2022-2023学年甘肃省武威市等2地高二上学期期中联考数学（理）试题含答案

这是一份2022-2023学年甘肃省武威市等2地高二上学期期中联考数学（理）试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年甘肃省武威市等2地高二上学期期中联考数学（理）试题 一、单选题1．在下列结论中：其中正确结论的个数是（    ）①若向量共线，则向量所在的直线平行；②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；③若三个向量两两共面，则向量共面；④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量，总存在实数使得.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】对于①，向量所在的直线还可能重合，故①错误；对于②，根据空间向量可以平移，可得②错误；对于③，根据向量不一定共面，可得③错误；对于④，根据空间向量基本定理可得④错误.【详解】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行或重合，故①错误；对于②，若向量所在的直线为异面直线，则向量一定共面；故②错误；对于③，若三个向量两两共面，则向量不一定共面；故③错误；对于④，当空间三个向量不共面时，则对于空间的任意一个向量，总存在唯一实数使得，故④错误.故选：A2．方程（    ）A．可以表示任何直线B．不能表示过原点的直线C．不能表示与轴垂直的直线D．不能表示与轴垂直的直线【答案】D【分析】根据直线方程的点斜式的意义判断正确选项.【详解】因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以不能表示与轴垂直的直线．故选D．3．过点(0,1)且与直线y=(x+1)垂直的直线方程是（    ）A．y=2x-1 B．y=-2x-1 C．y=-2x+1 D．y=2x+1【答案】C【分析】与y=(x+1)垂直且过(0,1)，即可得所求方程的斜率，进而写出直线方程【详解】与直线y=(x+1)垂直的直线斜率为-2，又过点(0,1)∴所求直线方程为y=-2x+1故选：C【点睛】本题考查了利用垂直关系求直线方程，由垂直关系求直线的斜率，根据所过的点写出点斜式直线方程4．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量是，则平面与所成的角等于（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据得，可得答案.【详解】因为，所以，所以平面与所成的角等于.故选：D5．已知,,,,则直线AB和直线CD所成角的余弦值为(　　)A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出向量=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),再利用向量法求两异面直线所成的角的余弦.【详解】由题得=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),而cos<>=,故直线AB和CD所成角的余弦值为.故选：A【点睛】(1)本题主要考查向量法求两异面直线所成的角，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）,方法二：（向量法），其中是异面直线所成的角，分别是直线的方向向量.6．若平面的法向量分别为，则（    ）A． B． C．相交但不垂直 D．以上均不正确【答案】C【分析】根据平面法向量的定义，由既不平行也不垂直即可得解.【详解】显然不平行，而，故不垂直，所以法向量既不平行也不垂直，所以相交但不垂直，故选：C7．在空间直角坐标系O﹣xyz中,点A（2,﹣1,3）关于yOz平面对称的点的坐标是A．（2,1,3） B．（﹣2,﹣1,3）C．（2,1,﹣3） D．（2,﹣1,﹣3）【答案】B【分析】根据空间坐标对称的性质求解即可.【详解】在空间直角坐标系O﹣xyz中,点A（2,﹣1,3）关于yOz平面对称的点的坐标是（﹣2,﹣1,3）.故选：B.【点睛】本题主要考查了空间坐标中求对称点的问题,属于基础题.8．经过两点A(－2,5)、B(1,－4)的直线l与x轴的交点的坐标是 (　　)A．(－，0) B．(－3,0) C．(，0) D．(3,0)【答案】A【详解】过点A(－2,5)和B(1，－4)的直线方程为3x＋y＋1＝0，故它与x轴的交点的坐标为(－，0)．故选：A．9．在平面直角坐标系中，点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称，则直线l的方程为（    ）A．x+2y-4=0 B．x-2y=0 C．2x-y-3=0 D．2x-y+3=0【答案】C【分析】由点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称，求得直线l的斜率，且直线l过(0,2)与点(4,0)构成的线段的中点，即可得直线l的方程【详解】根据点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称，令直线l的斜率为k∴，故，且直线l经过点(0,2)与点(4,0)构成的线段的中点(2,1)∴直线l的方程为y-1=2(x-2)，即2x-y-3=0故选：C【点睛】本题考查了已知两点关于直线对称求直线方程，由已知点关于直线对称，可得直线的斜率且两点构成线段的中点在直线上求直线方程10．已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量，表示向量 是　　A． B．C． D．【答案】C【解析】根据所给的图形和一组基底，从起点出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论．【详解】解：故选：．【点睛】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程，属于基础题．11．在棱长为a的正方体中，M，N分别是，的中点，则与面MBD的距离是（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则可得到点 的坐标以及的坐标，再求出平面 BDM 的法向量，最后用点到面的距离公式可求得答案.