2022-2023学年甘肃省临夏、甘南两地高二上学期期中联考数学（文）试题含答案

2022-2023学年甘肃省临夏、甘南两地高二上学期期中联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知数列中，，则（    ）

A．13 B．12

C．11 D．10

【答案】C

【分析】在通项公式中令可得的值.

【详解】由已知得．

故选：C．

【点睛】本题考查数列中指定项的计算，此类问题代入通项公式计算即可，本题属于容易题.

2．函数有

A．极大值，极小值3 B．极大值6，极小值3

C．极大值6，极小值 D．极大值，极小值

【答案】C

【分析】对原函数求导，通过导函数判断函数的极值，于是得到答案.

【详解】根据题意，，故当时，；

当时，；当时，.故在处取得极大值

；在处取得极小值，故选C.

【点睛】本题主要考查利用导数求函数极值，难度不大.

3．已知数列的前4项为：l，，，，则数列的通项公式可能为

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分母与项数一样，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式

【详解】正负相间用表示，∴．

故选D．

【点睛】本题考查数列的通项公式，属于基础题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律．

4．函数的极值点所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】求出函数的导数，根据函数的零点判定定理求出函数的极值点的区间即可.

【详解】，且为单调函数，

∴，，

由，

故的极值点所在的区间为，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了导数的应用，函数的极值点的意义，考查转化思想，属于中档题.

5．曲线上的点到直线的最短距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设与直线平行且与曲线相切的直线方程为.设切点为，利用导数的几何意义求得切点，再利用点到直线的距离公式即可得出结果.

【详解】设与直线平行且与曲线相切的直线方程为.

设切点为，对函数求导得，

由，可得，则，所以，切点为.

则点到直线的距离.

曲线上的点到直线的最短距离是.

故选：A.

【点睛】本题考查了导数的几何意义和两条平行线之间的距离、点到直线的距离公式，属于中档题.

6．设是等比数列，下列说法一定正确的是（   ）

A．成等比数列 B．成等比数列

C．成等比数列 D．成等比数列

【答案】D

【详解】

项中，故项说法错误；项中，故项说法错误； 项中，故项说法错误；故项中，故项说法正确，故选D.

7．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】分离变量，利用导函数应用得到函数在无零点，则有两个零点，利用函数最值得到参数范围

【详解】当时，，∴不是函数的零点.当时，由，得，设，，则在上单调递减，且.所以时无零点

当时，等价于，令，，

得在上单调递减，在上单调递增，，.

因为有2个零点，所以.

故选：B.

【点睛】分离变量法，利用导数求函数的单调性，极值是解题关键.

8．函数在处取极小值，则（    ）

A．6或2 B．或 C．6 D．

【答案】D

【分析】先求导数，根据求得，再代入验证是否满足题意.

【详解】或

当时，，

当时，当时，函数在处取极大值，不符题意，舍去；

当时，，

当时，当时，函数在处取极小值，

故选：D

【点睛】本题考查函数极值，考查基本分析求解能力，属基础题.

9．函数的正数零点从小到大构成数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先将函数化简为，再解函数零点得或，，再求即可.

【详解】解：∵

∴ 令得：或，，

∴或，，

∴ 正数零点从小到大构成数列为：

故选：B.

【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.

10．已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=

A． B．7 C．6 D．

【答案】A

【详解】试题分析：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝

故答案为

【解析】等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想．

11．等差数列，满足，则（ ）

A．的最大值为50 B．的最小值为50

C．的最大值为51 D．的最小值为51

【答案】A

【分析】首先数列中的项一定满足既有正项，又有负项，不妨设，由此判断出数列为偶数项，利用配凑法和关系式的变换求出的最大值.

【详解】为等差数列，则使，所以数列中的项一定有正有负，不妨设，因为为定值，故设，且，解得.若且，则，同理若，则.所以，所以数列的项数为，所以，由于，所以，解得，故，故选A.

【点睛】本小题主要考查数列的通项公式的应用，考查等差数列求和公式的应用，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.

12．等比数列的首项，公比，设表示数列前n项的积，则中最大的是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据等比数列的通项公式，求得当时，，得到的单调性，进而求得的最大值，得到答案.

【详解】由等比数列的首项，公比，可得，

当为奇数时，，当为偶数时，，

当时，，

当时，，此时单调递增；

当时，，此时单调递减；

当时，可得；当时，可得.

当时，可得；当时，可得，

又由，

所以

所以当时，可得中最大的是.

故选：B.

【点睛】等比数列的通项公式及其应用，其中解答中利用作商法求得的单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.

