2022-2023学年新疆维吾尔自治区和田地区民丰县高二上学期期中教学情况调研数学试题含答案

2022-2023学年新疆维吾尔自治区和田地区民丰县高二上学期期中教学情况调研数学试题

一、单选题

1．已知曲线C的方程为，则“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的　　

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用曲线C的方程为，结合充要条件的定义，即可得出结论．

【详解】若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则，

所以“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要条件；

若，曲线不一定是椭圆，故充分性不成立，

所以“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件．

故选C．

【点睛】本题考查椭圆方程，考查充要条件的判断，熟练掌握椭圆方程的性质是关键，比较基础．

2．已知直线l1：y＝x+2与l2：2ax+y﹣1＝0垂直，则a＝（　　）

A． B． C．﹣1 D．1

【答案】A

【分析】利用两直线垂直斜率关系，即可求解.

【详解】直线l1：y＝x+2与l2：2ax+y﹣1＝0垂直，

.

故选:A

【点睛】本题考查两直线垂直间的关系，属于基础题.

3．设，分别是椭圆：的左、右两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由，分别是椭圆：的左、右两个焦点，求得m的范围，当点位于短轴端点时，取最大值，要使上存在点满足，则的最大值大于或等于，从而可得答案.

【详解】解：由，分别是椭圆：的左、右两个焦点，

则，

当点位于短轴端点时，取最大值，要使上存在点满足，

则的最大值大于或等于，即点位于短轴端点时，大于或等于，

则，解得．

故选：D.

4．已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系即可求解.

【详解】由直线的方程为，

所以，

即直线的斜率，由.

所以 ，又直线的倾斜角的取值范围为，

由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为.

故选：B

【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角之间的关系，同时考查了正弦函数的值域以及正切函数的性质，属于基础题.

5．对于任意实数，点与圆的位置关系的所有可能是

A．都在圆内 B．都在圆外 C．在圆上.圆外 D．在圆上.圆内.圆外

【答案】B

【分析】把点P坐标代入圆的方程，得到，所以点在圆外．

【详解】把点代入圆方程，得，所以点P在圆外，选B.

【点睛】点与圆位置关系：P（x0 ，y0）和圆C ：(x －a) 2 ＋(y －b) 2 ＝r2．

①点P 在圆C 外有(x0 －a) 2 ＋(y0 －b) 2 ＞r2；

②点P 在圆上：(x0 －a) 2 ＋(y0 －b) 2 ＝r2；

③点P 在圆内：(x0 －a) 2 ＋(y0 －b) 2 ＜r2 ．

6．若圆与圆外切，则（　　）

A．  B．19 C．9 D．-11

【答案】C

【分析】利用圆心距等于半径之和求解.

【详解】由题意可知圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，

则，解得.

故选：C.

7．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意，椭圆的长轴长是短轴长的倍，即，再根据椭圆的离心率的计算公式，即可求解.

【详解】由题意，椭圆的长轴长是短轴长的倍，即，

则椭圆的离心率为，故选B.

【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的几何性质，合理应用的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

二、多选题

8．下列说法错误的是

A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件

B．直线的倾斜角的取值范围是

C．过，两点的所有直线的方程为

D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为

【答案】ACD

【分析】对于A．根据直线垂直的等价条件进行判断；对于B．根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断；对于C．当直线和坐标轴平行时，不满足条件；对于D．过原点的直线也满足条件．

【详解】解：对于A．当，两直线方程分别为和，此时也满足直线垂直，故A错误，

对于B．直线的斜率，则，即，则，，故B正确，

对于C．当，或，时直线方程为，或，此时直线方程不成立，故C错误，

对于D．若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故D错误，

故选：ACD．

【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及直线方程，直线斜率以及直线垂直的位置关系的判断，难度不大．

9．(多选)等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则（    ）

A．公差d＝－4

B．a2＝7

C．数列{an}为递增数列

D．a3＋a4＋a5＝84

【答案】BC

【分析】根据等差数列性质公式及基本量计算，对选项一一判断即可．

【详解】解析：∵a1＋a2＋a3＝21，∴3a2＝21，∴a2＝7．

∵a1＝3，∴d＝4．∴数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15．

∴a3＋a4＋a5＝3a4＝45．

故选：BC

10．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C．或 D．的面积为6

【答案】ABD

【分析】对选项A，利用余弦定理得到，从而得到，故A正确，对选项B，根据，利用正弦定理和正弦的两角和公式即可得到，从而得到，故B正确，对选项C，利用正弦两角和公式得到，再利用正弦定理即可得到，故C错误，对选项D，根据面积公式得到，即可判断D正确.

