2022-2023学年广东省汕头市潮阳区河溪中学高二上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年广东省汕头市潮阳区河溪中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据对数、分式的性质求函数定义域即可.

【详解】由题意，可得.

故选：D

2．设集合A＝{x|x2－16＜0}，B＝{x|2x >1}，则A∩B＝（    ）

A．{x|0＜x＜4} B．{x|－4＜x＜4}

C．{x|－4＜x＜0} D．{x|－4≤x≤4}

【答案】A

【分析】先求出集合A，B，再求A∩B.

【详解】，.

所以A∩B＝{x|0＜x＜4}.

故选：A

3．设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用对数函数、指数函数单调性进行比较大小即可.

【详解】因为，

，,

所以 ,

故选：A.

4．若是偶函数，且当时，，则的解集是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用偶函数求的解析式，进而写出分段函数形式，即可求解集.

【详解】若，则，，

所以，故，

若，则或，可得.

故选：D

5．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，能使的是（　　）

A．，

B．，

C．，

D．，

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明，结合各选项中的向量，计算判断即可．

【详解】若，则，

对于A，，故A正确；

对于B，，故B错误；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D错误．

故选：A．

6．若直线与平行，则间的距离是（   ）

A． B． C．4 D．2

【答案】C

【分析】根据直线平行的判定列方程求得，再应用平行线的距离公式求距离即可.

【详解】由题设，则，可得或，

时，，，满足题设；

时，，，显然重合，不满足；

所以，此时，，它们距离为.

故选：C

7．已知圆的方程为x2+y2–2x+6y+8=0，那么通过圆心的一条直线方程是

A．2x–y–1=0 B．2x–y+1=0

C．2x+y+1=0 D．2x+y–1=0

【答案】C

【分析】求出圆的圆心坐标，验证选项即可．

【详解】因为圆的方程为x2+y2–2x+6y+8=0，所以圆心坐标为（1，–3），代入选项可知仅C正确．

故选C．

【点睛】本题考查圆的一般方程，点的坐标适合直线方程；也可认为直线系问题，是基础题．

8．在空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　 ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】令，根据向量的坐标表示求出坐标，进而确定E，F坐标，最后求的坐标即可.

【详解】令，则，

所以，

所以.

故选：D

二、多选题

9．若复数，则（      ）

A． B．z的实部与虚部之差为3

C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限

【答案】CD

【分析】由应用复数的除法化简得，根据共轭复数定义以及复数实部、虚部定义以及复数的几何意义即可判断各选项的正误.

【详解】∵，所以，故C正确，A错误；

∴z的实部与虚部分别为4，，所以z的实部与虚部之差为5，B错误；

z在复平面内对应的点为，位于第四象限，D正确．

故选：CD．

10．已知直线、的方向向量分别是，若且，则的值可以是（    ）

A．－3 B．－1 C．1 D．3

【答案】BC

【分析】根据向量的垂直和模，列出方程，解方程可得答案.

【详解】由得：，

即，①

由得： ，②

①②联立解得： ，或

故x+y的值可以是1或-1，

故选：BC

11．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下统计图，则下列四个选项正确的是（    ）．

A．54周岁及以上参保人数最少 B．18～29周岁人群参保总费用最少

C．丁险种更受参保人青睐 D．30周岁及以上的人群约占参保人群的80％

【答案】ACD

【分析】根据统计图逐个分析判断即可.

【详解】由参保人数比例图可知，54周岁及以上参保人数最少，30周岁及以上的人群约占参保人群的80％，故A，D正确；

由参保险种比例图可知，丁险种更受参保人青睐，故C正确；

由不同年龄段人均参保费用图可知，18～29周岁人群人均参保费用最少，约为4000元，但是这类人所占比例为20％，设参保总人数为a，则18～29周岁人群参保总费用约为元，而54周岁及以上参保人群参保总费用约为6000×8％（元），，故B错误．

故选：ACD．

12．若，且直线AB与CD平行，则m的值为（    ）

A． B．0

C．1 D．2

【答案】BD

【分析】分直线斜率存在和不存在讨论即可.

【详解】当AB与CD斜率均不存在时， 故得，此时；

当时，即时，，解得，此时.

故选：BD．

三、填空题

13．经过圆的圆心且斜率为－1的直线方程为     

【答案】

【分析】先求出圆心，再用点斜式求出直线方程.

【详解】的圆心为，则直线方程为，即.

故答案为：

14．若，则           ．

【答案】

【分析】只需对分子分母同时除以，将原式转化成关于的表达式，最后利用方程思想求出．再利用二倍角的正切公式，即可求得结论．

【详解】解：

，

即，

故答案为：

【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查二倍角的正切公式，正确运用公式是关键，属于基础题．

15．已知平面向量的夹角为，则       

【答案】

【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算作答.

【详解】因为向量的夹角为，则，

所以.

故答案为：

四、双空题

16．在平面直角坐标系xOy中，直线过定点        ，以点为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为        ．

【答案】         

【分析】根据题意，将直线的方程变形可得，进而联立，解可得、的值，即可得定点的坐标，结合直线与圆的位置关系分析可得点为圆心且与相切的所有圆中，半径最大的圆的半径，即可得答案．

【详解】根据题意，直线，即，

则有，解可得，即直线经过点；

设为，，

则，

以点为圆心且与相切的所有圆中，半径最大的圆的半径，

故半径最大的圆的标准方程为.

