2022-2023学年广东省江门市开平市高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年广东省江门市开平市高二上学期期中考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省江门市开平市高二上学期期中考试数学试题 一、单选题1．在空间四边形中，等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面向量的加法运算法则，即可求解.【详解】.故选：C2．直线＝的倾斜角＝（     ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．【详解】∵直线的斜率为，由斜率和倾斜角的关系可得，又∵∴＝，故选：A.3．两条直线：与：的交点坐标为（    ）．A．B．C．D．【答案】C【分析】联立两直线的方程，解方程组即可求解.【详解】因为直线：，直线：，由，解得：，所以与两条直线的交点坐标为，故选：C.4．直线与圆相切，则的值是（    ）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】利用圆心到直线的距离等于半径求出.【详解】解：根据题意，得圆的圆心为，半径为，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离，即，故.故选：A.5．如图所示,在四面体中,,,,点在上,且,为的中点,则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】连接,再根据空间向量加法和减法的三角形法则即可得出．【详解】解:由题知,连接,画图如下:是的中点,,,,.故选:B6．已知圆C的一条直径的端点坐标分别是和，则圆C的方程是（　　）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用中点公式求得圆心坐标，再求出半径，可得圆C的方程．【详解】圆C的一条直径的端点坐标分别是（4，1）和（﹣2，3），故利用中点公式求得圆心为（1，2），半径为，故圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝10，故选C．【点睛】本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心和半径，属于基础题．7．设、，向量，，且，，则（      ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，.故选：D.8．如图，在三棱锥中，三条棱、、两两垂直，且，、分别是棱、的中点，则异面直线与所成角的余弦值为A． B．C． D．【答案】D【分析】结合题意，构造空间坐标系，代入点的坐标，结合空间向量数量积公式，计算夹角余弦值，即可．【详解】构造空间坐标系，以D为原点，DC为x轴，BD为y轴，AD为z轴，计算坐标分别为，，，则N的坐标为，M的坐标为，所以，所以，故选D．【点睛】本道题考查了运用空间向量坐标计算夹角的余弦值，关键在于构造空间坐标系，属于中档题． 二、多选题9．若平面，平面的法向量为，则平面的一个法向量可以是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据平面垂直则法向量数量积为零，逐一计算，即可判断和选择.【详解】根据题意，与平面的法向量数量积为零，对A：因为，满足题意，故A正确；对B：因为，故B错误；对C：因为，满足题意，故C正确；对D：因为，故D错误.故选：AC.10．已知直线与圆，则（    ）A．直线与圆C相离B．直线与圆C相交C．圆C上到直线的距离为1的点共有2个D．圆C上到直线的距离为1的点共有3个【答案】BD【分析】根据直线与圆的位置关系可判断.【详解】由圆，可知其圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，所以可知选项B，D正确，选项A，C错误.故选：BD11．已知两条直线，则下列结论正确的是（    ）A．当时， B．若，则或C．当时，与相交于点 D．直线过定点【答案】ACD【分析】根据两直线垂直与平行的充要条件判断A、B，对于C将代入直线方程，联立两直线方程，求出交点坐标，即可判断C，对于D将直线方程变形为，从而求出直线过定点坐标；【详解】解：因为，对于A：当时，，则、，所以，所以，故A正确；对于B：若，则，解得或，当时，满足题意，当时，与重合，故舍去，所以，故B错误；对于C：当时，，则，解得，即两直线的交点为，故C正确；对于D：，即，令，即，即直线过定点，故D正确；故选：ACD12．如图，在长方体中，，，是侧面的中心，是底面的中心，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则（    ）A．是单位向量B．是平面的一个法向量C．直线与所成角的余弦值为D．点到平面的距离为【答案】ABD【分析】根据向量模长的坐标运算可求得，知A正确；利用向量数量积的坐标运算可证得，，由此可知B正确；利用异面直线所成角的向量求法可求得所求余弦值为，知C错误；利用点到面距离的向量求法可求得所求距离，知D正确.【详解】对于A，，，，，为单位向量，A正确；对于B，，，，，，，即，，平面，是平面的一个法向量，B正确；对于C，，，，即异面直线与所成角的余弦值为，C错误；对于D，，，，由B知：为平面的一个法向量，点到平面的距离，D正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：向量法求解点到平面的距离的步骤如下：（1）求解得到平面的法向量；（2）在平面内任取一点，得到；（3）利用公式即可求得点到平面的距离. 三、填空题13．过点P（1，2），斜率为﹣3的直线方程为   .【答案】【分析】由直线的点斜式方程即得.【详解】由题意可得直线的点斜式方程为：，化为一般式可得.