2022-2023学年甘肃省兰州市等2地、天水市第三中学等2校高二上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省兰州市等2地、天水市第三中学等2校高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线恒过一定点，则此定点为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】法一：利用分离参数法；法二：令参数，得到一条直线，令，得到另一条直线，解出两条直线的交点，再代入原方程验证即可.

【详解】解：法一：直线可变形为：，若该方程对任意都成立，

则，即，直线恒过点，

故选：D.

法二：在方程中，令得：，即，

令得：，将代入得，

将代入，得恒成立，

∴直线恒过点，

故选：D.

2．对于空间任意一点和不共线的三点，有如下关系：，则（   ）

A．四点必共面 B．四点必共面

C．四点必共面 D．五点必共面

【答案】B

【分析】根据如下结论判断：对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面.

【详解】对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面.

而，其中，所以四点共面.

故选：B.

3．已知平面、的法向量分别为、且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用两平面垂直，其法向量数量积为零列方程求解即可.

【详解】因为平面、的法向量分别为、且，

所以，即，

则，

故选：A.

4．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】根据线面平行的位置关系及直线的方向向量、平面的法向量定义再结合充分必要条件的定义判断即可.

【详解】由，得：，则“”是“”的必要条件，

而不一定有，也可能，则“”不是“”的充分条件.

故选：B.

5．若点是直线：外一点，则方程表示（    ）

A．过点且与平行的直线

B．过点且与垂直的直线

C．不过点且与平行的直线

D．不过点且与垂直的直线

【答案】C

【解析】易知点的坐标不在直线上，根据两直线方程的一般形式中的系数相同，但不同，可得直线平行；

【详解】∵点不在直线：上，∴，

∴直线不过点，

又直线与直线：平行，

故选：C.

6．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D

【详解】试题分析：由得点在圆上，因此由两圆有交点得，即的最小值为选D.

【解析】两圆位置关系

7．已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】，焦点到渐近线的距离为，说明，则，

∴双曲线的方程为

故选:B

8．点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设圆上任意一点为，中点为，由中点坐标公式可求得，代入圆的方程即可求得轨迹方程．

【详解】设圆上任意一点为，中点为，

则，可得，

代入得，

化简得．

故选：A．

9．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)

A．  B．  C．  D．

【答案】C

【解析】先判定两直线平行，再求出两平行线之间的距离即得解.

【详解】因为，所以两直线平行，

将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，

由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，

即，所以|PQ|的最小值为.

故选：C.

【点睛】本题主要考查平行直线的判定和两平行线之间的距离的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

10．已知椭圆的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】过点倾斜角为的直线方程为：，即，

则圆心到直线的距离：，

由弦长公式可得：，

整理可得：

则：.

本题选择B选项.

点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

11．如图所示，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且.当、、、共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦．

【详解】以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则、、，

由题意知：当、时，、、、共面，

设平面的法向量为，，，

则，取，解得，

设平面的法向量为，，，

则，取，解得，

设平面与平面所成锐二面角为，

则，

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为，

故选：B.

12．【2018江西抚州市高三八校联考】已知双曲线 (，)与抛物线有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，则双曲线的离心率为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】 由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，

 由在抛物线的准线上，则，则，则焦点坐标为，

 所以，则，解得，

 双曲线的渐近线方程是，将代入渐近线的方程，即，

 则双曲线的离心率为，故选C.

二、填空题

13．动点与定点、的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是            .

【答案】()

【解析】利用斜率的公式进行求解即可

【详解】设，则，，

∵动点与定点、的连线的斜率之积为，

∴，∴，即，且，

综上点的轨迹方程是().

故答案为：()

14．已知直线及直线截圆所得的弦长均为8，则圆的面积是          ．

【答案】

【详解】试题分析：两条平行直线，直线及直线之间的距离，

∴弦心距d=3∴半径r=5∴圆C的面积是25π

【解析】本题考查直线与圆的位置关系，平行线间的距离公式

点评：解决本题的关键是利用平行线间的距离公式，求出弦心距，求出圆的半径

15．过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：()作切线，切点分别为、，若的最小值为，则        .

【答案】

【解析】根据已知条件可得、是双曲线的左、右焦点，由圆切线的性质可得，由双曲线的几何性质可求出最小值，即可求出.

【详解】解：由得，，则、是双曲线的左、右焦点，也是题中圆的圆心，

∴

，当在轴上时，最小为，

则最小值为，解得.

故答案为:.

【点睛】关键点睛：

本题考查了双曲线的几何性质，本题的关键是结合图形和双曲线的定义，明确何时取最小值，从而结合已知条件即可求出半径.

16．已知是空间任一点，四点满足任三点均不共线，但四点共面，且，则        .

【答案】-1

【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．

【详解】∵2x•3y•4z•，

∴2x•3y•4z•，

∵O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面

∴﹣2x﹣3y﹣4z＝1

∴2x+3y+4z＝﹣1

故答案为﹣1

【点睛】本题考查空间向量基本定理，考查向量共面的条件，属于基础题．

17．如图所示，在正四棱柱中，，，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是      ．

【答案】

【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出异面直线、的公垂线的长度，即为所求.