【详解】如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则 所以 设平面的法向量，则 即                                     设，则 所以                                                则点到平面的距离为.故选:A 12．如图，在平行六面体中，与的交点为，点在上，且，则下列向量中与相等的向量是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】在平行六面体中，根据空间向量加法合成法则，对向量进行线性表示即可【详解】解：因为，所以，在平行六面体中，，故选：C【点睛】此题考查了空间向量的加法运算问题，解题时应结合图形进行解答，属于基础题. 二、填空题13．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设，，，，A1C1与B1D1的交点为E，则=     .【答案】【解析】根据矩形的性质与向量的减法法则，得到．再由向量加法的三角形法则，得到，从而可得，进而得到本题答案．【详解】矩形中，对角线、相交于点，向量，矩形中，；矩形中，，，又，．故答案为：【点睛】本题在正方体中，求向量用、、表示的式子，着重考查了矩形与正方体的性质、向量的定义与加减法则等知识，属于中档题．14．.在四面体中，、分别是、的中点，若记，，，则      .【答案】【解析】根据空间向量的线性运算法则计算可得；【详解】解:四面体中，、分别是、的中点，则故答案为： 【点睛】本题考查了空间向量的线性表示与运算的应用问题，属于基础题．15．已知空间直角坐标系中有点A(－2，1，3)，B(3，1，0)，则       .【答案】【分析】根据向量模的意义，由空间两点间距离公式计算.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查空间两点间距离公式，考查空间向量模的定义，属于基础题.16．在斜三棱柱中，的中点为，，则 可用表示为               ．【答案】【分析】利用空间向量的线性运算可求.【详解】.故答案为：. 三、解答题17．在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：顶点C的坐标； 直线MN的方程．【答案】（1）；（2）．【详解】试题分析：（1）边AC的中点M在y轴上，由中点公式得，A，C两点的横坐标和的平均数为0，同理，B，C两点的纵坐标和的平均数为0．构造方程易得C点的坐标．（2）根据C点的坐标，结合中点公式，我们可求出M，N两点的坐标，代入两点式即可求出直线MN的方程．解：（1）设点C（x，y），∵边AC的中点M在y轴上得=0，∵边BC的中点N在x轴上得=0，解得x=﹣5，y=﹣3．故所求点C的坐标是（﹣5，﹣3）．（2）点M的坐标是（0，﹣），点N的坐标是（1，0），直线MN的方程是=，即5x﹣2y﹣5=0．点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．18．如图，四棱锥的底面是矩形，，且底面.（1）求向量在向量上的投影；（2）若线段上存在异于的一点，使得，求 的最大值.【答案】（1）；（2）1.【分析】（1）可证得，利用向量在向量上的投影的定义即得解；（2）证明平面，得出，设，从而得出关于的函数，根据的范围即得解.【详解】（1）连接平面平面ABCD故向量在向量上的投影为：（２）连接平面平面ABCD，又平面SAP，又平面ADP设，当时，的最大值为１．【点睛】本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题．19．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．【答案】（1）见解析；（2）.【分析】（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）根据题意求得三棱锥的体积，再求出的面积，利用求得点C到平面的距离，得到结果.【详解】（1）连接，，分别为，中点    为的中位线且又为中点，且 且 四边形为平行四边形，又平面，平面平面（2）在菱形中，为中点，所以，根据题意有，，因为棱柱为直棱柱，所以有平面，所以，所以，设点C到平面的距离为，根据题意有，则有，解得，所以点C到平面的距离为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.20．斜率为的直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A、B两点．求该抛物线的标准方程和准线方程；求线段AB的长．【答案】（1）抛物线的方程为，其准线方程为；（2）【分析】根据焦点可求出p的值，从而求出抛物线的方程，即可得到准线方程；设，将直线l的方程与抛物线方程联立消去y，整理得，，得到根与系数的关系，由抛物线的定义可知，代入即可求出所求．【详解】由焦点，得，解得所以抛物线的方程为，其准线方程为，设，直线l的方程为与抛物线方程联立，得，消去y，整理得，由抛物线的定义可知，．所以，线段AB的长为【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及过焦点的直线与抛物线相交的弦长等问题，属于中档题．21．已知长方体中，，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出点的坐标；（2）求线段的长度；【答案】（1）；（2）；【分析】（1）由点为坐标原点及，即可求得点的坐标；（2）由两点距离公式，即可求得和的长度.【详解】（1）由题意，点为坐标原点，所以因为，可得又因为点N是AB的中点，点M是的中点，所以.（2）由两点距离公式得：，.22．如图，若是双曲线的两个焦点.（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；（2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.【答案】（1）10或22；（2）.【分析】（1）利用双曲线的定义，根据动点到一个焦点的距离求动点到另一个焦点的距离即可；（2）先根据定义得到，两边平方求得，即证，，再计算直角三角形面积即可.【详解】解：（1）是双曲线的两个焦点，则，点M到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，则由双曲线定义可知，，解得或，即点到另一个焦点的距离为或；（2）P是双曲线左支上的点，则， 则，而，所以，即，所以为直角三角形，，所以.