【详解】对选项A，因为，所以，

即，所以，故选项A正确.

对选项B，因为，所以

即：，

所以，因为，

所以，，即，故选项B正确.

对选项C，因为，，所以，.

所以，

因为，所以，故选项C错误.

对选项D，，故D正确.

故选：ABD

【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，属于中档题.

11．已知直线，是直线上的任意一点，直线与圆相切．下列结论正确的为（    ）

A．的最小值为

B．当，时，的最小值为

C．的最小值等于的最小值

D．的最小值不等于的最小值

【答案】ABC

【分析】利用的几何意义可判断A选项的正误；利用直线与圆相切求得，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，可判断B选项的正误；判断函数在上的单调性，可判断CD选项的正误.

【详解】因为直线与圆相切，则，，可得.

对于A选项，的几何意义为直线上的点到原点的距离，

所以，的最小值即为原点到直线的距离，即为，A选项正确；

对于B选项，当，时，，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为，B选项正确；

对于CD选项，因为

，

因为，令，任取，则，

，

，所以，

，

同理可知，，

所以，，即，故函数在上单调递减，

故函数在上无最小值，

因此，的最小值等于的最小值，C选项正确，D选项错误.

故选：ABC.

【点睛】结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义：

（1）：表示点与点连线的斜率；

（2）：表示点到点的距离；

（3）：表示点到直线的距离的倍.

三、填空题

12．已知点，过原点的直线l与直线交于点A，若，则直线l的方程为      ．

【答案】，或

【分析】分情况讨论，结合|AM|＝2，即可求出．

【详解】当直线l的斜率存在时，设过原点的直线l为，

由，可得，

，，

，

解得或，

此时直线方程为，或，

当直线l的斜率不存在时，此时直线方程为，

此时点A的坐标为，由，此时，不满足，

综上所述直线的方程为，或，

故答案为，或．

【点睛】本题考查了直线方程的求法，考查了运算能力，属于中档题．

13．已知函数，则其值域为           .

【答案】

【分析】令，将问题转化为求二次函数在区间上值域的问题，结合二次函数单调性，即可求得结果.

【详解】解：令，∵，∴，

∴，

又关于对称，

即时，函数取得最小值，即，

即时，函数取得最大值，即，

,.

故答案为：.

14．定义点到直线的有向距离.已知点到直线l的有向距离分别是，给出以下命题：①若，则直线与直线l平行；②若，则直线与直线l平行；③若，则直线与直线l垂直；④若，则直线与直线l相交.其中正确命题的个数是       .

【答案】1

【分析】设点的坐标分别为，求出，可知当时，命题①②③均不正确，当时，在直线的两边，可以判断命题④正确.

【详解】设点的坐标分别为，则，，

若，则，即，

所以，若，

即，则点都在直线l上，

此时直线与直线l重合，故命题①②③均不正确，

当时，在直线的两边，则直线与直线l相交，故命题④正确.

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查与直线距离有关的命题的判断，利用条件推出点与直线的位置关系是解决本题的关键，综合性较强.

15．已知点，且F是椭圆的左焦点，P是椭圆上任意一点，则的最小值是             .

【答案】3

【分析】由椭圆的定义，求的最小值可化为的最小值，根据三点共线即可求解.

【详解】由椭圆可知，

，

设椭圆的右焦点为，则，如图，

所以，

即当在的延长线上时，取得最小值.

故答案为：3

四、解答题

16．已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线、，切点为、．

（1）当切线的长度为时，求点的坐标；

（2）求线段长度的最小值．

【答案】（1）或；（2）．

【解析】（1）由点是直线上的一动点，设，结合，求得的值，即可求得点的坐标；

（2）设，得出以为直径的圆的方程，进而得到圆方程与圆相交弦所在直线方程为，结合，点到直线的距离公式和弦长公式，得到的表示，即可进而取得最值.

【详解】（1）因为圆，所以圆的半径，圆心，

由点是直线上的一动点，设，

因为是圆M的一条切线，所以，

又由切线的长度为，

所以，解得或，

所以或．

（2）设，则的中点坐标为，且，

所以以为直径的圆的方程为，

即，①

圆，即，②

②①得圆方程与圆相交弦所在直线方程为，

点到直线的距离，

相交弦长即，

∴当时，线段长度取最小值．

【点睛】解答直线与圆的位置关系和圆圆的位置关系问题：

（1）圆的性质的应用，其中圆心与切点的连线与切线垂直，圆心与弦的中点的连线与弦所在直线垂直；

（2）圆的切线长公式和圆的的弦长公式；

（3）若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去项得到.

