2022-2023学年黑龙江省克东县第一中学高二下学期3月质量监测数学试题含答案

这是一份2022-2023学年黑龙江省克东县第一中学高二下学期3月质量监测数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省克东县第一中学高二下学期3月质量监测数学试题 一、单选题1．已知集合，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合的并集的概念及运算，结合题意，即可求解.【详解】由集合，集合，根据集合并集的概念及运算，可得.故选：B.2．数列…的一个通项公式是A． B．C． D．【答案】C【详解】由已知a1=1，可排除A、B、D，故选C.3．某人欲从A地途经B地到C地，已知从A地到B地有10种合适的路线（包括飞机、火车、汽车等），从B地到C地有12种合适的路线，则此人从A地到C地可选择的不同的路线有（    ）A．22种 B．60种 C．96种 D．120种【答案】D【分析】根据题意，利用分步计数原理，即可求解.【详解】根据分步乘法计数原理，可选择的不同的交通路线有种．故选：D.4．水滴在水面上形成同心圆，边上的圆半径以的速度向外扩大，则从水滴接触水面后末时圆面积的变化速率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出圆的面积，求导即可求得.【详解】由题意可知,水滴接触水面后半径R与时间t的关系为R=3t，则圆的面积.对t求导可得：，令t=2可得2s末时圆面积的变化速率为.故选：B5．数列满足若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知的递推式计算可得数列具有周期性，且周期为4，然后利用周期可求得结果.【详解】通过计算得到，，，，，，……，所以数列具有周期性，且周期为4，所以，故选：D6．函数在点处的切线与轴平行，则点坐标为（  ）A． B．C．、 D．、【答案】D【分析】由出导函数，由=0，求得结论．【详解】，，，，所以点坐标为或．故选：D．7．明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由n，和d求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”则该问题中老人的长子的岁数为（    ）A．35 B．32 C．29 D．26【答案】A【分析】由题意可得九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，然后根据等差数的求和公式列方程求解即可.【详解】根据题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，设长子的岁数为，则，解得．故选：A8．已知，，，则a、b、c的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造，利用导函数得到单调性，结合，比较出，再利用中间值比较出.【详解】设，则．令，解得．则当时，，单调递减．∵，，∴．又，，∴．故选：D 二、多选题9．(多选)下列问题中，属于排列的有（    ）A．10本不同的书分给10名同学，每人一本B．10位同学去做春季运动会志愿者C．10位同学参加不同项目的运动会比赛D．10个没有任何三点共线的点构成的线段【答案】AC【分析】根据排列组合的区别进行判定.【详解】解析：因为排列与顺序有关系，因此AC是排列，BD不是排列，故选AC.【点睛】知识点点睛：排列与组合的区别：排列：把取出的得元素再按顺序排列成一列，它与元素的顺序有关系；组合：只要把元素取出就可以，与元素的顺序无关.10．下列求导数运算正确的有（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】直接根据导数的运算法则及求导公式求解即可.【详解】解： ，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选：AD.11．下列关系中，能成立的是（     ）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】利用排列数和组合数的计数公式，对选项进行一一验证，即可得答案.【详解】对A，令，可得等式不成立，故A错误；对B，利用组合数的计算公式知正确，故B正确；对C，利用排列数与组合数的定义，故C正确；对D，∵，故D正确；故选：BCD.【点睛】本题考查排列数、组合数公式的推理与证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.12．Look—and—say数列是数学中的一种数列，它的名字就是它的推导方式：给定第一项之后，后一项是前一项的发音，例如第一项为3，第二项是读前一个数“1个3”，记作13，第三项是读前一个数“1个1，1个3”，记作1113，按此方法，第四项为3113，第五项为132113，….若Look—and—say数列第一项为11，依次取每一项的最右端两个数组成新数列，则下列说法正确的是（    ）A．数列的第四项为111221B．数列中每项个位上的数字不都是1C．数列是等差数列D．数列前10项的和为160【答案】AD【分析】A.列举前四项可得答案；B. 根据数列中最后读的数字是1可得答案；C.列举前四项可得答案；D.列举可得数列中数的规律，进而可求和.【详解】，，，，A正确；数列中最后读的数字总是1，故数列中每项个位上的数字都是1，B错误；数列：11，21，11，21，…，不是等差数列，C错误；通过列举发现数列的第一，三，五，七，九项都为11，第二，四，六，八，十项为21，故前10项的和为，D正确．故选：AD． 三、填空题13．已知三次函数的图象如图所示，则      ．    【答案】1【分析】首先求函数的导数，代入图中的极值点，可求得的关系，再代入导数值，即可求解.【详解】由题意知，又由图可知，，所以，所以，从而．∴．故答案为：14．设等比数列的公比为3，若，则数列的前20项和      ．【答案】8【分析】利用等比数列的通项公式及数列的前项和的定义即可求解.【详解】由题意可知，，由，得，即，所以．故答案为：. 四、双空题15．某厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为2500元，已知每生产x件这样的产品而要再增加可变成本（元），若生产出的产品都能以每件500元售出，则该厂生产      件这种产品时，可获得最大利润      元． 【答案】          【分析】根据得到利润的函数，利用导数求得函数的单调性和最大值，即可求解.【详解】设该厂生产x件这种产品的利润为元，则，则，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以是函数的极大值点，也是最大值点，所以当时，利润最大为元．故答案为：；. 五、填空题16．8人排成一排照相，A、B、C三人互不相邻，D、E也不相邻，不同的排法共有      种．