二、填空题

13．若函数的的导数为，且则              

【答案】12

【分析】求出导函数，令可求得．

【详解】由题意，∴，∴．

故答案为：－12．

【点睛】本题考查导数的运算，掌握导数运算法则是解题关键．

14．函数共有        个极值.

【答案】0

【分析】对函数求导，结合导数的符号判断函数的单调性，进而可求函数的极值的个数．

【详解】解：由题知的导函数，

，

恒成立．

函数在上是单调递增函数，

函数没有极值．

故答案为：．

【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，属于基础题．

15．已知一个圆柱的轴截面是周长为12米的长方形，则满足这个条件的圆柱的最大体积是      立方米.

【答案】

【解析】设圆柱的高为，底面圆的半径为，可得，，圆柱的体积，构造函数，，求导并判断单调性，可求出最大值，即可求出答案.

【详解】设圆柱的高为，底面圆的半径为，则，即，

由，可得，

圆柱的体积，将代入，可得，

构造函数，，求导得，

则时，，函数单调递增；时，，函数单调递减，

所以的最大值为.

即时，该圆柱的体积最大，最大体积是立方米.

故答案为：.

【点睛】本题考查柱体体积的计算，考查利用导函数求最大值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

16．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．

给出下列四个结论：

① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；

② 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；

③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；

④ 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.

其中所有正确结论的序号是     ．

【答案】①③④

【解析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项.

【详解】①在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故③正确；④在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故④正确.

故答案为：①③④

【点睛】思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是.

三、解答题

17．已知是等比数列，，且，求

【答案】

【分析】根据等比数列的性质求得正确答案.

【详解】根据等比数列的性质可知：

，

由于，所以.

18．在等比数列中，.

(1)求；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1) .（2）.

【详解】试题分析：(1)设的公比为q，依题意得方程组，

解得，即可写出通项公式.

（2）因为，利用等差数列的求和公式即得.

试题解析：(1)设的公比为q，依题意得

，

解得，

因此，.

（2）因为，

所以数列的前n项和.

【解析】等比数列、等差数列.

19．已知二次函数.

（1）求在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【解析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义，先求出切线斜率，进而可得切线方程；

（2）先对求导，分别讨论，两种情况，根据导数的方法研究函数单调性，即可得出结果.

【详解】（1）由得，

则在点处的切线斜率为，

又，

所以在点处的切线方程为，即；

（2）因为

所以

当时，在上恒正；

所以在上单调递增

当时，由得，

所以当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

综上所述，

当时，在上单调递增；

当时，当时，单调递减； 当时，单调递增.

【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，考查导数的方法求函数单调性，属于常考题型.

20．已知数列的前项和为，，且为与的等差中项，当时，总有.

(1)求数列的通项公式；

(2)记为在区间内的个数，记数列的前项和为，求.

【答案】(1)

(2)800

【分析】（1)由数列的递推式推得，再结合等差数列的等差中项性质和等比数列的定义、通项公式可得所求；

（2）由（1）可得 ，进而推得 ，再由等差数列的求和公式，计算可得答案．

【详解】（1）由题意当时，总有，

故

所以 ，

因为为与的等差中项，即有 ，

所以 ，可得 所以，

所以数列是以1为首项、公比为的等比数列，

所以 ；

（2）由(1）可得 所以，

所以，即 ，所以 ；

当m为偶数时，，

所以，

所以﹒

21．设为实数，首项为，公差为的等差数列的前n项和为，满足+15=0．

（Ⅰ）若=5，求及；

（Ⅱ）求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.

【详解】（Ⅰ）=5，，

，

，

；

（Ⅱ）由，同理，

，

整理得（*），

（*）关于的方程有实数解，

或，

的取值范围是或.

22．函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，求证：.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【分析】（1）对分类讨论，利用导数证明单调性即可；

（2）构造函数利用导数得出的极值点，根据极值点得出，再次构造函数，利用导数证明其单调性，根据单调性得出，结合得出，再由的单调性，即可证明.

【详解】（1）函数，.

.

对分类讨论：时，，可得：时，函数单调递减；时，函数单调递增.

时，令，.

时，，，则函数在上单调递减.

且时，由，解得，.

.

时，，∴函数在，上单调递减；在上单调递增.

时，，∴函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）证明：

即

令

∴

可得函数在上单调递减，在上单调递增

∴时，函数取得极小值即最小值，

∵，∴

设，

∴函数在上单调递增，∴

∴

∵，，在上单调递增，∴

∴

【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究双变量问题，属于中档题.