故答案为：，．

五、解答题

17．已知，，，，，求：

(1)，，；

(2)与夹角的余弦值．

【答案】(1)，，.

(2)

【分析】（1）根据向量的平行和垂直，分别列出方程，解得答案;

（2）求出向量＋与＋的坐标，利用向量的夹角公式求得答案.

【详解】（1）由题意知： ，

∵，∴ ， 解得，

∴，，

又，∴，即，解得，∴．

（2）由（1）得，，

设与夹角为θ，则

.

18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a－c＝ ，sin B＝sin C．

(1)求cos A的值；

(2)求cos的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理，角化边，得到b＝c，再用余弦定理求得答案.

（2）利用（1）的结果，求得sin A，再由二倍角公式求得cos 2A，sin 2A，根据两角差的余弦公式求得答案.

【详解】（1）在△ABC中，由＝及sin B＝sin C，可得b＝c，

又由a－c＝，有a＝2c，  ∴cos A＝;

（2）在△ABC中，由cos A＝， ,可得sin A＝．

∴cos 2A＝2cos2A－1＝－，sin 2A＝2sin A·cos A＝,

∴cos＝cos 2Acos ＋sin 2Asin＝（－）×＋×＝.

19．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段，…后画出如下频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

（1）估计这次考试的众数与中位数（结果保留一位小数）；

（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分.

【答案】（1）m=75,n=73.3;(2)0.75,71分

【详解】解：（Ⅰ）众数是最高小矩形中点的横坐标，所以众数为m=75（分）；

前三个小矩形面积为0.01×10+0.015×10+0.015×10=0.4，

∵中位数要平分直方图的面积，∴n=70+(0.5-0.4)/0.03=73.3

（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，

频率和为 （0.015+0.03+0.025+0.005）*10=0.75

所以，抽样学生成绩的合格率是75%  

利用组中值估算抽样学生的平均分45•f1+55•f2+65•f3+75•f4+85•f5+95•f6

=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71

估计这次考试的平均分是71分．

20．（1）求过点A(2，5)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．

（2）已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey－6＝0，圆心在直线x＋y－2＝0上，且圆心在第二象限，半径长为4，求圆的一般方程．

【答案】（1）5x－2y＝0或x－y＋3＝0 ；（2）x2＋y2＋2x－6y－6＝0 ．

【分析】（1）利用截距互为相反数的性质解题即可，注意讨论斜率为0的情况.

（2）利用圆心与半径建立方程组，注意利用圆心的位置进行取舍.

【详解】（1）解法1：①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝，即5x－2y＝0；

②当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为，即x－y＝a，

又∵l过点A(2，5)，∴2－5＝a，a＝－3，∴l的方程为x－y＋3＝0，

综上所述，直线l的方程是5x－2y＝0或x－y＋3＝0．

解法2：由题意知直线的斜率一定存在．设直线的点斜式方程为y－5＝k(x－2)，

当x＝0时，y＝5－2k，当y＝0时，x＝2－．

根据题意得5－2k＝－（2－），解方程得或k＝1．

当时，直线方程为y－5＝(x－2)，即5x－2y＝0；

当k＝1时，直线方程为y－5＝1×(x－2)，即x－y＋3＝0．

综上所述，直线l的方程是5x－2y＝0或x－y＋3＝0．

（2）圆心C，因为圆心在直线x＋y－2＝0上，所以，即D＋E＝－4.①

又因为半径长，所以D2＋E2＝40.②

由①②可得

又因为圆心在第二象限，所以，即D>0．则故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－6y－6＝0．

21．如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AC⊥AB，AC=AB=4，AA1=6，点E、F分别为CA1、AB的中点.

（1）证明:平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）通过证明来证得平面.

（1）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量来计算出与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）如图，连接EC1、BC1，

因为三棱柱A1B1C1-ABC为直三棱柱，

所以E为AC1的中点.

又因为F为AB的中点，所以.

又EF⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以平面.

（2）以A1为原点，A1C1、A1B1、A1A所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则A(0，0，6)，B1(0，4，0)，E(2，0，3)，F(0，2，6)，

所以=(0，-2，6)，=(2，0，-3)，=(0，2，0)，

设平面AEF的法向量为，则

令x=3，得，

记B1F与平面AEF所成角为θ，则.

22．如图，在直三棱柱中，点在棱上，、分别是、的中点，，．

(1)证明：AE⊥DF；

(2)当为的中点时，求平面DEF与平面ABC夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和两条直线的方向向量的坐标，利用向量的数量积为0，即可证明；

（2）利用待定系数法求出平面的法向量，取平面的一个法向量，然后利用向量的夹角公式求解即可．

【详解】（1）在直三棱柱中，有，

又∵，，、平面，

∴平面，，所以AB⊥平面，

则，，，

以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则，0，，，0，，，0，，，2，，，0，，，1，，

设，2，，

则，∵，∴；

（2）当为的中点时，，2，，

又，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，，故，

取平面的一个法向量为，

则，

故平面与平面夹角的余弦值为．