【答案】11520【分析】先算出A、B、C三人互不相邻的排法总数，再计算D、E相邻的排法总数，两者相减即可.【详解】A、B、C三人互不相邻的排法共有种，其中D、E相邻的排法有种，所以符合条件的排法共有种．故答案为：11520 六、解答题17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．(1)若，且的面积，求a，b的值；(2)若，判断的形状．【答案】(1)；(2)是直角三角形或等腰三角形. 【分析】（1）根据余弦定理可得，由三角形面积得到，进而即得；（2）根据题中条件及两角和与差的正弦公式，得到，求出或，进而可得出结果.【详解】（1）因为，又余弦定理可得：，即，又的面积，所以，因此，；解得：；（2）因为，所以，即，所以或，因此或，所以是直角三角形或等腰三角形.18．某高校就业部从该校2022年已就业的博士研究生的毕业生中随机抽取了200人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：  (1)将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这200人月薪收入的样本平均数；(2)该校在某地区就业的2022届博士研究生的毕业生共100人，决定于2023年五一劳动节长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：方案一：设区间，月薪落在区间左侧的每人收取400元，月薪落在区间内的每人收取600元，月薪落在区间右侧的每人收取800元；方案二：每人按月薪收入的样本平均数的3%收取；用该校就业部统计的这200人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？【答案】(1)2（万元）(2)方案一能收到更多的费用 【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数的计算公式，准确计算，即可求解；（2）分别计算得到方案一和方案二中这50人共收活动费用的多少，比较即可得到结论.【详解】（1）解：根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得这200人月薪收入的样本平均数：（万元）．（2）解：方案一：月薪落在区间左侧收活动费用约为（万元）；月薪落在区间内收活动费用约为（万元）；月薪落在区间右侧收活动费用约为（万元）．因此方案一，这100人共收活动费用约为（万元）；方案二：这100人共收活动费用约为（万元）．因为，故方案一能收到更多的费用.19．已知等比数列的各项均为正数，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设证明：为等差数列，并求的前n项和．【答案】（Ⅰ）  （Ⅱ）见解析，【分析】（1）利用及求得，从而得到通项公式．（2）利用定义证明等差数列，并利用公式求和．【详解】（Ⅰ）设等比数列的公比为，依题意．由得，解得．故 ．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得．故，所以是首项为1，公差为的等差数列，所以．【点睛】一般地，判断一个数列是等差数列，可从两个角度去考虑：（1）证明；（2）证明：.20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，BC⊥平面PAB，点O为PB的中点，PA=AD=2AB=2，PB=.(1)求证：直线PA⊥平面ABCD.(2)求直线PB与平面OAC夹角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据勾股定理证得PA⊥AB，再由线面垂直的性质得PA⊥BC，由线面垂直的判定可得证；（2）由（1）知，PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，那么分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，根据线面角的空间向量求解方法可求得答案.【详解】（1）证明：由题知，PA=2，AB=1，PB=，那么PA2+AB2=PB2，可得PA⊥AB，由BC⊥平面PAB，所以PA⊥BC，又，所以直线PA⊥平面ABCD.（2）解：由（1）知，PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，那么分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），O（，0，1），P（0，0，2），则=（，0，1），=（1，2，0），=（1，0，-2）.设平面AOC的法向量为，那么，即得，得，令x=2，得，所以>=，所以直线PB与平面OAC夹角的正弦值为.21．已知椭圆，直线与该椭圆交于两点，为椭圆上异于的点.（1）若，且以为直径的圆经过点，求该圆的标准方程；（2）直线分别与轴交于两点，是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.【答案】（1）（2）是定值，定值为2【分析】（1）设，，则，由以为直径的圆过点，则，两者联立可解得，得圆心坐标和半径，从而得圆标准方程．（2）设，写出方程，得点纵坐标，同理得点纵坐标，计算即证得结论．【详解】（1）设，，，以为直径的圆过点，∴联立两个方程可得或（舍），得，所以圆的标准方程为.（2）设，则，同理得，.【点睛】本题考查圆的标准方程，考查椭圆中的定值问题，本题考查学生的运算求解能力．属于中档题．22．设函数， ．（1）求的单调区间和极值；（2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；极小值；（2）证明详见解析.【详解】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）先对求导，令解出，将函数的定义域断开，列表，分析函数的单调性，所以由表格知当时，函数取得极小值，同时也是最小值；（Ⅱ）利用第一问的表，知为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值，从而解出，下面再分情况分析函数有几个零点.试题解析：（Ⅰ）由，（）得.由解得.与在区间上的情况如下：所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为.因为存在零点，所以，从而.当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点.当时，在区间上单调递减，且，，所以在区间上仅有一个零点.综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.【解析】导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.