17．已知圆

(1)求过点的圆的切线方程；

(2)点为圆上任意一点，求的最值．

【答案】(1) 和  (2)的最大值为；的最小值为

【分析】(1)本题首先可以确定圆的圆心以及半径，然后根据题意分为直线斜率存在以及不存在两种情况，最后根据圆心到切线距离等于半径即可列出算式并得出结果；

(2)本题首先可明确为原点到圆上一点的直线的斜率，然后结合图像得出当圆与直线相切时斜率取最值，最后根据圆心到切线距离等于半径即可得出结果．

【详解】(1)因为圆的方程为，即，

所以圆心为，半径为，

①当切线斜率不存在时，

因为直线过点，所以直线方程为，即

圆心到直线距离，所以直线是圆的切线，

②当切线斜率存在时，设切线斜率为，

则切线方程为，即

因为圆心到切线距离等于半径，

所以，解得，此时切线方程为，

综上所述，过点的圆的切线方程为和．

(2)因为即，为圆上任意一点，

所以即原点到圆上一点的直线的斜率，

令，则原点到圆上一点的直线的方程为，即

如图所示，当圆与直线相切时，斜率取最值，

则有圆心到切线距离等于半径，即，解得或，

所以斜率的最大值，斜率的最小，

所以的最大值为；的最小值为．

【点睛】本题考查圆与直线相切的相关性质，考查斜率的相关性质，若圆与直线相切，则圆心到直线线距离等于半径，考查点到直线距离公式，考查计算能力，是中档题．

18．已知向量，

（1）若求的值；

（2）设，求的取值范围.

【答案】(1) ；(2)

【分析】（1）首先进行向量的坐标运算得到向量的模，得到关于的关系式，求得的值；

（2）将向量坐标代入转化为角的三角函数，进而求值域．

【详解】（1）因，

，

两边平方得，

；

（2）因，

又，的取值范围为.

19．在正四棱柱中，，为的中点.

求证：（1）平面.

（2）平面.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据题意建立如图空间直角坐标系，求出平面的法向量、的坐标，由向量的坐标运算即可求证；

（2）求出坐标，结合平面的法向量，由向量共线即可求证．

【详解】根据题意以所在直线为 轴，以所在直线为 轴，以所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，设底面边长为，

则，，，，，，，

，，

（1）设平面的法向量，

，，

由，即，

取，则，，得，

又，

因为，所以，且平面,

所以平面．

（2）由（1）可知平面的法向量，

，，所以，

所以平面．

20．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FA=FC，且∠DAB=∠DBF=60°.

（1）求证：AC⊥平面BDEF；

（2）若菱形BDEF边长为2，求三棱锥E-BCD的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）1.

【分析】(1)令AC与BD相交于点O，连接FO，证明，即可得解；

(2)证明平面，并求出FO的长及的面积即可得解.

【详解】（1）设AC与BD相交于点O，连接FO，如图，

因四边形ABCD为菱形，则，且O为AC中点，

而，于是有，又，平面，

所以平面BDEF；

（2）因菱形BDEF边长为2，即，显然O为BD中点，因∠DBF=60°，是正三角形，于是得

而，又，平面，因此，平面，

又，平面，平面，即有平面，于是得点到平面的距离为，

在菱形ABCD中，∠DAB=60°，则有都是正三角形，，

所以三棱锥E-BCD的体积.

21．已知椭圆：的离心率为，且椭圆上一点的坐标为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据椭圆的离心率以及椭圆中的关系，得到，再将代入方程，求得，，从而得到椭圆方程；

（2）根据题意，设出直线直线的方程，与椭圆方程联立，消元得到，由韦达定理得到，，根据直径所对的圆周角为直角，得到，利用点在直线上，转换得到，从而求得或（舍），得到直线恒过点，利用三角形面积公式，求得三角形的面积，进而求得最大值.

【详解】（1）由已知，又，则.

椭圆方程为，将代入方程得，，

故椭圆的方程为；

（2）不妨设直线的方程，

联立消去得.

设，，则有，①

又以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，∴，

由，得，

将，代入上式得

，

将①代入上式求得或（舍），

则直线l恒过点.

∴，

设，则在上单调递增，

当时，取得最大值.

【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，椭圆中的三角形的面积问题，属于中档题目.