

（2）的取值可能为3，4，5，6，7．

，，

，

，．

的分布列为

．

21．已知函数是偶函数.

（1）求实数的值；

（2）若函数，函数只有一个零点，求实数 的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用函数为偶函数推出的值，即可求解；

（2）根据函数与方程之间的关系，转化为方程只有一个根，利用换元法进行转化求解即可.

【详解】（1）由题意，函数为偶函数，所以，

即，所以，

即，则对恒成立，解得.

（2）由只有一个零点，

所以方程有且只有一个实根，

即方程有且只有一个实根，

即方程有且只有一个实根，

令，则方程有且只有一个正根，

①当时，，不合题意；

②当时，因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根，

由，解得或，

当，则不合题意，舍去；

当，则，符合题意，

若方程有两根异号，则，所以，

综上，的取值范围是.

22．已知数列满足的前项和为．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由已知，令，求解出，然后再递推一项作差，从而得到的关系式，再验证是否满足即可完成求解；

（2）由第（1）问求解出的通项公式，先求解出数列的前项和，然后将的通项公式带入中，得到的通项公式，然后写出的表达式，并对通项进行裂项，然后求和，通过对比即可完成证明.

【详解】（1）当时，，

当时，①

②

由①-②得，即．

当时也成立，所以数列的通项公式为．

（2）证明：由（1）知，所以，

因为，

所以，

所以，

所以．

因为，

所以，

所以．