【详解】由题意可知，线段长度的最小值为异面直线、的公垂线的长度.

如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则点、、、，

所以，，，，

设向量满足，，

由题意可得，解得，取，则，，

可得，

因此，.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将长度的最小值转化为异面直线、的距离，实际上就是求出两条异面直线的公垂线的长度，利用空间向量法求出两条异面直线间的距离，首先要求出两条异面直线公垂线的一个方向向量的坐标，再利用距离公式求解即可.

三、解答题

18．已知圆：和：

(1)求证：圆和圆相交；

(2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长．

【答案】(1)证明见解析

(2)，

【分析】（1）由圆心距与两圆半径的和、差比较可得；

（2）两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，由勾股定理求弦长．

【详解】（1）标准方程是，，，

标准方程是，，，

，显然，

所以两圆相交．

（2）两圆方程相减得，即为公共弦所在直线方程，

到直线的距离为，

所以公共弦长．

19．过点作直线分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.

(1)当△AOB面积最小时，求直线的方程；

(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）

【分析】由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，代点可得，

（1）由基本不等式可得，由等号成立的条件可得和的值，由此得到直线方程，

（2），由基本不等式等号成立的条件可得直线的方程．

【详解】由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，直线过点，，

（1）由基本不等式可得，解得：，当且仅当，即且时，上式取等号，

面积，则当，时，面积最小，此时直线的方程为，即，

（2）由于，当且仅当，即且时取等号，

所以当，时，的值最小，此时直线的方程为，即．

【点睛】本题考查直线的截距式方程，涉及不等式求最值，属于中档题．

20．（1）求与向量共线且满足方程的向量的坐标；

（2）已知，，，求点的坐标使得；

（3）已知，，求：①；②与夹角的余弦值；③确定、的值使得与轴垂直，且.

【答案】（1）；（2）；（3）①21，②，③，

【分析】（1）根据向量共线定理，建立等量关系，整理方程，可得答案；

（2）设出未知点的坐标，利用向量的坐标运算，建立方程，可得答案；

（3）根据向量数量积的坐标运算，结合夹角的计算公式，利用垂直向量的数量积，建立方程，可得答案.

【详解】（1）∵与共线，故可设，由得：，

故，∴；                                          

（2）设，则，，，

∵，

∴，

∴点坐标为；                                                    

（3）①，                             

②∵，，设向量与的夹角为，

∴，

∴与夹角的余弦值为，                                        

③取轴上的单位向量，，依题意，

即，故，

解得，.

21．如图所示，在三棱柱中，底面为正三角形，在底面上的射影是棱的中点，于点.

（1）证明平面；

（2）若，求与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）连接，可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得，再证出，由线面垂直的判定定理即可证明.

（2）以、、为坐标轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，根据，利用空间向量的数量积即可求解.

【详解】（1）证明：连接，∵为正三角形，为中点，∴，

∵，，∴平面，∴，

又，，∴，又，

∴平面；

（2）解：由（1）可知，，，，

故分别以、、为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，

则，，，

设平面的法向量为，

则即，

设，则、，则，

设与平面所成角为，

则，

∴与平面所成角的正弦值为.

【点睛】思路点睛：

解决线面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：

（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；

（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.

（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.

（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.

22．已知椭圆的左、右顶点分别为，其离心率，过点的直线与椭圆交于两点（异于），当直线的斜率不存在时，.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与交于点，试问：点是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请说明理由.

【答案】（1）（2）点恒在定直线上．

【详解】试题分析：（1）椭圆的方程为：；（2）设直线的方程为，联立方程得，，得，故点恒在定直线上．

试题解析：

解：(1)由题意可设椭圆的半焦距为，

由题意得：    

所以椭圆的方程为：    

(2)设直线的方程为，，

联立    

由是上方程的两根可知：        

直线的方程为：

直线的方程为：

得：  

把代入得：

即，故点恒在定直线上．

23．已知椭圆 上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点任作一条直线，与椭圆交于不同于点的、两点，与直线交于点，记直线、、的斜率分别为、、.试探究与的关系，并证明你的结论.

【答案】(1)；

(2)，证明见解析.

【分析】(1)根据条件和椭圆的几何性质可得，结合关系设其方程为 ，结合点在椭圆上可求椭圆的方程；(2)当直线的斜率存在时，设直线的方程，联立直线方程与椭圆方程，由设而不求法求，再求，由此证明. .

【详解】（1）因为椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为，，所以依题意有：，

∵，∴，故可设椭圆的方程为：，

因为点在椭圆上，所以将其代入椭圆的方程得.

∴椭圆的方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线与椭圆的交点为，与已知矛盾，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为：即，

，为与椭圆的两个交点.

将代入方程化简得：.

方程的判别式

所以，.

.

又由 ，解得，，

即点的坐标为，所以.

因此，与的关系为：.

【点睛】求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．