故答案为：.14．已知A(3，5)，B(4，7)，C(－1，x)三点共线，则x＝        ．【答案】－3【分析】由和的斜率相等求解．【详解】∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC．∴＝，∴x＝－3．故答案为：．15．直线被圆所截得的弦长等于      【答案】【详解】试题分析：圆转化为，圆心为，半径，圆心到直线的距离，设直线被圆截得的弦长为，则．【解析】1.直线与圆的位置关系；2.弦长公式． 16．已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为         .【答案】/【分析】利用空间向量求点到平面的距离即可.【详解】由题可得，又是平面的一个法向量，∴则点P到平面的距离为.故答案为：. 四、解答题17．已知向量，．(1)求；(2)求；【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算即可得到答案；（2）根据空间向量数量积的运算律和模长公式即可得到答案.【详解】（1）；（2）因为，，所以，，所以；18．已知的三个顶点分别是，求的面积.【答案】5【分析】先计算，再求得边所在直线的方程，从而利用点线距离公式求得高，再利用三角形的面积公式即可求解.【详解】，边所在直线的方程为，即，所以点到直线的距离，因此，.19．已知直线.（1）若直线过点，且，求直线的方程；（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.【答案】（1） （2）或.【分析】（1）根据两直线垂直，斜率之积为，可求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可写出直线方程；（2）先根据两直线平行，斜率相等，设出直线的方程为，再根据两平行直线的距离公式即可求出．【详解】（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为.因为，所以直线的斜率为.因为直线过点，所以直线的方程为，即.（2）因为直线与直线之间的距离为，所以可设直线的方程为，所以，解得或.故直线的方程为或.【点睛】本题主要考查直线方程的求法，涉及两直线垂直，平行关系的应用，以及平行直线的距离公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．20．已知圆C经过点，且圆心为.（1）求圆C的标准方程；（2）过点作圆C的切线，求该切线的方程及切线长.【答案】(1) ；(2) 切线方程为或.切线长为【分析】(1)根据点到点的距离公式求解半径,再写出标准方程即可.(2)讨论当切线斜率不存在时是否满足题意,再讨论当切线有斜率时,设点斜式再利用直线与圆相切,根据圆心到直线的距离等于半径求解斜率即可.【详解】(1)由题意可得,圆的半径.故圆的标准方程为.(2)当过点的切线不存在时,方程为,不满足与圆相切.故设切线方程为.此时,化简得.解得或.故切线方程为或.此时由圆的性质可知,切线长为.【点睛】本题主要考查了圆的标准方程求解以及求过圆外一点的切线方程.需要根据题意求得半径长,再根据点斜式与圆心到直线的距离等于半径列式求解斜率即可.属于中档题.21．如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点(1)证明：平面．(2)求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，即证明；（2）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用公式，即可求解.【详解】（1）证明：如图，连接，．因为三棱柱为直三棱柱，所以为的中点，又因为为的中点，所以．又平面，平面．所以平面 ．（2）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．所以，，，设平面的法向量为，则令，得记与平面所成角为，则．22．如图，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点． （Ⅰ）求证：AE⊥PD；（Ⅱ）若PA=4，求二面角E—AF—C的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）． 【分析】（Ⅰ）通过证明PA⊥AE和AE⊥AD，可证得AE⊥平面PAD，从而得证；（Ⅱ）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，分别求面AEF和面AFC的法向量，利用法向量求解二面角即可.【详解】（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE．而PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD．所以 AE⊥PD． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AE、AD、AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A（0，0，0），B（2，—2，0），C（2，2，0），D（0，4， 0），P（0，0，4），E（2，0，0），F（），所以=（2，0，0），＝（）设平面AEF的法向量为=（），则，因此取，则=（0，2，—1），因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的法向量．又（—2，6，0），所以cos＜，＞=．因为二面角E—AF—C为锐角，所以所求二面角的余弦值为． 【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定及性质，利用空间向量求解二面角，考查了学生的空间想象力和运算能力，属于中档题.